专题03 三角函数求参数取值范围（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角函数求参数取值范围 目录 典例详解 类型一、根据单调性求ω的取值范围 类型二、根据单调性求0的取值范围 类型三、根据单调性求区间参数 类型四、根据最值或值域求的取值范围 类型五、根据最值或值域求0的取值范围 类型六、根据最值或值域求区间参数 类型七、根据奇偶性求0的取值范围 类型八、根据对称性求口的取值范围 类型九、根据对称性求0 类型十、根据零点求0的取值范围 类型十一、根据零点个数求值域范围 类型十二、根据零，点个数求区间参数 类型十三、根据综合性质求ω的取值范围 压轴专练 典例详解 类型一、根据单调性求的取值范围 根据三角函数在给定区间(a,b)内的单调性求ω的范围 1、 根据腿且给出的单调区间Q,b,可以判口-6≤子 能找到最小周期的一个大概范围。 2、根据三角函数的单调区间确定0a+0与ob+p的范围 根据上述两点可以求出。的范围 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.25.26高一上广泰深圳期末)已知函数f)=sn@x+p@>00<<孕的图象经过点0，若 f)在区间0，孕上具有单调性，则。的取值范围是() e. 变式1-1.(2026高一上·重庆·专题练习)已知函数 in) 中0>0.若f()在区间 ππ 6'2)上单调递增，则0的取值范围是() A.(0,3] c] D.(0,1 变式1-2.(25-26高一上吉林长春·期末)已知函数 的取值范围为() 「511 B.22 B 变式1-3.(25-26高一上天津月考)已知函数 在6」上单调递增，则o的取 值范围是一 类型二、根据单调性求φ的取值范围 根据三角函数在给定的区间a,b内的单调性求0的取值，这种类型的题中ω是己知或者可求的.则可以根 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据三角函数的单调区间确定oa+0与ob+p的范围，从而确定0的取值范围 5π 例2. (25-26高三上重庆开学考试)若函数fx=sin2x+9(0≤0<2m)的图象关于x=8对称，且 ππ 在上单调指 则9=() 3π c 7π A.4 B.4 D.4 变式2-1.(25-26高一上·甘肃庆阳·期末)将函数f(x)=tanx的图象向右平移p(0≤p<)个单位长度后， 得到西数的的图怎，者正数的在受孕上单调递，则p=() 2 π 2π 5π A.3 B.6 C.3 D.6 变式22.（多选）(25-26高三上河北雄安期中)若函数f=5sin(2x+p在区间2 )上单调递增， ,则的可能的取值有() 5π π A.2 B.4 C.2 D 变式23.(25-26高三上福建厦门-月考)已知函数f=2025sin(@x+9川0>0，o≤N的最小正周期为 ππ 且fx)在62 上单调递增，则。的最大值为一 类型三、根据单调性求区间参数 根据给定的三角函数在动区间α，b内的单调性，求动区间中的参数。 三角函数中不含参数，则可以先确定三角函数的单调区间，然后讨论动区间所属的区间或者讨论其所属 的区间，从而求得参数。 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)tanx+ 例3.(25-26高三上吉林长春·月考)已知函数 3在0，a上单调递增，则a的最大值为 2元 A.6 B.3 c. D.3 3π -m,m 变式3-1.(2025高一上江苏·专题练习)已知函数f(x)=sin2x+cos2x在L2 」上单调递增，则m 的最大值为() A 3π 9π B.元 D. 8 f(x)=sin ox+ 0>0 变式3-2.(2025高一上江苏·专题练习)已知函数 的两条相邻对称轴之间的距 离为2元，现将fx)图象向右平移3后得到函数gx的图象，若函数g(x在区间(-m,m)上单调递增，则 实数m的取值范围是 变式3-3.(25-26高一上北京朝阳月考)函数y=c0s2x在区间2a上单调递增，则，的取值范围是 类型四、根据最值或值域求⊙的取值范围 1、 对于正弦函数y=Asin(Gox+中)i,当ox,+中=2kr+(k∈Z)函数取得最大值A,当 0X+0=2k-受k∈Z,函数取得最小值-A 2、对于y=Acos(iox+中)i,当⊙X+D=2kπ(k∈Z)函数取得最大值A,当ox+中=2k+π(k∈Z) 函数取得最小值-A 3、 根据给出区间(a,b(里的最值个数或有没有最值的方法讨论ω的范围与零点个数讨论的方法类似。讨 论(oa+p,ob+pi与最值间的关系，从而求得o的范围 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.(25-26高一上江苏盐城月考)已知函数 f(x)=sin ox+ 6o>0 在区间”2)内有最大值，但无最 小值，则0的取值范围为() 48 4.33 变式41.(2025高-上江苏专题练习》若函数f)=sm20r+爱在区间0日上恰好有5个最大值，4个 最小值，则实数0的取值范围是() A营身 c片 变式4-2.(2025高一上四川眉山专题练习)已知函数 f(x)=2sin(ox+@>00< 2)的图象过点 (0,1,且在区同0 上恰有三个最值点，则的最大值为 变式4-3.(25-26高一上·浙江·月考)已知函数 f(x)1 恒成立，则®的取值不可能是() A. B.1 c. D.5 类型五、根据最值或值域求φ的取值范围 根据三角函数在给定的区间α，b内的最值情况或值域求0的取值，这种类型的题中o是已知或者可求的. 则可以根据给定的区间可得三角函数在(oa+p,⊙b+p)的最值情况，根据最值或者值域情况讨论 0a+p,0b+p的区间，从而确定0的取值范围 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g0 例5.(25-26高一上江苏无锡月考)若函数f(x=si血(2x+p在2上有且仅有一个最大值，则p 的取值范围为一· 变式5-1.(25-26高三上山东月考)若函数f(x)=cos(3x+p)(0<p<)在12'6 上有最小值而没有最 大值，则⑨的取值范围是一 ,0 变式5-2.(25-26高三上广东揭阳期中)若函数fx=sin2x+p)在20上有最大值，则f(y的最 小正周期为一，9的取值范围为一 变式5-3.(25-26高三上北京房山~期末)若函数f)=c0sx+cos(r+9) 的最大值为V2,则常数9的一 个取值为一 类型六、根据最值或值域求区间参数 根据三角函数在动区间α，b的值域或者最值情况求动区间中的参数值。这种类型的题目三角函数为己知 或者可求，只需要根据三角函数的值域或最值先去确定区间的范围。然后再讨论动区间的所属范围，从 而求得区间中的参数。 f(x)=4sin2 例6.(25-26高一上江苏南通·月考)已知函数 +x+4sinx∈0，a 的值域为4,5]，则实 数a的取值范围为() π5π B. c.26 变式61,2526商三上河雨期中)若函数y=osx在区间-，2a上的值拔为2，则a B.3 c. 2π D.3 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式62.《(25-26高二上广东广州期末)已知函数田=sin(2x-6）-2fw在区间m,上的最小值为 2,则m的最大值为一 变式63.(2526商-上广去广州期末)己知函数团=n2x爱分网在区间m导上的最小值为 2,则m的最大值为一 今类型七、根据奇偶性求的取值范围 根据三角函数的奇偶性来确定0的取值范围 函数 奇函数时 偶函数时 sin(@x+o) =kn 9=T+kn 2 cos (wx+o) 9=受+如 o=kn 记忆口诀：正奇π整数，正偶半π移：余奇同正偶，余偶同正奇。 例7.(25-26高一上云南期末)已知函数fx)=c0sx+p1(0eR),则“p=2”是“fy是奇函数” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不 必要条件 f(x)=2sin 3x- 变式7-1.(25-26高一上山西大同期末)己知 6)向右平移p(0<p<0个单位长度后为 奇函数，则”的最小值为一 变式72.(25.26高一上广西崇左期末)若函数f八国=si血x+0)-co(x+8为偶函数，则9的值可能为 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5π A.-4 B C.4 3π D.- 4 变式7-3.(25-26高一上全国单元测试)已知函数)=an(3x-,写出满足“将函数八的图象向 左平移12个单位长度后得到g(x)的图象，g(x为奇函数”的p的一个值：一 类型八、根据对称性求ω的取值范围 对题目给出对称性可得到对称轴与对称中心，与三角函数的对称轴、对称中心联立计算值。 1、对于正弦函数y=Asin(亿ox+中)i,当ox。+中=k+(k∈Z),X=x为正弦函数的对称轴，当 ωXo+中=k(k∈Z),X=Xo为正弦函数的对称中心 2、对于y=Acos(iox+)i,当⊙X+0=kπ(k∈Z),x=x为余弦函数的对称轴，当 @X+0=+号k∈Z),X=,为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点 的位置 3、对于y=Atan(d0x+)d,当⊙X,+4=受（(k∈Z,X=义，为正切函数的对称中心，正切函数没有 对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与X轴交点 例8.(25-26高一上·江苏连云港·月考)已知函数 f(x)=2sin ox- 4 x∈R(o>0 的图象在2上恰 有四个对称中心，则@的取值范围为() 1317 「1317 B.22 D.L22 变式8-1.(25-26高一上山西月考)已知函数f(=sin0x(o>0)的图象关于点3,0对称，则() A.o的最小值为1 B.o的最大值为3 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.o的最大值为1 D.o的最小值为3 变式82.(25-26高-上江苏期末)已知丽数国-o0r+写到 0>0) 的图象在区间(0，)上有且仅有 一条对称轴，则0的取值范围是() 6引 B 变式83.(2526商三上湖南月考)函数=os0r-0>0 π 的图象关于直线=3对称，则@的 最小值为() 3 A.号 B.1 C.2 D.2 类型九、根据对称性求0 在三角函数⊙已知的情况下，根据对称性求0，则可以直接代入对称点或者对称轴的x,根据⊙x,+p等于 三角函数对称轴或对称点可直接求出0，属于比较简单的题型，要熟记三角函数的对称轴对称点。 例9.（河北省承德市2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题）已知函数 f(x)=sin(2x+p)(0<0<元的图象关于点 设对称，则p的植为一 变式9-1.(2025-2026学年高一上学期期末测试试卷数学)若函数川=sinx+9)的图象关于直线-号 对称，请写出一个符合题意的日值，6=一， 变式9-2.(25-26高二上·湖南衡阳·期中)已知函数 直线=语，则0=() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.-4 C.3 D.-g 变式93.《2025高上江苏专题练已知函数8=in2x+p0<p<的图象关于点乃场 称，则P的值为 类型十、根据零点求ω的取值范围 讨论三角函数Asin(ox+o)或Acos(ox+p)在区间(a,b)内零点的个数问题： 1、根据有没有零点或零点个数，判断b一a在几个周期以内。 2、根据零点个数确定oa+0与ob+o的范围 3、根据上述两点可以计算出o的取值范围，o的范围会跟k值有关，再根据k是整数，可以确定o的最值 例10.(25-26高一上·甘肃兰州·期末)已知函数 f(-2sin->0 若f(x)在区间[0，π]上恰有 3个零点，则0的取值范围是 变式10-1.(25-26高一上山东济南·月考)已知函数 f(x)=cos ox+@>0) 在区间0，上恰好有3个 零点，则0的取值范围是一· 魔式02,256高上果哈深期函数O石@>00， 在6)上恰有两个零点，实 数@的取值范围() A.51) [7,13) c.(7,13) D. (5,1] 变式10-3.(25-26高一上广东深圳期末)已知函数f八=200r-5(0>0)在区间-川有且仅有6 个零点，则0的取值范围是一 10/17 专题03 三角函数求参数取值范围 目录 典例详解 类型一、根据单调性求的取值范围 类型二、根据单调性求的取值范围 类型三、根据单调性求区间参数 类型四、根据最值或值域求的取值范围 类型五、根据最值或值域求的取值范围 类型六、根据最值或值域求区间参数 类型七、根据奇偶性求的取值范围 类型八、根据对称性求的取值范围 类型九、根据对称性求 类型十、根据零点求的取值范围 类型十一、根据零点个数求值域范围 类型十二、根据零点个数求区间参数 类型十三、根据综合性质求的取值范围 压轴专练 类型一、根据单调性求的取值范围 根据三角函数在给定区间内的单调性求 1、 根据题目给出的单调区间，可以判断，能找到最小周期的一个大概范围。 2、 根据三角函数的单调区间确定的范围 根据上述两点可以求出的范围 例1． 25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 变式1-1．（2026高一上·重庆·专题练习）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 变式1-2．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得，由题意结合正弦函数的图象得到，解不等式即可求出答案. 【详解】当时，因为，所以， 由于函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 变式1-3．（25-26高一上·天津·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性，计算解得参数的取值范围. 【详解】正弦函数的单调递增区间为， 因为函数，， 所以， 要使函数在上单调递增， 所以，解得，结合，故的取值范围是 故答案为：. 类型二、根据单调性求的取值范围 根据三角函数在给定的区间内的单调性求的取值，这种类型的题中是已知或者可求的.则可以根据三角函数的单调区间确定的范围，从而确定的取值范围 例2． （25-26高三上·重庆·开学考试）若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的对称性求得的可能取值，再根据单调性确定正确答案. 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 变式2-1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换求出，进而求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 变式2-2．（多选）（25-26高三上·河北雄安·期中）若函数在区间上单调递增，且，则的可能的取值有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先令解出的单调增区间，再根据为单调增区间的子集列不等式，解出，再根据判断选项即可. 【详解】易知的单调递增区间为，，故由可得，，于是可知，是的单调递增区间，而由题意有，，可得，，故，由可知AC正确. 故选：AC. 变式2-3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为 【答案】 【分析】首先根据函数的周期求，再根据的范围，结合三角函数的图像，结合端点值列不等式，即可求解. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以，当，， 因为，所以，因为在上单调递增， 故在上递增， 而在上递减，在上递增，在上递减， 所以，解得，所以的最大值为. 故答案为： 类型三、根据单调性求区间参数 根据给定的三角函数在动区间内的单调性，求动区间中的参数。 三角函数中不含参数，则可以先确定三角函数的单调区间，然后讨论动区间所属的区间或者讨论其所属的区间，从而求得参数。 例3．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 变式3-1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得，进而可得，由整体法求解函数的单调增区间，对进行取值，即可求解. 【详解】，周期， 因为函数在上单调递增，则，解得， 此时，则， 函数的单调递增区间满足，即， 当时，，不符合，舍去， 当时，，此时，解得. 当时，，不符合题意舍去， 综上可知，最大值为. 故选：C 变式3-2．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故答案为： 变式3-3．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 类型四、根据最值或值域求的取值范围 1、对于正弦函数，当函数取得最大值,当 2、对于，当 函数取得最大值,当 3、根据给出区间(里的最值个数或有没有最值的方法讨论的范围与零点个数讨论的方法类似。讨论(与最值间的关系，从而求得的范围 例4．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体思想，根据正弦函数的最值以及单调性，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】由，则，由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得，则，即， 化简可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 变式4-1．（2025高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由范围求得的范围，由条件建立不等式，解得实数的取值范围. 【详解】函数，由，得， 由函数恰好有5个最大值，4个最小值， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 变式4-2．（2025高一上·四川眉山·专题练习）已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为 【答案】 【分析】利用图象上的点求出，再由正弦型函数的性质求函数的最值点，讨论在区间上有三个最值点，即可得解. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 又，∴，； 由，解得， 又，即，整理得， 当，，对应； 当，，对应； 当，，对应； 要使在区间上有三个最值点，则当时对应的最值点应在区间内， 当时对应的最值点应在区间外或在区间端点处， 故有，解得，所以的最大值为. 故答案为： 变式4-3．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵，，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 类型五、根据最值或值域求的取值范围 根据三角函数在给定的区间内的最值情况或值域求的取值，这种类型的题中是已知或者可求的.则可以根据给定的区间可得三角函数在的最值情况，根据最值或者值域情况讨论的区间，从而确定的取值范围 例5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用换元法转化为在上有且仅有一个最大值，结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为： . 变式5-1．（25-26高三上·山东·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 变式5-2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为：；. 变式5-3．（25-26高三上·北京房山·期末）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，只需，即可） 【分析】由和差角公式及辅助角公式化简函数，然后得到方程，即可解得的值. 【详解】， ， 依题意，，即， 化简得，解得. 故答案为：（，即可）. 类型六、根据最值或值域求区间参数 根据三角函数在动区间的值域或者最值情况求动区间中的参数值。这种类型的题目三角函数为已知或者可求，只需要根据三角函数的值域或最值先去确定区间的范围。然后再讨论动区间的所属范围，从而求得区间中的参数。 例6．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 变式6-1．（25-26高三上·河南·期中）若函数在区间上的值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质及已知区间的值域有、，即可得. 【详解】由上函数的值域为，故， 所以，故，则. 故选：B 变式6-2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由指定区间求出相位范围，再由取得最小值建立不等式求出范围即得. 【详解】由，得，由函数在区间上的最小值为， 即取得最小值，得，解得，所以的最大值为. 故答案为： 变式6-3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由指定区间求出相位范围，再由取得最小值建立不等式求出范围即得. 【详解】由，得，由函数在区间上的最小值为， 即取得最小值，得，解得，所以的最大值为. 故答案为： 类型七、根据奇偶性求的取值范围 根据三角函数的奇偶性来确定的取值范围 函数 奇函数时 偶函数时 记忆口诀：正奇π整数，正偶半π移；余奇同正偶，余偶同正奇。 例7．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】是奇函数等价于，且时可以成立，再由充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】是奇函数等价于， 当时，得，所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件． 故选：A． 变式7-1．（25-26高一上·山西大同·期末）已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，由为奇函数，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】将函数向右平移个单位长度， 可得，定义域为R， 因为为奇函数，可得，即， 因为，可得， 则或或，解得或或， 又当时，，为奇函数， 故的最小值为 故答案为： 变式7-2．（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【详解】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 变式7-3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据图象变换可得，结合奇函数性质可得，即可得结果. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象， 又因为函数为奇函数，则，解得， 故可取的一个值为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 类型八、根据对称性求的取值范围 对题目给出对称性可得到对称轴与对称中心，与三角函数的对称轴、对称中心联立计算值。 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 例8． （25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，且，结合给定的区间有，即可求. 【详解】令，可得，且， 由，而时，时， 又在上恰有四个对称中心，则该区间内取值为， 所以，可得，则. 故选：B 变式8-1．（25-26高一上·山西·月考）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的对称性，计算即可. 【详解】函数的图象关于点对称， ，得：， 解得：， ， ， 当时取最小值，的最小值为，无最大值. 故选：D 变式8-2．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦函数的对称轴可得函数的对称轴为，进而结合题设得到，进而求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 变式8-3．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于的方程，进而求解的最小值. 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 类型九、根据对称性求 在三角函数已知的情况下，根据对称性求，则可以直接代入对称点或者对称轴的根据等于三角函数对称轴或对称点可直接求出，属于比较简单的题型，要熟记三角函数的对称轴对称点。 例9．（河北省承德市2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题）已知函数的图象关于点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据即可求出. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 故答案为： 变式9-1．（2025-2026学年高一上学期期末测试试卷数学）若函数的图象关于直线对称，请写出一个符合题意的值， ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合正弦型函数的对称轴的特点，化简求值，写出符合题意的； 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以； 所以，() 则，() 故答案为：（答案不唯一）. 变式9-2．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用整体替换法，令求解出的表示，根据的范围求解出的值. 【详解】由题意可知，，得. 因为，所以. 故选：A. 变式9-3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数的图象关于点对称，则的值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 类型十、根据零点求的取值范围 讨论三角函数或在区间内零点的个数问题： 1、根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 2、根据零点个数确定的范围 3、根据上述两点可以计算出的取值范围，的范围会跟值有关，再根据是整数，可以确定的最值 例10．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围. 【详解】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 故答案为： 变式10-1．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知， 结合解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 变式10-2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以. 因为函数在上恰有两个零点，而的零点为. 所以在这个区间内，的取值范围应该满足. 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 变式10-3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间有且仅有6个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由余弦函数图像性质求解即可. 【详解】由题意，即在区间有且仅有6个解， 由于为偶函数，即在区间有且仅有3个解， 由于，则， 结合图像可得， 则， 故答案为：. 类型十一、根据零点个数求值域范围 这种题型的问题可以看作为三角函数与直线（或者更复杂点的直线）在给定的区间内的交点的个数，来判断参数的范围。 1、由于三角函数与区间是给定的，所以可以先画出三角函数图像，然后找到给定区间对应的三角函数图像对应的那段曲线。 2、根据这段曲线的取值情况，然后根据交点个数来判断参数的取值。 例11．（25-26高二上·河北保定·月考）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象得到，，再根据，即可得到的解析式. （2）首先根据 已知得到，再根据求解即可. （3）根据已知条件得到，令，，，再结合图象求解即可. 【详解】（1）由图知：,， 所以. 因为， 解得，因为，所以，. （2）， （3）， 因为，所以. 令，，， 当时，，当时，，当时，，如图所示： 因为在区间上恰好有两个零点， 由图知：. 变式11-1．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先化简函数，结合最小正周期公式和单调区间计算即可； （2）把问题转化为方程有两个不同的解，根据正弦型函数的值域求解参数的范围； 【详解】（1） 最小正周期， 因为，所以， 所以单调递减区间为 （2）若在上有两个零点， 等价于在上有两个不同的解， ，此时，结合函数的图象和单调性 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 因此要使在上有两个不同的解，    变式11-2．（25-26高二上·云南·月考）已知向量，函数的部分图象如图所示： (1)求的最小正周期； (2)函数在有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的图象性质进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、函数零点定义、数形结合思想进行求解即可 【详解】（1）设的最小正周期为，， 由函数的图象可知， 所以函数的最小正周期为； （2）， 由（1）可知函数的最小正周期为， 所以，所以， 令，因为，所以， 令， 作及，的图象， 如图所示，当与，有两个不同的交点， 所以有. 变式11-3．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可. 【详解】因为与在上都单调递增， 所以在上单调递增， 因为在区间上有零点， 所以，即，即， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 类型十二、根据零点个数求区间参数 根据三角函数或在动区间区间内零点来讨论动区间内参数的取值，根据零点个数确定的范围，然后讨论动区间中所含的参数取值情况。 例12．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的函数图像性质即可求得的解析式； （2）令，则可转化为方程在有且仅有两个实根，解出t的多解表达式，并分析区间和正根之间的大小关系即可得到m的取值范围． 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为， 则， 所以，因为， 则，因为， 所以，解得，所以． （2）令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 变式12-1．（25-26高三上·江西赣州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数.若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式及图象平移得，再由余弦型函数的周期性及区间上零点的个数列不等式求参数范围. 【详解】由题意， 函数向右平移个单位长度，得， 当，则， 由题意，在区间上恰好有2个解， 因此，即. 故选：D 变式12-2．（25-26高一上·四川内江·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．图象的一个对称中心点为 C．在单调递增 D．若在恰有三个零点，则 【答案】B 【分析】根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式、对称中心、单调性及零点个数依次判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，，则是图象的对称中心，B正确； 对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C错误； 对于D，当时，，由函数在恰有三个零点， 得，解得，D错误. 故选：B 变式12-3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由，求出时的零点即可得解. 【详解】由，得， 若，则，，，，…， 则，，，，…， 第三个零点为，所以的最小值为. 故答案为：. 类型十三、根据综合性质求的取值范围 1、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 若已知单调区间，则。 根据有没有零点或零点个数，判断在几个周期以内。 4、当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值相等时，则为函数的对称轴，即对应的函数值为最大值或最小值。 5、当同一个周期内的两个变量对应的三角函数值互为相反数时，则可能为函数的对称点，或者 例12．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的对称性求出参数，再利用余弦函数的零点分布可确定参数的范围. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 变式12-1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 变式12-2．（25-26高一上·山西长治·期末）已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 由，得， 因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 变式12-3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，结合函数单调性得为函数的一个对称中心，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合零点的个数，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，， 所以的一个对称中心为，故， 因为，函数在区间上单调， 所以函数在区间上单调， 设函数的最小正周期为，则，即， 因为在区间上恰有4个零点，恰好为第一个零点， 所以，即，解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：； 1．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若和在上均单调递减，则m的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合余弦函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可知：，， 令，解得， 因为和在上均单调递减，则， 所以m的最大值为. 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 4．（25-26高三上·山东淄博·期末）若函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及换元法得出，再结合有最大值无最小值，数形结合即可求解． 【详解】， 令，则，对称轴为， 所以， 由且，可得或，由题可知，， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 综上所述，， 故答案为：． 5．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数（，）为上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 【答案】，或 【分析】根据偶函数确定的值，根据对称中心确定的表达式，根据单调性确定的取值范围，结合表达式和取值范围确定的值. 【详解】由是偶函数，得，. 因为，所以. 由的图象关于点对称，得. 因为，所以. 又因为，所以，，即，； 由可得，， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上不是单调函数. 综上，或. 6．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题）对于函数，若存在实数使得为偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”.若函数是位差值为的“位差偶函数”，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，由为偶函数，得到，求得，即可求解. 【详解】由函数是位差值为的“位差偶函数”， 又由， 所以， 因为为偶函数，则满足，所以， 当时，. 故选：D. 8．（2026届高三上学期期末考试数学）已知函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象变换得到新函数，根据三角函数性质及诱导公式求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到， 因为该图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以的最小值为， 故选：A. 9．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，若曲线的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质列式计算可得，，计算可得，代入即可得解. 【详解】由正切函数的性质可知，的对称中心为，， 因为曲线的图象关于点中心对称， 所以，即，， 由得，解得， 因为，所以，所以，即的最小值为， 故选：C 10．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 11．（25-26高一上·四川德阳·期末）若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式及辅助角公式化简，通过正弦型函数的图象即可求解. 【详解】函数在上有且仅有两个零点， 即的图象在上与轴有且仅有两个交点. 因为，所以， 结合正弦曲线可知，解得. 故选：D. 12．（25-26高一上·海南海口·月考）已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，，. (1)求的值； (2)求的单调递减区间； (3)函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）代入已知条件即可求出； （2）对题干中的式子利用公式化成正弦型函数，再利用其性质即可； （3）根据题干结合正弦函数的性质列出不等式即可. 【详解】（1），.因为，所以. （2） 于是. 设，.解得，. 因此的单调递减区间为，. （3）因为，所以. 因为函数在上的零点个数恰为2个，所以. 解得.即. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为的一个零点，为图像的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由函数的一个零点和一条对称轴可得，进而可得的可能值为，然后从小到大验证可得的最小值. 【详解】函数，为的一个零点， 所以，得，① 又因为为对称轴，得，② ②减去①得：， ，， 令，则. 又因为，所以的可能值为. （1）当时，由①可得， 又，则，， 由时，， 因为正弦函数在上是单调递增， 所以在上单调递增，不符合题意； （2）当时，由①可得， 因为，所以不存在，故不符合题意； （3）当时，由①可得，取得， 所以，由时，， 因正弦函数在有一个极大值点，令， 所以函数在上有一个极大值点. 故函数在上不单调，所以的最小值为. 故答案为：． 15．（25-26高三上·山西大同·期中）已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 . 【答案】11 【分析】由最大值得到，由为对称中心，得到，再结合单调性得到，再验证，即可求解. 【详解】因为， 所以，，所以， 又，所以是函数的对称中心， 所以，，所以， 所以，即， 所以是奇数，又函数在区间上单调， 所以即，所以， 当时，不符合题意； 当时，，，又， 取，时，满足， 所以最大值为11. 故答案为：11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $