河南省趋势卷（2-1）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年河南省中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作﹣600年，那么公元2026年应记作（　　） A．﹣2026年 B．+1426年 C．+2026年 D．+2626年 2．如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（　　） A．B． C．D． 3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6 4．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 5．一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 7．若x为正整数，，则A结果的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB，∠B＝45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（　　） A．1 B．22 C．2 D．4﹣2 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场，在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．体育场离小明家1.5 km B．小明在体育场锻炼时间为40min C．小明从家到体育场时步行的平均速度是0.1 m/min D．小明从文具店跑步回家的平均速度是300 m/min 二．填空题（共5小题） 11．若有意义，则x的取值范围为　 　 ． 12．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为　 　 ． 13．观察下列一串单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…，则第10个单项式为　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以BC为直径的半圆O与AD相切于点E，连接BE，以点B为圆心，BE长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．（结果保留π） 15．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房凛，做成三角形房脊，图2是房梁的平面图．MN是加固房梁的一根横撑，AB＝AC＝2.5米，BC＝3米，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）计算：x（x+2）+（x﹣1）2． 17．杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为（1000±10）g，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位：g）； 甲：987，987，993，993，1000，1003，1003，1003，1013，1015； 乙：988，988，989，999，999，999，1000，1012，1013，1014． 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由． 18．将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C、B两点分别在x轴和y轴上，∠ABO＝∠D＝90°，OB＝OC，AB＝3． （1）求边OC的长． （2）将直角三角板OAB绕点O顺时针方向旋转，使OA落在x轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积． 19．如图，在▱ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交AD于点E，连接BE；再分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P，Q，作直线PQ，交BC于点F，连接DF． （1）直线MN的尺规作图过程是在作线段 　 　 的 　 　 线； （2）在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形． 20．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价； （2）某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ （3）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 21．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆BE的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上； 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：cm） 小明身高AD（地面到眼睛） 160 标杆高度BE 400 小明到标杆距离AB 400 旗杆到标杆距离BC 1600 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围． 23．某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在△ABC中，点D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【内化迁移】 如图2，在▱ABCD中，点E为边BC上一点，点F为BA延长线上一点，∠CFE＝∠D．若CF＝3，CE＝2，求AD的长． 【学以致用】 如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点E是BC延长线上一点，连接EA，将EA绕点A逆时针旋转30°得到E′A，过点E作EF∥BD交AE′的延长线于点F，若EFBD，求BE的长． 【综合拓展】 如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点C在射线BP上，∠CAD＝60°，且AC•AD＝AB2，过点D作DE⊥BP于点E．当AB＝2时，请直接写出DEBE的最大值　 　 ． 【一轮复习】2026年河南省中考数学趋势卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A D A A A D 一．选择题（共10小题） 1．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作﹣600年，那么公元2026年应记作（　　） A．﹣2026年 B．+1426年 C．+2026年 D．+2626年 【答案】C 【解答】解：如果公元前600年记作﹣600年， 那么公元2026年应记作+2026年， 故选：C． 2．如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， A．选项A中的“〇”与“*”是对面，不是邻面与原图不符，因此选项A不符合题意； B．选项B中的展开图折叠成正方体后，“△”的“尖”不指向“*”面，而指向空白面，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠成正方体后符合原图，因此选项C符合题意； D．选项D中的展开图“△”与“*”是对面，不是邻面，与原正方体不符，因此选项D不符合题意； 故选：C． 3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6 【答案】A 【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5． 故选：A． 4．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 【答案】C 【解答】解：图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是对顶角相等， 故选：C． 5．一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝49﹣40＝9＞0， 所以方程有两个不相等实数根， 故选：A． 6．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意得，AD＝BD，AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵BC， ∴DE， 故选：D． 7．若x为正整数，，则A结果的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， ∵x为正整数，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x≥2，则x+1≥3， ∴． 故选：A． 8．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设A，D为同一根绳子，B，E为同一根绳子，C，F为同一根绳子， 列表如下： D E F A （A，D） （A，E） （A，F） B （B，D） （B，E） （B，F） C （C，D） （C，E） （C，F） 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果有：（A，D），（B，E），（C，F），共3种， ∴两人恰好选中同一根绳子的概率为． 故选：A． 9．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB，∠B＝45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（　　） A．1 B．22 C．2 D．4﹣2 【答案】A 【解答】解：∵在边长为的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高， ∴AE＝1， 由折叠的性质可知，△ABF为等腰直角三角形， ∴S△ABFAB•AF＝1，S△ABE，BF＝2， ∴CF＝BF﹣BC＝2， ∵AB∥CD， ∴∠GCF＝∠B＝45°， 又由折叠的性质知，∠F＝∠B＝45°， ∴CG＝GF1． ∴S△CGFGC•GF， ∴重叠部分的面积＝S△ABF﹣S△ABE﹣S△CGF＝1（3﹣2）1． 故选：A． 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场，在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．体育场离小明家1.5 km B．小明在体育场锻炼时间为40min C．小明从家到体育场时步行的平均速度是0.1 m/min D．小明从文具店跑步回家的平均速度是300 m/min 【答案】D 【解答】解：A、体育场离小明家1km，选项错误，不符合题意； B、小明在体育场锻炼时间为40﹣10＝30min，选项错误，不符合题意； C、小明从家到体育场时步行的平均速度是0.1km/min，选项错误，不符合题意； D、小明从文具店跑步回家的平均速度是300 m/min，选项正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．若有意义，则x的取值范围为x≥﹣7且x≠3　 ． 【答案】x≥﹣7且x≠3． 【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣7且x≠3． 故答案为：x≥﹣7且x≠3． 12．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：， 根据离差平方和的定义可得： 离差平方和为（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2+（3﹣4）2＝1+1+0+1+1＝4． 故答案为：4． 13．观察下列一串单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…，则第10个单项式为　﹣29x10 ． 【答案】﹣29x10． 【解答】解：单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…， ∴系数依次为（﹣2）n﹣1，字母x的指数依次为n（n为正整数）， ∴第10个单项式的系数为（﹣2）10﹣1＝（﹣2）9＝﹣29，字母x的指数为x10，即﹣29x10， 故答案为：﹣29x10． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以BC为直径的半圆O与AD相切于点E，连接BE，以点B为圆心，BE长为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 　6﹣π　 ．（结果保留π） 【答案】6﹣π． 【解答】解：连接OE， ∵AD是半圆O的切线， ∴OE⊥AD， ∵∠A＝∠ABO＝90°，OB＝OE， ∴四边形ABOE为正方形， ∴AE＝AB＝2， ∴BE＝2，∠ABE＝45°， ∴∠EBF＝45°， ∴S阴影部分＝2×42×26﹣π， 故答案为：6﹣π． 15．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房凛，做成三角形房脊，图2是房梁的平面图．MN是加固房梁的一根横撑，AB＝AC＝2.5米，BC＝3米，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为 　米　 ． 【答案】米 【解答】解：连接AM，如图所示， ∵AB＝AC＝2.5米，BC＝3米，M为BC的中点，MN⊥AC于点N， ∴∠AMC＝90°，CMBC＝1.5米， ∴AM2（米）， ∵， ∴， 解得MN， 故答案为：米． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）计算：x（x+2）+（x﹣1）2． 【答案】（1）； （2）2x2+1． 【解答】解：（1） ＝3﹣1+21 ＝1+2； （2）x（x+2）+（x﹣1）2 ＝x2+2x+x2﹣2x+1 ＝2x2+1． 17．杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为（1000±10）g，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位：g）； 甲：987，987，993，993，1000，1003，1003，1003，1013，1015； 乙：988，988，989，999，999，999，1000，1012，1013，1014． 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　1003　 ，b＝ 　999　 ． （2）若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由． 【答案】（1）1003，999； （2）甲队胜，理由见解析． 【解答】解：（1）甲队10名队员采摘的杨梅每篮重量为1003的最多，故众数a＝1003， 乙队10名队员采摘的杨梅每篮重量位于第五、六的都是999，故中位数b＝999， 故答案为：1003，999； （2）甲队胜，理由如下： ∵甲队有6人采摘的杨梅每篮重量符合标准重量，乙队有4人符合标准重量， ∴甲队胜． 18．将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C、B两点分别在x轴和y轴上，∠ABO＝∠D＝90°，OB＝OC，AB＝3． （1）求边OC的长． （2）将直角三角板OAB绕点O顺时针方向旋转，使OA落在x轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB＝30°， ∴OBAB＝3， ∴OC＝OB＝3， （2）在Rt△OAB中，∵∠AOB＝30°， ∴AB＝2AB＝6， ∵△ODC为等腰直角三角形， ∴OD＝CDOC， ∴S阴影部分＝S扇形AOA′﹣S△OCD••6π． 19．如图，在▱ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交AD于点E，连接BE；再分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P，Q，作直线PQ，交BC于点F，连接DF． （1）直线MN的尺规作图过程是在作线段 AB 的 　垂直平分　 线； （2）在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形． 【答案】（1）AB，垂直平分； （2）见解答． 【解答】（1）解：根据基本作图，MN为AB的垂直平分线； 故答案为：AB，垂直平分； （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， 由作法得MN垂直平分AB，PQ垂直平分CD， ∴EA＝EB，FC＝FD， ∴∠A＝∠ABE，∠CDF＝∠C， ∴∠A＝∠ABE＝∠CDF＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， 即ED＝FB， 而ED∥FB， ∴四边形BEDF是平行四边形． 20．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价； （2）某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ （3）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）有2种购买方案：①购进甲种苹果6箱，乙种苹果5箱；②购进甲种苹果2箱，乙种苹果10箱； （3）该公司最少需花费900元． 【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购进甲种苹果m箱，乙种苹果n箱， 根据题意得：100m+80n＝1000， 解得：m＝10n， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购进甲种苹果6箱，乙种苹果5箱； ②购进甲种苹果2箱，乙种苹果10箱； （3）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（10﹣x）箱， 根据题意得：10﹣x≤x， 解得：x≥5， 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（10﹣x）＝20x+800， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝5时，w有最小值＝20×5+800＝900， 答：该公司最少需花费900元． 21．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆BE的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上； 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：cm） 小明身高AD（地面到眼睛） 160 标杆高度BE 400 小明到标杆距离AB 400 旗杆到标杆距离BC 1600 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】旗杆的高度为1360cm． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥CF于H，交BE于点G，则四边形ACHD是矩形， 由题意可知，AD＝BG＝CH＝160cm，DG＝AB＝400cm，GH＝BC＝1600cm， ∴EG＝BE﹣BG＝400﹣160＝240（cm）， ∵BE∥CF， ∴△DGE∽△DHF， ∴， ∴， ∴FH＝1200cm， ∵CF＝CH+FH＝160+1200＝1360（cm）， ∴旗杆的高度为1360cm． 22．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+4x﹣5． （2）m的值为1． （3）n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）， ∴， ∴． ∴抛物线为y＝x2+4x﹣5． （2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称， ∴B1（2，16）， ∴B2（﹣6，16）， ∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上， ∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（﹣6﹣m，16）， 把点（﹣6﹣m，16）代入y＝x2+4x﹣5得，16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5， 解得m＝1或m＝﹣9（舍去）， ∴m的值为1． （3）由题意，当n＞﹣2时， ∴最大值与最小值的和为（n+2）2﹣9+7＝﹣2． ∴n＝﹣2不符合题意，舍去． 当﹣6≤n≤﹣2 时， ∴最大值与最小值的和为7﹣9＝﹣2，符合题意． 当n＜﹣6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2﹣9﹣9＝﹣2， 解得 n1＝2 或 n2＝﹣6，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2． 23．某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在△ABC中，点D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【内化迁移】 如图2，在▱ABCD中，点E为边BC上一点，点F为BA延长线上一点，∠CFE＝∠D．若CF＝3，CE＝2，求AD的长． 【学以致用】 如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点E是BC延长线上一点，连接EA，将EA绕点A逆时针旋转30°得到E′A，过点E作EF∥BD交AE′的延长线于点F，若EFBD，求BE的长． 【综合拓展】 如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点C在射线BP上，∠CAD＝60°，且AC•AD＝AB2，过点D作DE⊥BP于点E．当AB＝2时，请直接写出DEBE的最大值　2　 ． 【答案】【合作探究】证明见解答； 【内化迁移】AD； 【学以致用】BE； 【综合拓展】2． 【解答】【合作探究】证明：如图1，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB； 【内化迁移】解：如图2，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD＝BC， ∵∠CFE＝∠D， ∴∠CFE＝∠B， ∵∠ECF＝∠BCF， ∴△CEF∽△CFB， ∴， ∵CF＝3，CE＝2， ∴， ∴BC， ∴AD＝BC； 【学以致用】解：如图3，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO∠ABC＝30°， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝2， ∴AOAB，OBAO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∵EFBD， ∴EF＝4， 过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N， Rt△ABM中，∠BAM＝90°﹣60°＝30°， ∴BMAB，AM＝3， Rt△EAN中，∠EAN＝30°， ∴ENAE， 设AE＝2b，则EN＝b， ∵EF∥BD， ∴∠FEG＝∠DBC＝30°， ∴∠FEG＝∠EAN＝30°， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG＝180°，∠AFE+∠AEF+∠EAN＝180°， ∴∠AFE＝∠AEB， ∴sin∠AFE＝sin∠AEB， ∴， ∴b（负值舍）， ∴AE＝2， ∴EM， ∴BE＝BM+EM； 【综合拓展】如图，作DG∥AC和AG∥BC交于点G，作DF⊥AC于点F，连接BG、CG， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝90°， ∴DF＝AD•sin∠DAC＝ADsin60°， ∴S△ADCAC•DFAC•AD•sin60°AB2•sin60°， ∵DG∥AC，AG∥BC， ∴S△ADC＝S△AGC＝S△ABC，∠GAB＝∠ABC＝90°，∠ADG＝180°﹣∠DAC＝120°， ∴AG， 作△ADG的外接圆，记圆心为O，连接OA、OD、OG， 则∠AOG（360°﹣∠ADG）＝120°， ∴∠OAG（180°﹣∠ADG）＝30°， ∴∠OAB＝∠GAB﹣∠OAG＝60°， 设圆O与AB交于A′，则OA＝OA'， ∴△OAA′是等边三角形， ∴∠AOA'＝∠AA'O＝60°， ∴∠AOA'+∠AOG＝180°，△OAA′是等边三角形， ∴A′，O，G三点共线，即A′G是圆O的直径， ∴A′G2， ∴圆O的半径为1， ∵△OAA'是等边三角形， ∴AA'＝OA＝OA'＝1， ∴A'B＝AB﹣AA'＝1， ∴A'B＝OA'， ∴∠ABO∠AA′O＝30°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝60°，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠OAB＝90°， ∴OB， 作ON⊥BC于点N，OM⊥DE于点M，则∠ONB＝∠OMD＝90°， 则ON＝OB•sin∠OBNsin60°，BN＝OB•cos∠OBNcos60°， ∵∠ONE＝∠DEB＝∠OME＝90°， ∴四边形ONEM是矩形， ∴OM＝EN，EM＝ON， 设DE＝x，BEy，则DEBE＝x+y， ∴OM＝EN＝BE﹣BNy，DM＝DE﹣ME＝x， 在Rt△ODM中，OM2+DM2＝OD2， ∴（y）2+（x）2）＝1， 令x+y＝t，则y＝t﹣x， 则[（t﹣x）]2+（x）2＝1， 整理得：4x2﹣6tx+3t2﹣3t+2＝0， ∴Δ＝（﹣6t）2﹣4×4×（3t2﹣3t+2）≥0， 整理得3t2﹣12t+8≤0， 令3t2﹣12t+8＝0， 则t1＝2，t2＝2， ∴3t2﹣12t+8≤0的解集为2t≤2， ∴t的最大值为2， 即DBE的最大值为2， 方法二：将AB绕着A逆时针旋转60°得到AF，连接DF， ∴AB＝AF＝2，∠DAF＝∠BAC， ∴AB•AF＝AC•AD＝4， ∴， ∴△ABC∽△ADF， ∴∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴点D在以AF为直径的半圆上运动，连接BO并延长交半圆O于D′，易证OB⊥AO，∠ABO＝30°， ∴∠OBE＝60°，OB， ∴D′B1， 延长DE至点Q，使得EQBE，连接BQ，则DEDQ，∠EBQ＝30°，∠Q＝60°， 过D作DG⊥BQ交BQ于点G， 则DQDG， ∵DG≤DB≤D′B， ∴DQDGDBD′B（1）＝2， 当点G与B重合时取“＝”， ∴DEBE的最大值为2， 故答案为：2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $