辽宁省趋势卷（2-2）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年辽宁省中考数学趋势卷（2-2） 一．选择题（共10小题） 1．下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 3．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．（a3）2＝a5 B．2a3•a3＝2a9 C．a3+a3＝a6 D．（a3b）2＝a6b2 5．2025年某省高考首次实行“3+1+2”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB∥CD，直线MN交AB于点E，直线HE⊥MN，∠1＝132°，则∠2等于（　　） A．32° B．38° C．42° D．48° 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为（　　） A． B．6 C．4 D． 8．将点A（2，﹣1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（　　） A．（4，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣3） D．（0，﹣1） 9．如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 10．如图，在△ABC中，以点C为圆心、AC长为半径作弧与AB交于点D，连接CD，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB的大小为（　　） A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D． 二．填空题（共5小题） 11．9月2日，“蛟龙号”载人潜水器完成2024西太平洋国际航次科考的第11次下潜作业，若“蛟龙号”上浮300m记作+300m，那么下潜600m可记作 　 　 ． 12．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝　 　 kg/m3． 13．如表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.23 9.3 9.3 方差 0.23 0.017 0.057 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择 　 　 ． 14．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 　 　 ． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是线段AB上的一点，且AEAB，F是线段OC的中点，连接EF交BD于点M，若AB＝10，AC＝16，则线段BM的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）化简；． 17．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 18．为了增强学生的疫情防控意识，某校进行了疫情防控知识竞赛．现从八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100）进行整理、描述和分析，当分数不低于90分为优秀，下面给出部分信息． 八年级随机抽取了20名学生的知识竞赛分数是： 65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，a，92，92，97，97，98，98，99，100，100 九年级随机抽取了20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，B、C两组的数据是：92，94，88，92，90，94，85，92，91，93 年级 八年级 九年级 平均数 90.55 90.55 中位数 91 b 优秀率 70% m% 根据以上信息，回答下列问题： 填空：（1）a＝　 　 ；b＝　 　 ；m＝　 　 ；n＝　 　 ． （2）根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级疫情防控知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，估计这两个年级的学生疫情防控知识竞赛成绩为优秀（分数不低于90分为优秀）的一共有多少人？ 19．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k，b的值； （2）根据图象，则不等式0＜3x＜kx+b的解集为　 　 ； （3）M为直线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标． 21．如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E． （1）求∠OEC的度数． （2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长． 22．已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，交AC的延长线于点F，BC交x轴于点D，若AD＝10，求BF的长； （2）如图2，当点C运动到原点O时，∠BAO的平分线交y轴于点E，点F为线段OA上一点将△BOF沿EF翻折，FO的对应边的延长线交AB于点G，H为线段AG上一点，且EF＝EH，试判断线段HG、FG、OF之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若A（﹣6，0），C（0，3），在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PBC与△ABC全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标； （3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标． 【一轮复习】2026年辽宁省中考数学趋势卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A C D A C C 一．选择题（共10小题） 1．下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．俯视图是圆，故本选项不符合题意； B．俯视图是三角形，故本选项符合题意； C．俯视图是矩形，故本选项不符合题意； D．俯视图是六边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 【答案】B 【解答】解：35500＝3.55×104． 故选：B． 3．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A．（a3）2＝a5 B．2a3•a3＝2a9 C．a3+a3＝a6 D．（a3b）2＝a6b2 【答案】D 【解答】解：A、（a3）2＝a6，选项错误，不符合题意； B、2a3⋅a3＝2a6，选项错误，不符合题意； C、a3+a3＝2a3，选项错误，不符合题意； D、（a3b）2＝a6b2，选项正确，符合题意； 故选：D． 5．2025年某省高考首次实行“3+1+2”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，作树状图如下： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：（B，D），（D，B）， ∴P（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A． 6．如图，AB∥CD，直线MN交AB于点E，直线HE⊥MN，∠1＝132°，则∠2等于（　　） A．32° B．38° C．42° D．48° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝132°， ∴∠BEN＝∠1＝132°， ∴∠AEN＝180°﹣132°＝48°． ∵EH⊥MN， ∴∠HEN＝90°， ∴∠2＝∠HEN﹣∠AEN＝90°﹣48°＝42°． 故选：C． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为（　　） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：连接BE，作B点关于A点的对称点B′，连接CB′， ∵AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF， ∴CE+DF＝CE+BE， ∵AB＝2，AD＝4， ∴BB′＝4BC＝4， ∴． 故选：D． 8．将点A（2，﹣1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（　　） A．（4，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣3） D．（0，﹣1） 【答案】A 【解答】解：∵点A（2，﹣1）向右平移2个单位得到A'， ∴A′的坐标是：（4，﹣1）． 故选：A． 9．如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【答案】C 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，以点C为圆心、AC长为半径作弧与AB交于点D，连接CD，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB的大小为（　　） A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意知AC＝CD， ∴∠CDA＝∠BAC＝α； 由条件可知∠DCB＝∠ADC﹣∠ABC＝α﹣β； 由尺规作图知，BH平分∠ABC， ∴； ∴∠DHB＝∠HBC+∠DCB ． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．9月2日，“蛟龙号”载人潜水器完成2024西太平洋国际航次科考的第11次下潜作业，若“蛟龙号”上浮300m记作+300m，那么下潜600m可记作 　﹣600m ． 【答案】﹣600m 【解答】解：下潜600m可记作﹣600m， 故答案为：﹣600m． 12．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝　0.68　 kg/m3． 【答案】0.68． 【解答】解：设ρ与V的函数关系式为ρ， 当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3， ∴1.36， ∴k＝1.36×20＝27.2， ∴ρ与V的函数关系式是ρ； 当V＝40m3时，ρ0.68（kg/m3）． 故答案为：0.68． 13．如表记录了甲、乙、丙三名学生这学期的射击成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.23 9.3 9.3 方差 0.23 0.017 0.057 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择 　乙　 ． 【答案】乙 【解答】解：∵丙和乙的平均数较大， ∴从丙和乙中选择一人参加竞赛， ∵乙的方差较小， ∴选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 14．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 　86cm ． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 【答案】86cm． 【解答】解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P， 由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°， ∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm）， ∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm）， 故答案为：86cm． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是线段AB上的一点，且AEAB，F是线段OC的中点，连接EF交BD于点M，若AB＝10，AC＝16，则线段BM的长为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：延长EF交CD于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OD＝OBBD，AB＝CD＝10，AB∥CD， ∵AEAB， ∴AE＝6，BE＝4， 在Rt△AOB中，OB6， ∴BD＝2OB＝12， ∵F是线段OC的中点， ∴OF＝FCOC＝4， ∴AF＝OA+OF＝12， ∵AB∥CD， ∴∠CAE＝∠ACD，∠GEA＝∠EGC， ∴△AEF∽△CGF， ∴， ∴， ∴GC＝2， ∴DG＝DC﹣GC＝8， ∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD，∠DGE＝∠GEB， ∴△DGM∽△BEM， ∴2， ∴BMBD＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）化简；． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨； （2）设该货车一次可运输m套这种设备， 根据题意得：（0.6+0.8×3）•m+6≤49， 解得：m≤14， ∵m为正整数， ∴m的最大值为14， 答：该货车一次最多可运输14套这种设备． 18．为了增强学生的疫情防控意识，某校进行了疫情防控知识竞赛．现从八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100）进行整理、描述和分析，当分数不低于90分为优秀，下面给出部分信息． 八年级随机抽取了20名学生的知识竞赛分数是： 65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，a，92，92，97，97，98，98，99，100，100 九年级随机抽取了20名学生的知识竞赛分数中，A、D两组数据个数相等，B、C两组的数据是：92，94，88，92，90，94，85，92，91，93 年级 八年级 九年级 平均数 90.55 90.55 中位数 91 b 优秀率 70% m% 根据以上信息，回答下列问题： 填空：（1）a＝　91　 ；b＝　92　 ；m＝　65　 ；n＝　144　 ． （2）根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级疫情防控知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，估计这两个年级的学生疫情防控知识竞赛成绩为优秀（分数不低于90分为优秀）的一共有多少人？ 【答案】（1）91，92，65，144； （2）八年级学生疫情防控知识掌握得更好，理由见解析； （3）1150人． 【解答】解：（1）（91+a）＝91，解得a＝91， 九年级测试成绩的中位数b（92+92）＝92， 九年级测试成绩分数不低于90分的人数所占百分比为100%＝65%， ∴m＝65， 九年级测试成绩C组人数所占的比例为， ∴n＝360144， 故答案为：91，92，65，144； （2）八年级学生疫情防控知识掌握得更好，理由如下： 八年级测试成绩的优秀率大于九年级； （3）估计这两个年级的学生疫情防控知识竞赛成绩为优秀（分数不低于90分为优秀）的一共有900×70%+800×65%＝1150（人）；． 19．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k，b的值； （2）根据图象，则不等式0＜3x＜kx+b的解集为　0＜x＜1　 ； （3）M为直线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标． 【答案】（1）k＝﹣1，b＝4； （2）0＜x＜1； （3）M点坐标为（4，0）或（﹣2，6）． 【解答】解：（1）由条件可知C（1，3）， 由条件可得， 解得， ∴k的值是﹣1，b的值是4； （2）由0＜3x＜kx+b知，当0＜x＜1时，函数y＝kx+b的图象位于函数y＝3x的图象上方， 故不等式的解集为0＜x＜1； 故答案为：0＜x＜1； （3）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∴D点坐标为（0，4）， ∴OD＝4． 设点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+4），N（m，3m）， ∵MN＝3DO， ∴|3m﹣（﹣m+4）|＝3×4， 解得：m＝4或m＝﹣2， 即M点坐标为（4，0）或（﹣2，6）． 21．如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E． （1）求∠OEC的度数． （2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长． 【答案】（1）90°； （2）2． 【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠OAD， ∵OAD＝∠ODA， ∴∠BAD＝∠ODA， ∴AB∥OD， ∴∠B＝∠OEC， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠B＝90°， ∴∠OEC＝90°； （2）连接DC，如图： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， 设半径为r，则OA＝OD＝OC＝r， OE＝r﹣4，AB＝2OE＝2r﹣8，AC＝2r， 在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2＝CE2+DE2＝OC2﹣OE2+DE2， ∴（2r）2﹣（2）2＝r2﹣（r﹣4）2+42， 解得r＝7或﹣5（舍去）， ∴AC＝14，DC， ∵AF是切线， ∴AF⊥AC， ∵DG∥FA， ∴DG⊥AC， ∴S△ADC， ∴， 解得DG＝2． 22．已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，交AC的延长线于点F，BC交x轴于点D，若AD＝10，求BF的长； （2）如图2，当点C运动到原点O时，∠BAO的平分线交y轴于点E，点F为线段OA上一点将△BOF沿EF翻折，FO的对应边的延长线交AB于点G，H为线段AG上一点，且EF＝EH，试判断线段HG、FG、OF之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若A（﹣6，0），C（0，3），在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PBC与△ABC全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10； （2）FG+HG＝2FO；证明见解答过程； （3）在坐标平面内存在一点P（不与点C重合），使△PBC与△ABC全等；P点的坐标为：（6，6），（9，0），（﹣3，﹣6）． 【解答】解：（1）∵BE⊥x轴，∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠F＝∠FAE+∠F， ∴∠CBF＝∠FAE， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AD＝10； （2）FG+HG＝2FO； 证明：连接EG，EA，过点E作EM⊥AB于点M，过点E作EN⊥FG于点N， 由折叠的性质可得：∠EFO＝∠EFN， ∵∠EFO＝∠EFN，EM⊥AB，EO⊥FO， ∴EO＝EN， ∵AE为∠BAO的角平分线，EM⊥AB，EO⊥FO， ∴∠HME＝∠FOE＝90°，EM＝EO， ∴EO＝EN＝EM， 在Rt△ENG和Rt△EMG中， ， ∴Rt△ENG≌Rt△EMG（HL）， ∴GN＝GM， 在Rt△ENF和Rt△EMH中， ， ∴Rt△ENF≌Rt△EMH（HL）， ∴FN＝HM， ∴FG+HG＝FN+GN+HG＝FN+GM+HG＝FN+HM＝2FN， 在Rt△EFO和Rt△EFN中， ， ∴Rt△EFO≌Rt△EFN（HL）， ∴FN＝FO， ∴FG+HG＝2FO； （3）在坐标平面内存在一点P（不与点C重合），使△PBC与△ABC全等；P点的坐标为：（6，6），（9，0），（﹣3，﹣6）；理由如下： ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵△PBC与△ABC全等， ∴△PBC是等腰直角三角形， 如图3，△ACB≌△PCB， 过点C作x轴的平行线MN，过点A，P分别作MN的垂线，垂足分别为M，N， ∴∠M＝∠N＝90°， ∵A（﹣6，0），C（0，3）， ∴MC＝OC＝3，MC＝AO＝6， ∵△ACB≌△PCB， ∴AC＝PC， 在△MCA和△NCP中， ， ∴△MCA≌△NCP（AAS）， ∴CN＝MC＝6，PN＝MA＝3， ∴P（6，6）， 如图4，△ACB≌△PBC， ∴∠BCP＝∠ABC＝45°， ∴∠ACP＝45°， ∴PC平分∠ACB， ∴PC⊥AB且PC平分AB， ∴PA＝PB， ∵AC＝BC＝PB， ∴AP＝AC， 又∵∠PBA＝∠PBC﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°， ∴△ABP是等腰直角三角形， ∴∠PAB＝45°， ∴∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝90°， 如图4，过点A作y轴的平行线DE，过点C，P分别作DE的垂线，垂足分别为D，E， ∴∠PAE＝90°﹣∠DAC＝∠DCA，∠E＝∠D＝90°， 在△AEP和△CDA中， ， ∴△AEP≌△CDA（AAS）， ∴AD＝EP＝3，AE＝DC＝6， ∴P（﹣3，﹣6）， 如图5，△ABC≌△CPB， 过点B分别作x，y轴的垂线，垂足分别为F，E， ∴∠BFP＝∠COA， ∵△ABC≌△CPB，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACB＝∠PBC， ∴AC∥PB， ∴∠CAO＝∠BPF（AAS）， ∵AC＝BC＝PB， ∴△ACO≌△PBF（AAS）， ∴BF＝CO＝3，PF＝AO＝6， ∵∠ECB＝90°﹣∠ACO＝∠CAO，AC＝BC，∠AOC＝∠CEB， ∴△AOC≌△CEB（AAS）， ∴BE＝CO＝3， ∴OP＝OF+FP＝9， ∴P（9，0）． 综上所述，在坐标平面内存在一点P（不与点C重合），使△PBC与△ABC全等；P点的坐标为：（6，6），（9，0），（﹣3，﹣6）． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标； （3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】（1）yx2x﹣2； （2）（﹣6，10）； （3）定点坐标为（，）．理由： 设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C（6，4）代入，解得b＝4﹣6k， 故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4， 则点M（0，﹣6k+4）， x2x﹣2＝kx﹣6k+4， 整理得x2﹣（k）x+6k﹣6＝0， ∴xC+xE＝2+4k， ∴xE＝4k﹣4 ①， 同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②， 由x2x﹣2＝mx+n， 整理得x2﹣（m）x﹣2﹣n＝0， ∴xE+xF＝4m+2③， xE•xF＝﹣8﹣4n④， 将①②代入③④得， 又OM•ON＝3， ∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3， ∴nm， ∴y＝mx+n＝mxmm（x）， 当x时，y， ∴直线EF经过定点且定点坐标为（，）． 【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA， ∴CA＝CM， 过点C作CQ⊥AM于点Q， 则QM＝AQ＝8， ∴点M坐标为（14，0）， 设直线DM的解析式为y＝kx+b，将C（6，4），M（14，0）代入得： ， 解得， 直线DM的解析式为：yx+7， 令yx+7x2x﹣2； 解得x＝﹣6或6， x＝﹣6，y（﹣6）+7＝10， ∴点D坐标为（﹣6，10）； （3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C（6，4）代入，解得b＝4﹣6k， 故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4， 则点M（0，﹣6k+4）， x2x﹣2＝kx﹣6k+4， 整理得x2﹣（k）x+6k﹣6＝0， ∴xC+xE＝2+4k， ∴xE＝4k﹣4 ①， 同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②， 由x2x﹣2＝mx+n， 整理得x2﹣（m）x﹣2﹣n＝0， ∴xE+xF＝4m+2③， xE•xF＝﹣8﹣4n④， 将①②代入③④得， 又OM•ON＝3， ∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3， ∴﹣36×（mn+1）+24×（m）﹣16＝3， ∴nm， ∴y＝mx+n＝mxmm（x）， 当x时，y， ∴直线EF经过定点且定点坐标为（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $