精品解析：山东聊城市莘县2025-2026学年第一学期期末学业水平检测八年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可；理解定义，找到对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、B、C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查假命题的反例概念，解题的关键是明确反例需满足命题的题设但不满足结论． 要说明“若，则”是假命题，需找到一组数满足但，据此逐一分析选项． 【详解】解：命题“若，则”的反例需同时满足：，且． A、因为，所以，满足；同时，即，不满足结论，符合反例条件； B、因为，所以，满足；同时，即，满足结论，不是反例； C、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件； D、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件． 故选：A． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简分式的判断，解题的关键是确定分式的分子与分母是否有公因式． 通过分析各选项分式的分子与分母是否存在公因式，判断是否为最简分式． 【详解】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式 A、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式； B、分子与分母无公因式，是最简分式； C、分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式； D、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式． 故选：B． 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据得，然后根据和等量代换即可求出的度数．解题的关键是掌握：全等三角形的对应角相等 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 5. 下列四种说法中，错误的个数是（ ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义、分式的化简与求值，根据分式的定义（分母中含字母）判断①；通过因式分解验证②；代入求值判断③；通过通分比较判断④． 【详解】解：① ∵ 分式定义是分母中含字母，而 的分母是常数 ，不是字母， ∴ 不是分式，故①错误； ② ∵ ，， ∴ 等式成立，故②正确； ③ 当 时，分子 ，分母 ，分式无意义， ∴ 值不是零，故③错误； ④ 左边通分：，右边为 ， ∵ ， ∴ 等式不成立，故④错误； 综上，错误的有①、③、④，共3个． 故选：B． 6. 如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=CD(三线合一) ∴DC=cm， ∵∠E = 30° ∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30° ∴∠CDE=∠E 所以CD=CE=2cm 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 7. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案. 【详解】解：∵, ∴， ∵平分, ∴, ∴, ∴， 同理可得: , ∴. 故选:A. 8. 某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可． 【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。 总得分 ， ∵ 得分不低于150分， 故选：A． 9. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，求代数式的值，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质、相反数的性质及三角形外角的性质． 根据平行线的性质、垂线的判定、相反数的性质及三角形外角的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵①两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时内错角才相等，否则不一定相等，①是假命题； ∵②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，②是假命题； ∵③互为相反数的两个数相加和为0，这是相反数的定义，③是真命题； ∵④三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，但不一定大于相邻的内角，④是假命题； ∴真命题的个数为1． 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，李明同学在东西方向的滨海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，他向东走300米至处，测得灯塔在北偏东方向上，则从灯塔观测两处的视角的度数是___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，三角形外角的性质．由题意可得，是的外角，结合方位角的知识，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在的正方形网格中，点都在格点（网格交点）上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标建立平面直角坐标系，再根据图形写出点的坐标． 根据题意建立平面直角坐标系即可求解． 【详解】解：如图，根据题意建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=BC，根据△BDC的周长为18得出BD+DC+BC=18，再求出BD即可． 【详解】∵MN垂直平分BC， ∴BE=CE=4，BD=CD， ∵△BDC的周长为18， ∴BD+DC+BC=18， ∴2BD+4+4=18， ∴BD=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 14. 若关于x的方程有增根，则k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，有增根，那么最简公分母x−3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】方程两边都乘（x−3），得 k＋2（x−3）＝4−x， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−3＝0，即增根为x＝3， 把x＝3代入整式方程，得k＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握知识点是解题关键． 15. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘最简公分母，得     解得  检验：当时，，因此是原方程的解． 【小问2详解】 解：原方程变形为  方程两边同乘最简公分母，得   展开得  移项合并得  解得  检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 18. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 【答案】A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地． 19. 一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯.请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点. 【答案】依据：角平分线定理，线段垂直平分线定理 【解析】 【分析】要使到OM和ON的距离相等，则点在∠MON的角平分线上；要使到A、B的距离相等，则点在线段AB的中垂线上，两条直线的交点就是所求的点． 【详解】角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上，点P也在其上） 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）． ∴两线的交点，即点P符合要求． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质以及线段中垂线的性质，属于基础题型．学会作图法则是解决这个问题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）5 （2）或 （3） 解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 略 21. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点作于点，求线段的长． 【答案】（1） 是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍． （1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）最多购买台A型号机器人； （2）有两种方案：A型号台、B型号台或A型号台、B型号台． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等关系列出不等式是解题的关键， （1）设该垃圾处理厂购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式求解即可； （2）根据“总费用不超过万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案． 【小问1详解】 解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则 ， ∴， 答：最多购买台型号机器人． 【小问2详解】 解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则 ， ∴， ，又是整数， ∴或， 当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台， 答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台． 23. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ，证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四种说法中，错误的个数是（ ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 7. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 8. 某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 9. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，李明同学在东西方向的滨海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，他向东走300米至处，测得灯塔在北偏东方向上，则从灯塔观测两处的视角的度数是___________． 12. 如图，在的正方形网格中，点都在格点（网格交点）上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 13. 如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长为________． 14. 若关于x的方程有增根，则k的值为________． 15. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 18. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 19. 一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯.请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点. 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 21. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点作于点，求线段的长． 22. 2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍． （1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？ 23. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $