广东省深圳市趋势卷（2-2）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年广东省深圳市中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共8小题，满分15分） 1．如果水位升高4米记作+4米，那么水位下降5米记作（　　） A．﹣5米 B．+4 C．﹣4米 D．+5米 2．如图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中心是一个圆，那么它的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（　　） A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球 4．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为6m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ等于（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6 6．如图，有一张对边平行的纸片，三角板ABC和三角板ADC按如图方式放置，三角板ADC的一条直角边与纸片的一边重合．已知∠B＝∠ADC＝90°，∠ACB＝60°，∠CAD＝45°，则∠1的度数为（　　） A．150° B．105° C．120° D．135° 7．2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，将面积为16的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H，则EH的长为（　　） A．3 B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分12分） 9．已知x＝2是关于x的方程2x﹣a＝1的解，则a的值是　 　 ． 10．将点A（﹣2，3）先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是 　 　 ． 11．计算：　 　 ． 12．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数图象交于点C，连结BC与x轴交于点D．若△OBD的面积为3，则a﹣b的值为 　 　 ． 13．四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD＝10，AD＝8，如图O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设△EOF的面积为S，在矩形DEFG的旋转过程中，S的取值范围为　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分48分） 14．计算；． 15．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答： （Ⅰ）解不等式①，得　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　 　 ． 16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取到的学生人数为　 　 ，图2中m的值为　 　 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数为　 　 分、中位数为　 　 分； （3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？ 17．（8分）网约车对乘车需求越来越大的群众来说是一件好事，随着网约车出行的普及和网络预约网约车行业迅速发展，从业人员和车辆快速增长，在短时期一定程度上提升了城市网约车行业的服务质量．为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某网约车公司要求行业司机把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买1辆A品牌电车和2辆B品牌电车，共需花费38万元；若购买3辆A品牌电车和1辆B品牌电车，共需花费49万元． （1）求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； （2）若该网约车公司需要购买A、B两种品牌的电车共25辆（两种品牌的电车均需购买），购买A品牌电车数量不超过购买B品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 18．（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）在图②中作出⊙O的切线AF； （3）在图③中的半圆上找到一点E，连结EC并延长交AB于点M，使∠CMA＝45°． 19．（10分）项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美﹣数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片，某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），ED1与水平塔架BC的投影B1C1相交于点F1，在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm． 数学公式备用：若P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则线段PQ与抛物线围成“弓形PQ”的面积为：． 数学建模：以O为坐标原点，OA为x轴的正方向建立平面直角坐标系，点A的坐标为（60，0）． 探究问题： （1）桥塔的高度DE＝　 　 ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得EF1＝12m， ①求水平塔架BC的长度； ②设“弓形BC”的面积为S1，四边形OACB的面积为S2，记，请直接写出k值． 20．（12分）【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF．请直接写出下列结果： ①∠EAF的度数为 　 　 ； ②DE与EF之间的数量关系为 　 　 ． 【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与线段BC，CD相交于E，F（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°． ①试判断线段BE，EF，DF之间的数量关系并说明理由； ②如图3，若E，F是BC，CD上的定点，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E'，作点F关于直线AD的对称点F'，连接E'F'，当AP＝5，时，在线段AB，AD上是否分别存在M，N，使四边形MEFN的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【一轮复习】2026年广东省深圳市中考数学趋势卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A A B B B D 一．选择题（共8小题，满分15分） 1．如果水位升高4米记作+4米，那么水位下降5米记作（　　） A．﹣5米 B．+4 C．﹣4米 D．+5米 【答案】A 【解答】解：∵正数和负数表示具有相反意义的量， ∴水位升高4米记作+4米，那么水位下降5米记作﹣5米， 故选：A． 2．如图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中心是一个圆，那么它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据三视图的意义可得： 由左视图是从左面看到的图形，则是一个长方形，且中间有一条实线， 故选：B． 3．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（　　） A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球 【答案】A 【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，白球1个，它们除颜色外、质地都相同， 因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大， 摸到红球的概率是：， 故选：A． 4．（3分）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为6m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图：在Rt△ABC中，AC＝l＝10m，BC＝h＝6m； 根据勾股定理，得：AB8（m）； ∴tanθ； 故选：A． 5．下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6 【答案】B 【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意， m2•m4＝m6，则B符合题意， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意， （2m2）3＝8m6，则D不符合题意， 故选：B． 6．（3分）如图，有一张对边平行的纸片，三角板ABC和三角板ADC按如图方式放置，三角板ADC的一条直角边与纸片的一边重合．已知∠B＝∠ADC＝90°，∠ACB＝60°，∠CAD＝45°，则∠1的度数为（　　） A．150° B．105° C．120° D．135° 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°， ∴∠BAD＝30°+45°＝75°， ∴∠2＝180°﹣75°＝105° ∵纸片对边平行， ∴∠1＝∠2＝105°， 故选：B． 7．（3分）2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元，且这款电动汽车平均每公里的充电费为x元， ∴这款燃油车平均每公里的加油费为（x+0.8）元． 根据题意得：5． 故选：B． 8．（3分）如图，将面积为16的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H，则EH的长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵面积为16的正方形纸片ABCD， ∴AB＝BC＝AD＝DC＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB∥CD， ∵正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处， ∴AE＝EG，BG＝AB＝4，∠EGB＝∠A＝90°，∠ABE＝∠EBF，， 1DF＝FG，EG＝DE，∠EGF＝∠D＝90°，， ∴AE＝EDAD＝2，， ∴， 设GF＝x，则 EF2＝4+x2，BF＝x+4， 在Rt△BEF 中，BF2＝EF2+BE2， ∴（x+4）2＝4+x2+20， 解得 x＝1， ∴BF＝BG+GF＝4+1＝5， ∵∠ABE＝∠EBG， ∵EH∥CF，AB∥CD， ∴AB∥EH， ∴∠ABE＝∠BEH， ∴∠EBG＝∠BEH， ∴BH＝EH， 同理：EH＝HF， ∴BH＝HF， ∴EHBF． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分12分） 9．（3分）已知x＝2是关于x的方程2x﹣a＝1的解，则a的值是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：把x＝2代入已知方程后，列出关于a的新方程可得：x＝2是关于x的方程2x﹣a＝1的解， ∴2×2﹣a＝1， 解得a＝3． 故答案为：3． 10．（3分）将点A（﹣2，3）先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是 　（﹣5，5）　 ． 【答案】（﹣5，5）． 【解答】解：点A（﹣2，3）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点B的坐标是（﹣2﹣3，3+2），即（﹣5，5） 故答案为：（﹣5，5）． 11．（3分）计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 12．（3分）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数图象交于点C，连结BC与x轴交于点D．若△OBD的面积为3，则a﹣b的值为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：连接OC， ∵经过原点O的直线与反比例函数y（a＞0）的图象交于A，B两点， ∴OA＝OB， ∴OBAB， ∵AC∥x轴， ∴△BOD∽△BAC， ∴（）2， ∵△OBD的面积为3， ∴S△ABC＝12， ∴S△AOCS△ABC＝6， ∵AC∥x轴， ∴AC⊥y轴， ∴S△AOC|a||b|ab＝6， ∴a﹣b＝6． 故答案为：6． 13．四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD＝10，AD＝8，如图O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设△EOF的面积为S，在矩形DEFG的旋转过程中，S的取值范围为　9≤s≤39　 ． 【答案】9≤s≤39． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD＝10，AD＝8，如图，O是对角线BD的中点， ∴，，AD＝DE＝8， 设EF边上的高位h，则， 当点E落在BD上时，EF边上高h的最小值为OE， 此时s最小，BE＝BD﹣DE， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣（10﹣8）＝3， ∴； 当点D落在BD的反向延长线上时，EF边上高h的最大值为OE′，此时s最大， ∴OE′＝OD+DE′＝5+8＝13， ∴， ∴在矩形DEFG的旋转过程中，S的取值范围为9≤s≤39． 故答案为：9≤s≤39． 三．解答题（共7小题，满分48分） 14．计算；． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 15．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答： （Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣2　 ； （Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣4　 ； （Ⅲ）把不等式①和②在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣4＜x≤﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣2； （Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣4； （Ⅲ）把不等式①和②在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣2． 故答案为：x≤﹣2；x＞﹣4；﹣4＜x≤﹣2． 16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取到的学生人数为　50　 ，图2中m的值为　28　 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数为　12　 分、中位数为　11　 分； （3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，28； （2）12，11； （3）600． 【解答】解：（1）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50（人）， ， 故答案为：50，28； （2）由条形统计图可得众数是12分， 由题意得，中位数是第25，26个数据的平均数， ∴由条形统计图可得，（11+11）÷2＝11（分）， 故答案为：12，11； （3）我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有（人）． 17．（8分）网约车对乘车需求越来越大的群众来说是一件好事，随着网约车出行的普及和网络预约网约车行业迅速发展，从业人员和车辆快速增长，在短时期一定程度上提升了城市网约车行业的服务质量．为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某网约车公司要求行业司机把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买1辆A品牌电车和2辆B品牌电车，共需花费38万元；若购买3辆A品牌电车和1辆B品牌电车，共需花费49万元． （1）求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； （2）若该网约车公司需要购买A、B两种品牌的电车共25辆（两种品牌的电车均需购买），购买A品牌电车数量不超过购买B品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】（1）每辆A品牌电车12万元，每辆B品牌电车13万元； （2）应购买A品牌电车5辆，B品牌电车20辆；购买电车的总费用最低为320万元． 【解答】解：（1）设A品牌电车a元/辆，B品牌电车b元/辆， 根据题意得：， 解得， 答：每辆A品牌电车12万元，每辆B品牌电车13万元； （2）设购买A品牌电车x辆，购置总费用为y万元， 根据题意可得：y＝12x+13（25﹣x）＝12x+325﹣13x＝﹣x+325， ∵购买A品牌电车数量不超过购买B品牌电车数量的， ∴x（25﹣x）， 解得x≤5， ∵两种品牌的电车均需购买， ∴0＜x≤25，且x为正整数， ∵﹣1＜0， ∴当x＝5时，y有最小值，最小值为320， 此时25﹣5＝20（辆）， 答：应购买A品牌电车5辆，B品牌电车20辆；购买电车的总费用最低为320万元． 18．（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）在图②中作出⊙O的切线AF； （3）在图③中的半圆上找到一点E，连结EC并延长交AB于点M，使∠CMA＝45°． 【答案】（1）作图详见解答； （2）作图详见解答； （3）作图详见解答． 【解答】解：（1）如图①， 延长AC，交半圆O于点D，连接BD， 则BD是△ABC的AC边上的高， 理由是：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°； （2）如图②， 当F是格点，作直线AF， 则AF是⊙的切线， 理由是：取格点W和V， ∵∠VAW＝90°，∠WAO＝∠FAV， ∴∠FAV+∠VAO＝∠WAO+∠VAO＝∠VAW＝90°， ∴AF是⊙O的切线； （3）如图③， 取格点X，格点Y，作直线CY，交AB于M，交⊙O于E，理由如下： ∵AX＝BX，∠AXB＝90°， ∴∠ABX＝45°， ∵CY∥BX， ∴∠AMC＝∠ABX＝45°． 19．（10分）项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美﹣数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片，某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），ED1与水平塔架BC的投影B1C1相交于点F1，在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm． 数学公式备用：若P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则线段PQ与抛物线围成“弓形PQ”的面积为：． 数学建模：以O为坐标原点，OA为x轴的正方向建立平面直角坐标系，点A的坐标为（60，0）． 探究问题： （1）桥塔的高度DE＝　84cm ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得EF1＝12m， ①求水平塔架BC的长度； ②设“弓形BC”的面积为S1，四边形OACB的面积为S2，记，请直接写出k值． 【答案】（1）84cm； （2）抛物线的函数表达式； （3）①BC＝30cm；②． 【解答】解：（1）∵在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm， ∴， 解得DE＝84cm， 故答案为：84cm； （2）∵桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E， ∴A（60，0），D（30，84）， 设抛物线的函数表达式y＝ax2+bx+c， 代入A（60，0），D（30，84），O（0，0）可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）①由题意可得， ∵EF1＝12m， ∴EF＝63m， 当时，解得x1＝15，x2＝45， ∴B（15，63），C（45，63）， ∴BC＝45﹣15＝30cm； ②由题意可得“弓形BC''的面积为， 四边形OACB的面积为， ∴． 20．（12分）【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF．请直接写出下列结果： ①∠EAF的度数为 　120°　 ； ②DE与EF之间的数量关系为 DE＝EF ． 【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与线段BC，CD相交于E，F（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°． ①试判断线段BE，EF，DF之间的数量关系并说明理由； ②如图3，若E，F是BC，CD上的定点，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E'，作点F关于直线AD的对称点F'，连接E'F'，当AP＝5，时，在线段AB，AD上是否分别存在M，N，使四边形MEFN的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作发现】①∠EAF的度数为120°，理由见解答； ②结论：DE＝EF，理由见解答； 【类比探究】①线段BE，EF，DF的数量关系是DF+BE＝EF，理由见解答； ②四边形MEFN的周长有最小值，最小值为，理由见解答． 【解答】解：【操作发现】①∠EAF的度数为120°，理由如下： ∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CD＝CF，∠FCD＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠FCD＝60°，BC＝AC， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠FCD﹣∠ACD，即∠DCB＝∠FCA． 在△DCB与△FCA中， ， ∴△DCB≌△FCA（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝60°． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAB＝120°． 故答案为：120°； ②结论：DE＝EF，理由如下： ∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴∠FCD＝60°，CD＝CF， ∵∠DCE＝30°， ∴∠FCE＝∠DCF﹣∠DCE＝30°． 在△FCE与△DCE中， ， ∴△FCE≌△DCE（SAS）， ∴EF＝ED． 故答案为：DE＝EF； 【类比探究】①线段BE，EF，DF的数量关系是：DF+BE＝EF，理由如下： 如图2所示，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK， ∴△ABK≌△ADF， ∴AK＝AF，BK＝DF，∠BAK＝∠DAF， ∴∠EAK＝∠EAB+∠BAK＝∠EAB+∠DAF＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAK＝∠EAF， ∴△EAK≌△EAF（SAS）， ∴EF＝EK＝BK+BE＝DF+BE， ∴DF+BE＝EF； ②四边形MEFN的周长存在最小值为，理由如下： 如图3﹣1，延长AP至T，使得PT＝AP，连接AE'，AF'，ET， 由题可得，点E关于直线AB的对称点为E'，点F关于直线AD的对称点为F′， ∴B为EE'的中点，D为FF'的中点， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴AB为EE'的中垂线，AD为FF'的中垂线， ∴AE＝AE'，AF＝AF'， ∵点P是EF的中点， ∴PE＝PF， 又∵∠EPT＝∠FPA，AP＝TP， ∴△PET≌△PFA（SAS）， ∴ET＝AF，∠PET＝∠PFA， ∴ET＝AF'，且∠AET＝∠AEP+∠PET＝∠AEP+∠AFP＝180°﹣∠EAF， ∵AE'＝AE，AB＝AB，∠ABE'＝∠ABE＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△ABE'（HL）， ∴∠BAE'＝∠BAE， 同理可得∠FAD＝∠F'AD， ∴∠E'AF'＝∠BAE'+∠DAF'+∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠BAD＝（∠BAD﹣∠EAF）+∠BAD＝180°﹣∠EAF， ∴∠AET＝∠E'AF'， 又∵AE'＝AE，AF'＝ET， ∴△E'AF'≌△AET（SAS）， ∴E'F'＝AT＝2AP， 如图3﹣2，作点E关于AB的对称点E'，作点F关于AD的对称点F'，连接E'F'，交AB于M，交AD于N，连接ME，NF， ∵点E关于直线AB的对称点为E'，点F关于直线AD的对称点为F′， ∴B为EE'的中点，D为FF'的中点， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴AB为EE'的中垂线，AD为FF'的中垂线， ∴ME＝ME'，NF＝NF'， ∴四边形MEFN的周长＝EM+MN+FN+EF＝ME'+MN+NF'+EF＝E'F'+EF， ∵E'F'＝2AP，由（1）知：EF＝BE+DF， 且AP＝5，， ∴E'F'+EF＝2AP+BE+DF＝10， ∴当E'，M，N，F'在同一直线上时，四边形MEFN的周长有最小值，最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $