河北省趋势卷（2-2）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年河北省中考数学趋势卷（2-2） 一．选择题（共12小题） 1．如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　） A．﹣10元 B．+10元 C．﹣5元 D．+5元 2．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 3．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙两个长方形，它们的长之比为5：8，宽之比为2：3，则这两个长方形面积之比是（　　） A．7：1 B．15：16 C．5：12 D．12：5 5．斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 6．若一元二次方程x（x﹣2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 8．已知当x＝1时，代数式ax34的值为5，则当x＝﹣1，代数式ax34的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D．4 9．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 11．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是（　　） A．90°﹣3α B．4α﹣180° C．180°﹣3α D．3α﹣90° 12．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（﹣7，5）在直线l：y＝kx﹣2上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（　　） A．5 B．7 C．3 D．6 二．填空题（共4小题） 13．合并同类项： 　 　 ． 14．如图，平行四边形ABCD的面积为4．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，图中阴影部分的面积为 　 　 ． 15．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为60km/h，在坡路上行驶的速度为30km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了6.5h，则汽车在坡路上行驶了　 　 h． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　 　 步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 　 　 ， 解不等式②，得 　 　 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　 　 ． 18．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 19．综合与实践： 【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为点D、E，求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明． 20．某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，比赛结束后，学生的成绩都为7分或8分或9分或10分（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表． 一班成绩统计表： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　 　 °； （2）将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整； （3）经计算，二班的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出一班的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好； （4）如果该校所要组织8人的代表队参加该地区班级团体赛，这8人从参与学校这次竞赛的学生中选派，应选择哪个班级参加？并说明理由． 21．图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．⊙O的半径为75cm，已知点A，B之间的水平距离为90cm，且两点距离地面MN的竖直高度一样高． 建模计算（1）求点A的竖直高度； 操作理解（2）将图1的木马玩具沿地面MN向右作无滑动的滚动，当⊙O与MN相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据： 22．物体通常有热胀冷缩现象，根据调查和查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：℃）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度x/℃ 0 5 10 15 20 … 体积y/L 5.25 5.28 5.31 5.34 5.37 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：℃）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是　 　 函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为28℃时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为5.4L的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 23．【实践情境】数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为30°的直角三角板（说明：仅能作30°、60°、90°的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四支木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 【实践任务】仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后木板的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图①，已知矩形ABCD，利用含30°的直角三角板和无刻度直尺，在AB上确定点P，使得． 下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤： A组：第一步：如图②，分别以点D、C为顶点，DA、CB为边作30°的角与AB交于点E、F，联结DF，CE交于点G，过点G作GM⊥AB于点M，并延长MG交CD于点N；第二步：如图③，擦除线段DE，EC，DF，CF，点E，F，G，仅保留MN，联结AC，BN交于点O，过点O作OP⊥AB于点P，并延长PO交CD于点Q． B组：第一步，如图④，分别以点C，点B为顶点，CB为边作30°的角交于点E；第二步：… 【书面任务】 （1）在图②中，证明：M为AB的中点； （2）在图③中，证明：； （3）B组某同学计划先在BC上确定点F，使，然后再确定点P，使，请你结合该同学的操作思路，在图④上利用含30°直角三角板和无刻度直尺作出满足条件的点P，并说明理由． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D． （1）如图（1），c＝3． ①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式； ②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点．若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． （2）如图（2），若DE＝3AD，求c的值． 【一轮复习】2026年河北省中考数学趋势卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C C D A C C B C B 一．选择题（共12小题） 1．如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　） A．﹣10元 B．+10元 C．﹣5元 D．+5元 【解答】解：由题意得+15+（﹣5）＝+10（元）， ∴他当天微信零钱的最终收支情况是+10元． 故选：B． 2．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 【解答】解：如图， ∵AB∥EM∥CD， ∴∠1+∠BEM＝180°，∠CEM＝∠2， ∵∠1＝125°，∠2＝35°， ∴∠BEM＝55°，∠CEM＝35°， ∴∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝90°， 故选：A． 3．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、43，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、（）（）＝3﹣2＝1，原计算错误，符合题意； D、2，正确，不符合题意， 故选：C． 4．甲、乙两个长方形，它们的长之比为5：8，宽之比为2：3，则这两个长方形面积之比是（　　） A．7：1 B．15：16 C．5：12 D．12：5 【解答】解：（5×2）：（8×3）＝10：24＝5：12， 答：这两个长方形面积的比是5：12． 故选：C． 5．斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这个几何体的左视图为： 故选：C． 6．若一元二次方程x（x﹣2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由方程x（x﹣2）﹣3＝0， 得到x2﹣2x﹣3＝0． ∵一元二次方程x（x﹣2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n， ∴m＝2，n＝﹣3 ∴点（m，n）在第四象限． 故选：D． 7．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能， ∴朝上一面的数字出现偶数的概率是， 故选：A． 8．已知当x＝1时，代数式ax34的值为5，则当x＝﹣1，代数式ax34的值为（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D．4 【解答】解：∵当x＝1时，a×134＝a+b+4＝5， ∴a+b＝1， ∴当x＝﹣1时，原式＝a×（﹣1）34 ＝﹣a﹣b+4 ＝3 故选：C． 9．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图，DE∥AC，则△BDE∽△BAC； 如图，∠B＝∠B，∠BED＝∠A，则△BDE∽△BAC； 如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC； 故选：C． 10．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 【解答】解：∵y（k＞0）， ∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小， ∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a， ∴当x＝2时，y＝a， ∴k＝2×a＝2a， 当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 故选：B． 11．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是（　　） A．90°﹣3α B．4α﹣180° C．180°﹣3α D．3α﹣90° 【解答】解：如图②， ∵AD∥BC， ∴∠CGD′＝∠DEG＝2α， 如图③， ∵C′F∥ED′， ∴∠CFC′＝∠CGD′＝2α， ∴∠3＝∠CFC′＝2α． ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠C″FE＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣3α． 故选：C． 12．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（﹣7，5）在直线l：y＝kx﹣2上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（　　） A．5 B．7 C．3 D．6 【解答】解：过B作BG⊥x轴于G，过C作CH⊥y轴于H，如图： 把B（﹣7，5）代入y＝kx﹣2得：5＝﹣7k﹣2， 解得k＝﹣1， ∴直线l解析式为y＝﹣x﹣2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠BAG＝90°﹣∠DAO＝∠ADO， ∵∠BGA＝∠AOD＝90°， ∴△BGA≌△AOD（AAS）， ∵B（﹣7，5）， ∴BG＝OA＝5，OG＝7， ∴AG＝OD＝OG﹣OA＝7﹣5＝2， 同理可得△AOD≌△DHC（AAS）， ∴OA＝DH＝5，OD＝CH＝2， ∴OH＝OD+OH＝2+5＝7， ∴C（﹣2，7）， 将C（﹣2，7）沿y轴向下平移m个单位长度得（﹣2，7﹣m）， 把（﹣2，7﹣m）代入y＝﹣x﹣2得： 7﹣m＝2﹣2， 解得m＝7， 故选：B． 二．填空题（共4小题） 13．合并同类项： 　　 ． 【解答】解：． 故答案为：． 14．如图，平行四边形ABCD的面积为4．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，图中阴影部分的面积为 　2　 ． 【解答】解：如图，设AP交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴AE∥PF，AF∥EP， ∴四边形AEPF是平行四边形， ∴OA＝OP，OE＝OF， ∴S△AEO＝S△PFO， ∴S阴影S▱ABCD4＝2， 故答案为：2． 15．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为60km/h，在坡路上行驶的速度为30km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了6.5h，则汽车在坡路上行驶了　5.2　 h． 【解答】解：设汽车在坡路上行驶了xh，在平路上行驶了yh， 根据题意得：， 解得：， ∴汽车在坡路上行驶了5.2h． 故答案为：5.2． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝　（）2023 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2， ∴BC＝AC•tan60°＝22， 由题意可得， S， S1， S2（）2， S3（）3， …， ∴Sn（）n， ∴S2023（）2023， 故答案为：（）2023． 三．解答题（共8小题） 17．以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　一　 步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 x＞﹣2　 ， 解不等式②，得 x≤2　 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　﹣2＜x≤2　 ． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6， 故答案为：一； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2． 18．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 【解答】解：（1）由题干中的计算步骤可得最早开始出错的步骤是， 错误原因是（）×8，（）计算错误； （2）原式＝﹣4×（）﹣（）÷8 ＝3 ＝3 ＝3． 19．综合与实践： 【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为点D、E，求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明． 【解答】（1）证明：∵直线l经过点A，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）． （2）解：DE＝BD+CE， 证明：∵直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，且∠CEA＝∠ADB＝∠BAC， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． 20．某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，比赛结束后，学生的成绩都为7分或8分或9分或10分（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表． 一班成绩统计表： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　144　 °； （2）将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整； （3）经计算，二班的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出一班的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好； （4）如果该校所要组织8人的代表队参加该地区班级团体赛，这8人从参与学校这次竞赛的学生中选派，应选择哪个班级参加？并说明理由． 【解答】解：（1）∵一班和二班参加竞赛的人数为520（人）， ∴在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于360°144°， 故答案为：144； （2）一班得9分人数为20﹣（11+0+8）＝1（人），二班得8分人数为20﹣8﹣4﹣5＝3（人）， 将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整如下： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 1 8 （3）一班的平均分为（7×11+8×0+9×1+10×8）＝8.3（分）， 一班分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分， 故中位数（7+7）＝7（分）； 由于两班平均分相等，二班成绩的中位数大于一班的中位数， 所以从平均分和中位数角度上判断，二班的成绩较好． （4）应选一班，理由： 因为要选8人的代表队参加该地区班级团体赛，一班得10分的有8人，而二班得10分的只有5人，所以应选一班． 21．图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．⊙O的半径为75cm，已知点A，B之间的水平距离为90cm，且两点距离地面MN的竖直高度一样高． 建模计算（1）求点A的竖直高度； 操作理解（2）将图1的木马玩具沿地面MN向右作无滑动的滚动，当⊙O与MN相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据： 【解答】解：（1）连接AB，过点O作OD⊥AB，与AB交于点C，与⊙O交于点D，如图， 由题意得：OA＝OB＝OD＝75cm，AB＝90cm，AB∥MN， ∵OC⊥AB， ∴，OC⊥AB， 在Rt△AOC中， ∵OA＝75cm，OC⊥AB， ∴， ∴CD＝OD﹣OC＝75﹣60＝15（cm）， 即点A的竖直高度为15cm； （2）当⊙O与MN相切于点B时，过点A作AE⊥OB 于点E，AF⊥MN 于点F，如图， ∵⊙O与MN相切于点B， ∴OB⊥MN， ∵AE⊥OB，AF⊥MN， ∴四边形AFBE为矩形， ∴AF＝BE，AE＝BF， 设AF＝BE＝xcm，则OE＝（75﹣x）cm， 在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝752﹣（75﹣x）2， 在Rt△ABE 中，AE2＝AB2﹣BE2＝902﹣x2， ∴752﹣（75﹣x）2＝902﹣x2， 解得：x＝54， 即：AF＝54cm， ∴当⊙O与MN相切于点B时，A的竖直高度为54cm， ∵54﹣15＝39（cm）， ∴点A的竖直高度升高了39cm； （3）圆心O移动的距离为.理由：如图， 的长即为点O运动的路径长， 由（1）知：BC＝45cm，OC＝60cm， ∴， ∵， ∴∠CBO＝53°， ∴∠BOD＝90°﹣53°＝37°， ∴的长， ∴圆心O运动的路径长为． 22．物体通常有热胀冷缩现象，根据调查和查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：℃）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度x/℃ 0 5 10 15 20 … 体积y/L 5.25 5.28 5.31 5.34 5.37 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：℃）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是　一次　 函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为28℃时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为5.4L的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【解答】解：（1）根据表格中的数据描点，如图所示： 根据图象可知，体积y和温度x在一定范围内符合一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设体积y与温度x之间的函数关系式为y＝ kx+b， 把（0，5.25），（5，5.28）代入得， ， 解得， ∴体积y与温度x之间的函数关系式为：y＝ 0.006x+5.25； （3）当x＝28时，y＝0.006×28+5.25＝5.418＞5.4， ∴会有酒精溢出． 23．【实践情境】数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为30°的直角三角板（说明：仅能作30°、60°、90°的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四支木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 【实践任务】仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后木板的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图①，已知矩形ABCD，利用含30°的直角三角板和无刻度直尺，在AB上确定点P，使得． 下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤： A组：第一步：如图②，分别以点D、C为顶点，DA、CB为边作30°的角与AB交于点E、F，联结DF，CE交于点G，过点G作GM⊥AB于点M，并延长MG交CD于点N；第二步：如图③，擦除线段DE，EC，DF，CF，点E，F，G，仅保留MN，联结AC，BN交于点O，过点O作OP⊥AB于点P，并延长PO交CD于点Q． B组：第一步，如图④，分别以点C，点B为顶点，CB为边作30°的角交于点E；第二步：… 【书面任务】 （1）在图②中，证明：M为AB的中点； （2）在图③中，证明：； （3）B组某同学计划先在BC上确定点F，使，然后再确定点P，使，请你结合该同学的操作思路，在图④上利用含30°直角三角板和无刻度直尺作出满足条件的点P，并说明理由． 【解答】（1）证明：如图③中，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝CB，∠A＝∠B＝90°， ∵∠ADE＝∠FCB＝30°， ∴△DAE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴AF＝BE， ∵∠A＝∠D＝90°，AD＝BC， ∴△DAF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴GE＝GF， ∴GM⊥AB， ∴EM＝MF， ∵AE＝BF， ∴MA＝MB， ∴点M是AB的中点； （2）证明：如图3中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵MN⊥AB， ∴AD∥MN∥BC， ∵AM＝MB， ∴DN＝CN， ∵CN∥AB， ∴， ∵OP⊥AB， ∴∠QPB＝∠PBC＝∠BCQ＝90°， ∴四边形PQCB是矩形， ∴PB＝CQ， ∵CQ∥AP， ∴， ∴， ∴，即PBAB； （3）解：如图，点P，点F即为所求． 作法：①连接AC，BD交于点O； ②作直线OE交BC于点M，连接AM交BC于点J； ③利用90°角，作JF⊥BC于点F，JP⊥AB于点P，点F，点P即为所求． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵∠EBC＝∠ECB＝30°， ∴EB＝EC， ∴OE垂直平分线段BC， ∴CM＝BM， ∵JF⊥BC， 由（2）可知BFBC， ∵BM∥AD， ∴， ∵PJ⊥AB， ∴PJ∥BM， ∴， ∴PBAP， ∴PBAB． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D． （1）如图（1），c＝3． ①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式； ②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点．若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． （2）如图（2），若DE＝3AD，求c的值． 【解答】解：（1）①对于y＝﹣x2+2x+c①， 当c＝3时，y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则t＝3， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）； 设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣x+3； ②∵BC∥AE，故设直线AE的表达式为y＝﹣x+s， 将点A的坐标代入上式并解得s＝﹣1， 故直线AE的表达式为y＝﹣x﹣1， 设点F、G的坐标分别为（t，﹣t﹣1）、（t+1，﹣t﹣2）， 则点M、N的坐标分别为（t，﹣t2+2t+3）、（t+1，﹣t2+4）， 则MF＝|（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）|＝|﹣t2+3t+4|， 同理可得：GN＝|﹣t2+t+6|， ∵以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴MF＝GN，即|﹣t2+3t+4|＝|﹣t2+t+6|， 解得t＝1或1； （2）对于y＝﹣x2+2x+c，令y＝﹣x2+2x+c＝0，解得x＝1±，令x＝0，则y＝c， 故点A、B的坐标分别为（1，0）、（1，0），点C（0，c）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得， 故直线BC的表达式为yx+c， 故设直线AE的表达式为yx+t， 将点A的坐标代入上式得：y（x﹣1）②， 联立①②并整理得：x2+（2）x0， ∴xE+xA＝xE+1（2），解得xE＝2， ∵DE＝3AD，A、D、E共线， ∴12， 解得c＝8． 备注：xA和xE的关系也可以用面积法： S△ADHS△EHD， 即AO•DHEH•DE， 则﹣3xA＝xE． 解法二：设直线BC的解析式为y＝kx+c， 由，可得x2+（k﹣2）x＝0， ∴x＝0或2﹣k， ∴xB＝2﹣k， ∵对称轴为直线x＝1， ∴xA＝k， ∴A（k，0）， ∴直线AE的解析式为y＝kx﹣k2， 由，可得x2+（k﹣2）x﹣k2﹣c＝0， ∴xA+xE＝2﹣k， ∴xE＝2﹣2k， ∵xE＝﹣3xA， ∴2﹣2k＝﹣3k， ∴k＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴c＝8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $