北京市趋势卷（2-2）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年北京市中考数学趋势卷（2-2） 一．选择题（共8小题） 1．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．|a|＜2 B．a+b＜0 C．﹣b＜1 D．a﹣b＞0 3．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　） A． B． C． D． 5．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．（x+1）2＝1 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）（x﹣1）＝0 6．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为384000km，用科学记数法表示为（　　） A．384×103km B．38.4×104km C．3.84×105km D．0.384×106km 7．如图，∠MON＝110°，在射线ON上任取一点A，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点B，再分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．90° B．95° C．105° D．115° 8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y（x＞0）的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM＝2DM，连接OM，ON，MN，则（　　） A．1 B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．已知，则3x+y的值为 　 　 ． 10．分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 　 ． 11．方程的解为 　 　 ． 12．如表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位：cm）的数据： 身高 146 151 153 154 156 157 158 159 人数 1 2 2 2 3 4 8 4 身高 160 161 162 163 164 165 167 170 人数 4 2 4 3 3 3 4 1 根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在160（含160）cm以上的人数为　 　 ． 13．用一组a，b的值说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝　 　 ，b＝　 　 ． 14．如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′（∠BOD＝23°26′），泰州市的纬度是北纬32°02′（∠POD＝32°02′），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则这个城市冬至正午时，太阳光线NP与地面水平线PQ的夹角α的度数是 　 　 ． 15．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE，BCHI和ACFG，连结DF，其中BC＝5，AC＝10，则DF＝ 　 　 ． 16．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为　 　 min． 三．解答题（共12小题） 17．计算：|1﹣3|（）﹣1+2sin30° 18．解不等式组：． 19．已知，求的值． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E为AC中点，AF∥BC交DE于点F，连接FC． （1）求证：四边形ADCF是矩形； （2）过点F作FG⊥AC于点G，若EF；求tan∠CFG的值． 21．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2）和B（1，4）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 22．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2． （1）写出y关于x的函数关系式； （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤ACBD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？ 23．某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数分布直方图： ②丙队员射击成绩为：6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 b 中位数 a 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）从甲、乙两名队员射击成绩的频数分布直方图可知，队员 　 　 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 24．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，连接AD，BE，BD． （1）求证：∠BDC＝∠BAD； （2）若tan∠BED，AC＝18，求⊙O的半径． 25．某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差 汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设B为岛的顶点，过点B的铅垂线与地面的交点为C，则岛的高度即为BC．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点C较近的点M处，从点M处透过测量杆的上端Q望岛顶B，BQ的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点K．第二次，把测量杆坚直立在距离点C较远的点D处（M、D、C三点在一条直线上），同样地，从点D处透过测量杆的上端P望岛顶B，BP（即测量线）的连线延长后交地面于点A．联结PQ并延长交BC于点E． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记∠BKC＝α，∠A＝β； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点P作BK的平行线…； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． （1）求证：； （2）求证：①； （3）在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设O是矩形FGHN的对角线FH上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线TW、SR，直线TW分别与边FN、GH交于点T、W，直线RS分别与边FG、NH交于点R、S，那么矩形TOSN的面积等于矩形ROWG的面积．说理如下：如果把图形看作由△FHN移置到△FHG处，同时Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依据出入相补原理，得Ⅲ＝Ⅲ′（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 26．已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）若函数图象经过点（2，5），解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，到达图象上的B点；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则到达图象上的C点，求C点坐标． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证：． 27．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE． ①∠ACE的度数为 　 　 度； ②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 　 　 ； ③若AB＝AC，CD＝1，则线段DE的长为 　 　 ． 28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和半径为1的⊙C给出如下定义：若过点P的直线l交⊙C于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为⊙C的关联点． （1）当点C与O重合时， ①在点，E（4，0）中，⊙C的关联点是 　 　 ； ②已知点P（m，n）在直线y＝﹣x+3上，若点P为⊙C的关联点，求m的取值范围； （2）⊙C的圆心C（c，0），直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的关联点P，则c的取值范围是 　 　 ． 【一轮复习】2026年北京市中考数学趋势卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D C C B B 一．选择题（共8小题） 1．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意； D、此图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．|a|＜2 B．a+b＜0 C．﹣b＜1 D．a﹣b＞0 【答案】D 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜b＜﹣1＜0＜2＜a＜3， ∴|a|＞2，a+b＞0，﹣b＞1，a﹣b＞0， ∴A、B、C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 3．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：如图，延长a，b交于点E， ∵a⊥b， ∴∠ABC＝90°， ∴正多边形的一个外角为， ∴． 故选：B． 4．2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为． 故选：D． 5．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．（x+1）2＝1 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）（x﹣1）＝0 【答案】C 【解答】解：方程x2+1＝0，∵Δ＝﹣4＜0，∴选项A中方程没有实数根； 方程（x+1）2＝1整理得x2+2x＝0，∵Δ＝4＞0，∴选项B中方程有两个不相等的实数根； 方程（x+1）2＝0整理得x2+2x+1＝0，∵Δ＝0，∴选项C中方程有两个相等的实数根； 方程（x+1）（x﹣1）＝0整理得x2﹣1＝0，∵Δ＝4＞0，∴选项D中方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 6．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为384000km，用科学记数法表示为（　　） A．384×103km B．38.4×104km C．3.84×105km D．0.384×106km 【答案】C 【解答】解：384000km＝3.84×105km． 故选：C． 7．如图，∠MON＝110°，在射线ON上任取一点A，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点B，再分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．90° B．95° C．105° D．115° 【答案】B 【解答】解：连接AB，AC，BC，如图： 则OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 在△OAC与△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴，， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣55°﹣30°＝95°． 故选：B． 8．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y（x＞0）的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM＝2DM，连接OM，ON，MN，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E， ∵点M、N是反比例函数y图象上的点， ∴S△OME＝S△OBN， ∴S△OMN＝S梯形EBNM， 设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，）， ∴S△CMNCM•CN2t•（ ）k； S△OMN＝S梯形EBNM（ME+BN）•BE（ ）•2tk， 则k：k． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．已知，则3x+y的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意得， 解得：x＝﹣3， 则y＝7， ∴3x+y＝3×（﹣3）+7＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　（x﹣y）（a+3）（a﹣3）　 ． 【答案】（x﹣y）（a+3）（a﹣3）． 【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣9） ＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 11．方程的解为 x＝﹣5　 ． 【答案】x＝﹣5． 【解答】解：方程两边同乘x（x+3），得2x＝5（x+3）， 即2x＝5x+15， 解得x＝﹣5， 经检验，x＝﹣5是原方程的解， 故答案为：x＝﹣5． 12．如表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位：cm）的数据： 身高 146 151 153 154 156 157 158 159 人数 1 2 2 2 3 4 8 4 身高 160 161 162 163 164 165 167 170 人数 4 2 4 3 3 3 4 1 根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在160（含160）cm以上的人数为　96人　 ． 【答案】96人． 【解答】解：由统计表可知：50名同龄男生身高在160（含160）cm以上的人数为：4+2+4+3+3+3+4+2＝24（人）， 则200名同龄男生身高在160（含160）cm以上的人数：20096（人）， 故答案为：96人． 13．用一组a，b的值说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝　﹣2　 ，b＝　1（答案不唯一）．　 ． 【答案】﹣2；1（答案不唯一）． 【解答】解：当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，而﹣2＜1， 说明命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是错误的， 故答案为：﹣2；1（答案不唯一）． 14．如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′（∠BOD＝23°26′），泰州市的纬度是北纬32°02′（∠POD＝32°02′），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则这个城市冬至正午时，太阳光线NP与地面水平线PQ的夹角α的度数是 　34°32′　 ． 【答案】34°32′． 【解答】解：∵∠BOD＝23°26′，∠POD＝32°02′， ∴∠POQ＝∠BOD+∠POD＝23°26′+32°02′＝55°28′， ∵∠OPQ＝90°， ∴∠OQP＝180°﹣∠POQ﹣∠OPQ＝180°﹣55°28′﹣90°＝34°32′， ∵PN∥OM（已知）， ∴∠α＝∠OQP＝34°32′（两直线平行，内错角相等）， 即太阳光线NP与地面水平线PQ的夹角α的度数为34°32′． 故答案为：34°32′． 15．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE，BCHI和ACFG，连结DF，其中BC＝5，AC＝10，则DF＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点D作DM⊥FC，交FC的延长线于点M，如图所示： ∴∠M＝90°， ∴△FMD是直角三角形， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°， ∴∠DBM+∠ABC＝90°， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠M＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠DBM， 在△ABC和△BDM中， ， ∴△ABC≌△BDM（AAS）， ∴AC＝BM，BC＝DM， ∵BC＝5，AC＝10， ∴DM＝5，BM＝10， ∴CM＝BM﹣BC＝10﹣5＝5， ∵四边形ACFG是正方形， ∴CF＝AC＝10， ∴FM＝CF+CM＝10+5＝15， 在Rt△FMD中，DM＝5，FM＝15， 由勾股定理得：DF． 故答案为：． 16．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为　148　 min． 【答案】148 【解答】解：设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟， 根据表格数据可得，鸭的质量x每增加0.5千克，烤制时间t增加20分钟， 可设t＝40（x﹣0.5）， ∴t＝40x+20， ∴鸭的质量为3.2kg，即x＝3，2时，t＝40×3.2+20＝148（min）． 故答案为：148． 三．解答题（共12小题） 17．计算：|1﹣3|（）﹣1+2sin30° 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝31﹣32+1 ＝2． 18．解不等式组：． 【答案】﹣3＜x≤2． 【解答】解：解不等式3x＜5x+6，得：x＞﹣3， 解不等式，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤2． 19．已知，求的值． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴b﹣a＝4ab， 即a﹣b＝﹣4ab， ∴． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E为AC中点，AF∥BC交DE于点F，连接FC． （1）求证：四边形ADCF是矩形； （2）过点F作FG⊥AC于点G，若EF；求tan∠CFG的值． 【答案】（1）∵D为BC中点，E为AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形； （2）2． 【解答】（1）证明：∵D为BC中点，E为AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形； （2）解：设EG＝3a，则EF＝5a， ∵FG⊥AC， ∴∠FGE＝90°， ∴FG4a， 由（1）可知，四边形ADCF是矩形， ∴AE＝CE，DE＝FE，AC＝DF， ∴AE＝CE＝EF＝5a， ∴CG＝EG+CE＝3a+5a＝8a， ∴tan∠CFG2． 21．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2）和B（1，4）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝2x+2； （2）n的取值范围是n≤5． 【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣2）和 B（1，4）代入y＝kx+b（k≠0）中，得， 解得， ∴该函数的解析式为y＝2x+2； （2）由（1）知：当x＝2时，y＝2x+2＝6， ∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数yx+n的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值， ∴当x＞2时，对于x的每一个值，函数x+n≤6， ∴2+n≤6， 解得n≤5， ∴n的取值范围是n≤5． 22．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2． （1）写出y关于x的函数关系式； （2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤ACBD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）yx2+20x． （2）AC为32cm时面积最大，此时最大面积为384cm2． 【解答】解：（1）∵E、F为AB、AD中点， ∴EFBD． 同理：GHBD， ∵EF+BD+GH+AC＝80， ∴BD＝40x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴y（40x）xx2+20x． （2）∵ACBD， ∴x（40x）， ∴x≤32， ∴25≤x≤32， ∴yx2+20x（x﹣40）2+400． 又∵0， ∴当x＝32即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为384cm2． 23．某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数分布直方图： ②丙队员射击成绩为：6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 b 中位数 a 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　8　 ，b＝ 　8　 ； （2）从甲、乙两名队员射击成绩的频数分布直方图可知，队员 　乙　 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 【答案】（1）8，8； （2）乙； （3应该推荐乙队员，理由见解析． 【解答】解：（1）甲队运动员射击成绩从小到大排在中间的两个数分别是8、8， 所以中位数为：a8， b8， 故答案为：8，8； （2）由甲、乙两名队员射击成绩的频数分布直方图可知，队员乙发挥的稳定性更好； 故答案为：乙； （3）应该推荐乙队员，理由如下： S甲2[3×（8﹣6）2+1×（8﹣7）2+2×（8﹣8）2+1×（8﹣9）2+3×（8﹣10）2]＝2.6， S乙2[1×（8﹣6）2+2×（8﹣7）2+4×（8﹣8）2+2×（8﹣9）2+1×（8﹣10）2]＝1.2， S丙2[1×（8﹣6）2+3×（8﹣7）2+2×（8﹣8）2+3×（8﹣9）2+1×（8﹣10）2]＝1.4， ∵S乙2＜S丙2＜S甲2， ∴乙发挥的稳定性更好， ∴应该推荐乙队员． 24．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，连接AD，BE，BD． （1）求证：∠BDC＝∠BAD； （2）若tan∠BED，AC＝18，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）⊙O的半径为5． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠BAD+∠ODB＝90°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°， ∴∠BDC+∠ODB＝90°， ∴∠BAD＝∠BDC； （2）解：∵∠ADB＝90°，， ∴， ∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD， ∴△BDC∽△DAC， ∴， ∵AC＝18， ∴， ∴CD＝12， ∴， ∴BC＝8， ∴AB＝AC﹣BC＝18﹣8＝10， ∴⊙O的半径为5． 25．某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差 汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设B为岛的顶点，过点B的铅垂线与地面的交点为C，则岛的高度即为BC．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点C较近的点M处，从点M处透过测量杆的上端Q望岛顶B，BQ的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点K．第二次，把测量杆坚直立在距离点C较远的点D处（M、D、C三点在一条直线上），同样地，从点D处透过测量杆的上端P望岛顶B，BP（即测量线）的连线延长后交地面于点A．联结PQ并延长交BC于点E． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记∠BKC＝α，∠A＝β； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点P作BK的平行线…； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． （1）求证：； （2）求证：①； （3）在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设O是矩形FGHN的对角线FH上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线TW、SR，直线TW分别与边FN、GH交于点T、W，直线RS分别与边FG、NH交于点R、S，那么矩形TOSN的面积等于矩形ROWG的面积．说理如下：如果把图形看作由△FHN移置到△FHG处，同时Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依据出入相补原理，得Ⅲ＝Ⅲ′（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 【答案】（1）∵QM⊥AC，BC⊥AC， ∴QM∥BC， ∴△KMQ∽△KCB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵KM＝MK，CE＝QM， ∴， ∴； （2）∵PD⊥AC，BC⊥AC， ∴PD∥BC， ∴△ADP∽△ACB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AD＝AD，CE＝PD， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， 由等比的性质得：； （3）如图所示，在图1上分别以BC、CM为邻边构建矩形BCMN，以BC、CK为邻边构建矩形BCKS，以BC、CD为邻边构建矩形BCDR，以BC、CA为邻边构建矩形BCAG， 由出入相补原理得：S矩形CMQE＝S矩形QTSN，S矩形CDPE＝S矩形PFGR， ∴QE×QM＝QT×QN，PE×PD＝PF×PR， 将上述等积式写成比例式得：，， ∵PR＝QN＝BE，PD＝QM＝CE， ∴，， ∵QE＝CM，QT＝MK，PE＝CD，PF＝AD， ∴，， ∴， ∴由等比的性质得：． 【解答】证明：（1）∵QM⊥AC，BC⊥AC， ∴QM∥BC， ∴△KMQ∽△KCB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵KM＝MK，CE＝QM， ∴， ∴； （2）∵PD⊥AC，BC⊥AC， ∴PD∥BC， ∴△ADP∽△ACB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AD＝AD，CE＝PD， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， 由等比的性质得：； （3）如图所示，在图1上分别以BC、CM为邻边构建矩形BCMN，以BC、CK为邻边构建矩形BCKS，以BC、CD为邻边构建矩形BCDR，以BC、CA为邻边构建矩形BCAG， 由出入相补原理得：S矩形CMQE＝S矩形QTSN，S矩形CDPE＝S矩形PFGR， ∴QE×QM＝QT×QN，PE×PD＝PF×PR， 将上述等积式写成比例式得：，， ∵PR＝QN＝BE，PD＝QM＝CE， ∴，， ∵QE＝CM，QT＝MK，PE＝CD，PF＝AD， ∴，， ∴， ∴由等比的性质得：． 26．已知二次函数y＝x2+2ax﹣3a． （1）若函数图象经过点（2，5），解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点A（1，n）向左平移3m（m＞0）个单位，到达图象上的B点；若将点A向右平移m（m＞0）个单位，则到达图象上的C点，求C点坐标． （2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，若x1+x2＝3，求证：． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；②C（3，12）； （2）证明见解答． 【解答】（1）解：①∵函数图象经过点（2，5）， ∴4+4a﹣3a＝5， ∴a＝1， ∴该二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3； ②由题意可知B（1﹣3m，n），C（1+m，n）， ∵B、C是二次函数y＝x2+2x﹣3图象上的点， ∴B、C关于对称轴直线x＝﹣1对称， ∴（1﹣3m+1+m）＝﹣1， 解得m＝2， ∴C（3，n）， 把x＝3代入y＝x2+2x﹣3，得n＝9+6﹣3＝12． 即点C（3，12）； （2）证明：∵x1+x2＝3， ∴x2＝3﹣x1， ∵M（x1，y1），N（3﹣x1，y2）是二次函数y＝x2+2ax﹣3a图象上两点， ∴y1+y22ax1﹣3a+（3﹣x1）2+2a（3﹣x1）﹣3a ＝26x1+9， ＝2（x1﹣1.5）2． 27．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE． ①∠ACE的度数为 　45　 度； ②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 CE＝BC+CD ； ③若AB＝AC，CD＝1，则线段DE的长为 　　 ． 【答案】探究：见解析；应用：①45；②BC+CD＝CE；③． 【解答】解：探究：成立，证明如下： ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 应用：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， 在△ACE与△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°， 故答案为：45； ②∵△ACE≌△ABD， ∴BD＝CE， ∴BC+CD＝CE， 故答案为：BC+CD＝CE； ③∵△ACE≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 在Rt△BAC中， ∵AB＝AC， ∴BC2， 又∵CD＝1，CE＝BC+CD＝3， 在Rt△CDE中，DE， 故答案为：． 28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和半径为1的⊙C给出如下定义：若过点P的直线l交⊙C于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为⊙C的关联点． （1）当点C与O重合时， ①在点，E（4，0）中，⊙C的关联点是 D ； ②已知点P（m，n）在直线y＝﹣x+3上，若点P为⊙C的关联点，求m的取值范围； （2）⊙C的圆心C（c，0），直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的关联点P，则c的取值范围是 　0≤m≤3　 ． 【答案】（1）①D； ②0≤m≤3； （2）0≤c≤9． 【解答】解：（1）①点D在⊙C内，连接CD，过点D作CD的垂线，交⊙C于两点A，B，则D是AB的中点， 点E在圆外，点E到⊙C最小的距离为3，大于⊙C的直径2， 故点D是⊙C的关联点，点E不是， 故答案为：D； ②如图1， 设直线y＝﹣x+3与x轴和y轴分别相交于点A，B，则A（3，0），B（0，3）， 点A、B到⊙C的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段AB时，点P是⊙O的关联点， ∴0≤m≤3； （3）如图2， 当x＝0时，y＝2， ∴N（0，2），ON＝2， 当y＝0时， 0， ∴x＝6， ∴M（6，0），OM＝6， ∴tan∠NMO， ∴∠NMO＝30°， 作CA⊥MN于A， ∴∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝60°， 当AC＝3时，点A是⊙C的关联点， ∴AB＝AC•sin∠ACM＝3， BC＝AC•cos∠ACM， 当y时， ， ∴x， ∴OB＝BC， ∴点C在点O处，c＝0， 当M是⊙C的关联点时，MC＝3（点C在图中C′点处），c＝9， ∴0≤c≤9， 故答案为：0≤c≤9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $