2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第14课时：《几何初步》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第14课时 几何初步 一、核心知识 （一）几何图形的认识 立体图形与平面图形： 立体图形：各部分不都在同一平面内的图形（如正方体、圆柱、圆锥），从不同方向观察可得到____________（主视图、俯视图、左视图）。 平面图形：各部分都在同一平面内的图形（如线段、角、三角形），立体图形的_____ ______是平面图形（如正方体展开图有 11 种基本形式）。 常见立体图形的特征： 圆柱：有____________底面（圆形，大小相等）和 1 个侧面（曲面），侧面展开图是____________； 圆锥：有 个底面（圆形）和 个侧面（曲面），侧面展开图是____________； 正方体：有 个面（都是 形，大小相等）、 条棱（长度相等）、 个顶点，相对面在展开图中不相邻（相隔一个正方形）。 （二）线段、射线与直线 定义与表示： 直线： 端点，向两端无限延伸，表示为直线 AB 或直线 ； 射线：有____________端点，向一端无限延伸，表示为射线 OA（端点在前）； 线段：有____________端点，不能延伸，表示为线段 AB 或线段 a，两点之间____________。 线段的计算与性质： 中点：若 C 是线段 AB 的中点，则 AC = BC = AB； 三等分点：若 D、E 是线段 AB 的三等分点，则 AD = DE = EB = AB； 两点间距离：两点之间线段的___________，是两点间的最短距离。 （三）角的认识与计算 角的定义与表示： 定义：由两条有公共端点的____________组成，公共端点叫顶点，两条射线叫边；也可由一条射线绕端点旋转形成。 表示：∠AOB、∠O 或∠1（用数字或希腊字母表示）。 角的分类： 锐角： ； 直角： ； 钝角： ； 平角： ； 周角： 。 角的性质与计算： 余角：若∠α + ∠β = 90°，则∠α 与∠β 互余，同角（等角）的余角___________； 补角：若∠α + ∠β = 180°，则∠α 与∠β 互补，同角（等角）的补角 ； 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 （四）相交线与平行线 相交线： 对顶角：两条直线相交形成，对顶角____________（如∠AOC 与∠BOD）； 邻补角：有一条公共边，另一边互为 ，和为 ； 垂线：两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，垂足为交点，过一点有且只有____________直线与已知直线垂直，垂线段最短。 平行线： 定义：在同一平面内，__________的两条直线； 判定： ，两直线平行； ，两直线平行； ，两直线平行； 性质：两直线平行， ；两直线平行， ；两直线平行， 。 二、核心能力 （一）立体图形与展开图 题型 1：立体图形的识别与视图 解题思路 根据立体图形的面（平面 / 曲面）、底面形状判断类型；主视图反映物体长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高，注意 “长对正、高平齐、宽相等”。 题型 2：正方体展开图与相对面 解题思路 正方体展开图中，相对面不相邻（相隔一个正方形），可通过 “Z” 字形两端或 “一” 字形中间隔一个确定相对面，再结合题意判断汉字或数字对应关系。 （二）线段的计算 题型 1：线段中点与等分点计算 解题思路 根据中点（或等分点）定义列出线段间的数量关系，结合总长度列方程或直接用和差计算，注意分类讨论（如点在线段上或延长线上）。 题型 2：最短路径问题 解题思路 利用 “两点之间线段最短”，将立体图形表面路径转化为平面图形中的线段（如圆柱侧面展开为长方形），再计算长度。 （三）角的计算与互余互补 题型 1：角平分线相关计算 解题思路 根据角平分线定义设未知数，结合已知角的度数列方程，或直接利用 “角平分线分角为相等两部分” 计算。 题型 2：余角与补角应用 解题思路 先根据互余（和为 90°）、互补（和为 180°）列出等式，再结合角的关系（如倍分、差）求解，注意 “同角的余角 / 补角相等” 的灵活运用。 （四）相交线与平行线 题型 1：对顶角与垂线计算 解题思路 对顶角相等直接转化角度，垂线形成的直角（90°）可作为已知条件，结合角的和差求未知角。 题型 2：平行线的判定与性质综合 解题思路 “判定” 由角的关系推直线平行，“性质” 由直线平行推角的关系，综合题需交替使用两者，注意找准同位角、内错角、同旁内角。 三、易错警示 立体图形展开图混淆 错误：认为圆锥侧面展开图是圆形（实际是扇形）； 提醒：圆柱侧面展开是长方形，圆锥是扇形，正方体展开图需排除 “凹”“田” 字形。 射线与线段表示错误 错误：将射线 OA 表示为射线 AO（端点位置错误）； 提醒：射线表示时端点必须在前，线段无方向，直线无端点。 角的互余互补忽略 “同一平面” 错误：认为不在同一平面的两个角和为 90° 就是互余（实际互余互补与位置无关，仅与度数有关）； 提醒：互余互补仅需满足度数和，与位置无关，但需注意题目中角的位置关系是否影响计算。 平行线性质与判定混淆 错误：由 “两直线平行” 推出 “同位角互补”（实际是相等）； 提醒：判定是 “角→线”，性质是 “线→角”，记清 “平行出相等 / 互补”。 线段计算忽略分类讨论： 错误：已知 AB=4，BC=2，直接求 AC=6（忽略 C 在线段 AB 上时 AC=2）； 提醒：点在线段延长线上时需用减法，在线段上时用加法，优先画图分析。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（2024・陕西中考）将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 2. （2024・江苏扬州中考）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 3.（2024・江苏盐城模拟）如图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图(2)所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（    ） A.六 B.中 C.学 D.强 4.（2024・江西中考）4×3 正方形网格中，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 5.（2024・甘肃武威中考）若∠A=55°，则∠A 的补角为（ ） A. 35° B. 45° C. 115° D. 125° 6. （2024・广西中考）2 时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 7. （2024・河北模拟）四条线段 a、b、c、d 中，与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上的是（ ） A. a B. b C. c D. d 8. （2024・云南模拟）∠α 是锐角，∠α 与∠β 互补，∠α 与∠γ 互余，则∠β-∠γ=（ ）A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 9. （2024・广东模拟）E 是直线 CA 上一点，∠FEA=40°，EB 平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB=（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 10.（2024・安徽模拟）-6 与 6 间的线段六等分，五个等分点对应数 a₁、a₂、a₃、a₄、a₅，下列正确的是（ ） A. A3>0 B. |a1|=|a4| C. a1+a2+a3+a4+a5=0 D. a2+a5<0 11.（24-25·云南中考）如图，已知直线与直线都相交．若，则（    ） A. B. C. D. 12.（24-25·山东模拟）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM=7m，PN=5m，则点P到直线MN的距离可能为（    ） A.7m B.6m C.5m D.4m 13.（25-26·河南月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155∘,∠2=30∘，则∠3的度数为（    ） A.45∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘ 14.（24-25·广东中考）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50∘，则∠2=（    ） A.30∘ B.40∘ C.45∘ D.50∘ 15.（24-25·广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠B=30∘,BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（    ） A.2 B.3 C.2 D.3 （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（2024・内蒙古中考）线段 AB=4，在直线 AB 上作 BC=2，D 是 AC 中点，则 AD=____________cm。 17.（2024・湖南长沙中考）C、D 是 AB 上两点，D 是 AC 中点，AB=10cm，BC=4cm，则 AD=__________cm。 18.（24-25·河北模拟）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点沿着直线从点运动到点，当光点到，，，四点中至少两点的距离相等时，光点就会发出红光，则光点发出红光的次数为 . 19.（24-25·湖南模拟）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为 . 20.（24-25·辽宁模拟）如图，点在上，平分 ，若 ，则 的度数是 . 21.（24-25·湖南模拟）如图，在下列条件中，能够证明的条件是 . 22.（24-25·四川模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是 . 23.（25-26·江苏模拟）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为 . 24.（24-25·四川中考）如图，直线与正五边形的边分别交于点、，则的度数为 . 25.（25-26·甘肃模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定错误的是 . A. B. C. D. （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河北模拟）、、、四个车站的位置如图所示． （1）、两站的距离为_________； （2）、两站的距离为__________； （3）若，为的中点，求的值． 27.（23-24·陕西模拟）如图，在中，点是边上一点，连接，延长至点，连接，， ，求证：． 28.（24-25·辽宁模拟）如图，点、、、在一条直线上，于，于，．求证：． 29.（23-24·湖北模拟）如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 30.（24-25·广东模拟）如图，，点是射线上一点． （1）实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）； （2）应用与证明：求证． 31.（24-25·河北期中）在手工制作课上，老师提供了如图所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． 图图图 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） （3） 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：） 单价（单位：元） 现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 32.（24-25·湖南模拟）爱钻研的琪琪发现将图所示的手表，理解成图的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． （1）已知表盘直径为（B、C 为表盘上两点，BC 为直径），，若是中点，则表带______． （2）在某个时刻，分针指向表盘上的数字“”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图所示． ①时分针和时针的夹角为______度； ②作射线，使，求此时的度数； （3）如图所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过______分钟后，的度数是（直接写出结果）． 33.（24-25·辽宁模拟）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． （1）将如图中的三角尺绕点顺时针旋转至如图，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； （2）将如图中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与射线平行；在第______秒时，直线恰好平分锐角．(直接写出结果)； （3）将如图中的三角尺绕点顺时针旋转至如图，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 34.（24-25·江苏模拟）【学科融合】：如图，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：如图，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】如图，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． 如图，在的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 35.（24-25·贵州模拟）【问题情境】数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图，菱形的边长为，，则_________，__________． 【操作发现】如图，在图的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】在中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第14课时 几何初步 一、核心知识 （一）几何图形的认识 立体图形与平面图形： 立体图形：各部分不都在同一平面内的图形（如正方体、圆柱、圆锥），从不同方向观察可得到______视图______（主视图、俯视图、左视图）。 平面图形：各部分都在同一平面内的图形（如线段、角、三角形），立体图形的_____ 表面展开图______是平面图形（如正方体展开图有 11 种基本形式）。 常见立体图形的特征： 圆柱：有______2 个______底面（圆形，大小相等）和 1 个侧面（曲面），侧面展开图是______长方形______； 圆锥：有 1 个底面（圆形）和 1 个侧面（曲面），侧面展开图是______扇形______； 正方体：有 6 个面（都是 正方 形，大小相等）、 12 条棱（长度相等）、8 个顶点，相对面在展开图中不相邻（相隔一个正方形）。 （二）线段、射线与直线 定义与表示： 直线： 没有 端点，向两端无限延伸，表示为直线 AB 或直线 ； 射线：有______1 个______端点，向一端无限延伸，表示为射线 OA（端点在前）； 线段：有______2 个______端点，不能延伸，表示为线段 AB 或线段 a，两点之间______线段最短______。 线段的计算与性质： 中点：若 C 是线段 AB 的中点，则 AC = BC = AB； 三等分点：若 D、E 是线段 AB 的三等分点，则 AD = DE = EB = AB； 两点间距离：两点之间线段的______长度______，是两点间的最短距离。 （三）角的认识与计算 角的定义与表示： 定义：由两条有公共端点的______射线______组成，公共端点叫顶点，两条射线叫边；也可由一条射线绕端点旋转形成。 表示：∠AOB、∠O 或∠1（用数字或希腊字母表示）。 角的分类： 锐角： 0° < ∠α < 90° ； 直角： ∠α = 90° ； 钝角： 90° < ∠α < 180° ； 平角： ∠α = 180° ； 周角： ∠α = 360° 。 角的性质与计算： 余角：若∠α + ∠β = 90°，则∠α 与∠β 互余，同角（等角）的余角______相等______； 补角：若∠α + ∠β = 180°，则∠α 与∠β 互补，同角（等角）的补角 相等 ； 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 （四）相交线与平行线 相交线： 对顶角：两条直线相交形成，对顶角______相等______（如∠AOC 与∠BOD）； 邻补角：有一条公共边，另一边互为 反向延长线 ，和为 180° ； 垂线：两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，垂足为交点，过一点有且只有______1 条______直线与已知直线垂直，垂线段最短。 平行线： 定义：在同一平面内，______不相交______的两条直线； 判定： 同位角相等 ，两直线平行； 内错角相等 ，两直线平行； 同旁内角 ，两直线平行； 性质：两直线平行， 同位角相等 ；两直线平行， 内错角相等 ；两直线平行， 同旁内角互补 。 二、核心能力 （一）立体图形与展开图 题型 1：立体图形的识别与视图 解题思路 根据立体图形的面（平面 / 曲面）、底面形状判断类型；主视图反映物体长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高，注意 “长对正、高平齐、宽相等”。 题型 2：正方体展开图与相对面 解题思路 正方体展开图中，相对面不相邻（相隔一个正方形），可通过 “Z” 字形两端或 “一” 字形中间隔一个确定相对面，再结合题意判断汉字或数字对应关系。 （二）线段的计算 题型 1：线段中点与等分点计算 解题思路 根据中点（或等分点）定义列出线段间的数量关系，结合总长度列方程或直接用和差计算，注意分类讨论（如点在线段上或延长线上）。 题型 2：最短路径问题 解题思路 利用 “两点之间线段最短”，将立体图形表面路径转化为平面图形中的线段（如圆柱侧面展开为长方形），再计算长度。 （三）角的计算与互余互补 题型 1：角平分线相关计算 解题思路 根据角平分线定义设未知数，结合已知角的度数列方程，或直接利用 “角平分线分角为相等两部分” 计算。 题型 2：余角与补角应用 解题思路 先根据互余（和为 90°）、互补（和为 180°）列出等式，再结合角的关系（如倍分、差）求解，注意 “同角的余角 / 补角相等” 的灵活运用。 （四）相交线与平行线 题型 1：对顶角与垂线计算 解题思路 对顶角相等直接转化角度，垂线形成的直角（90°）可作为已知条件，结合角的和差求未知角。 题型 2：平行线的判定与性质综合 解题思路 “判定” 由角的关系推直线平行，“性质” 由直线平行推角的关系，综合题需交替使用两者，注意找准同位角、内错角、同旁内角。 三、易错警示 立体图形展开图混淆 错误：认为圆锥侧面展开图是圆形（实际是扇形）； 提醒：圆柱侧面展开是长方形，圆锥是扇形，正方体展开图需排除 “凹”“田” 字形。 射线与线段表示错误 错误：将射线 OA 表示为射线 AO（端点位置错误）； 提醒：射线表示时端点必须在前，线段无方向，直线无端点。 角的互余互补忽略 “同一平面” 错误：认为不在同一平面的两个角和为 90° 就是互余（实际互余互补与位置无关，仅与度数有关）； 提醒：互余互补仅需满足度数和，与位置无关，但需注意题目中角的位置关系是否影响计算。 平行线性质与判定混淆 错误：由 “两直线平行” 推出 “同位角互补”（实际是相等）； 提醒：判定是 “角→线”，性质是 “线→角”，记清 “平行出相等 / 互补”。 线段计算忽略分类讨论： 错误：已知 AB=4，BC=2，直接求 AC=6（忽略 C 在线段 AB 上时 AC=2）； 提醒：点在线段延长线上时需用减法，在线段上时用加法，优先画图分析。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（2024・陕西中考）将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 【答案】C 【解析】考点：点线面体旋转。半圆绕直径旋转一周形成球，圆柱由矩形旋转形成，圆锥由直角三角形旋转形成，圆台由直角梯形旋转形成，故选 C。 【解答】解：根据立体图形旋转特征，半圆绕直径旋转一周得到球， 故选 C。 2. （2024・江苏扬州中考）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】C 【解析】考点：几何体展开图。展开图上下为三角形（两个底面），中间为 3 个长方形（侧面），符合三棱柱特征，三棱锥展开为 4 个三角形，圆锥为扇形 + 圆形，长方体为 6 个长方形，故选 C。 【解答】解：展开图含 2 个三角形底面和 3 个长方形侧面，对应三棱柱，故选 C。 3.（2024・江苏盐城模拟）如图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图(2)所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（    ） A.六 B.中 C.学 D.强 【答案】D 【解析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，再由翻转即可得出结果． 【解答】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”， 翻转第①格时，“二”在下， 翻转第②格时，“六”在下， 翻转第③格时，“一”在下， 翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”， 故选：D． 4.（2024・江西中考）4×3 正方形网格中，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 【答案】B 【解析】考点：正方体展开图。正方体展开图需满足 “1-4-1”“2-3-1” 等形式，空白处需补充后符合展开图规则，共 2 种位置，故选 B。 【解答】解：结合正方体展开图特征，符合条件的空白小正方形有 2 个，故选 B。 5.（2024・甘肃武威中考）若∠A=55°，则∠A 的补角为（ ） A. 35° B. 45° C. 115° D. 125° 【答案】D 【解析】考点：补角定义。补角和为 180°，180°-55°=125°，故选 D。【解答】解：∠A 的补角 = 180°-∠A=180°-55°=125°， 故选 D。 6. （2024・广西中考）2 时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】C 【解析】考点：钟面角。钟面分 12 格，每格 30°（360°÷12），2 时整时针与分针隔 2 格，30°×2=60°，故选 C。 【解答】解：钟面每格 30°，2 时整相隔 2 格，30°×2=60°， 故选 C。 7. （2024・河北模拟）四条线段 a、b、c、d 中，与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】考点：直线性质。用直尺连接线段与挡板的交点，重合的线段为 a，故选 A。 【解答】解：借助直尺画直线，线段 a 与 m 在同一直线上， 故选 A。 8. （2024・云南模拟）∠α 是锐角，∠α 与∠β 互补，∠α 与∠γ 互余，则∠β-∠γ=（ ）A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 【答案】C 【解析】考点：互余互补。∠β=180°-∠α，∠γ=90°-∠α，∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90°，故选 C。 【解答】解：由互补得∠β=180°-∠α，互余得∠γ=90°-∠α，差值为 90°， 故选 C。 9. （2024・广东模拟）E 是直线 CA 上一点，∠FEA=40°，EB 平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB=（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】考点：角平分线与垂直。∠CEF=180°-40°=140°，EB 平分得∠CEB=70°；GE⊥EF 得∠GEF=90°，∠CEG=180°-40°-90°=50°，∠GEB=70°-50°=20°，故选 B。 【解答】 解：∠CEF=140°，EB 平分得∠CEB=70°，∠CEG=50°，差值为 20°，故选 B。 10.（2024・安徽模拟）-6 与 6 间的线段六等分，五个等分点对应数 a₁、a₂、a₃、a₄、a₅，下列正确的是（ ） A. A3>0 B. |a1|=|a4| C. a1+a2+a3+a4+a5=0 D. a2+a5<0 【答案】C 【解析】考点：线段等分与数轴。线段长 12，每段 2，等分点为 - 4、-2、0、2、4，a₃=0，|a1|=4≠|a4|=2，和为 - 4-2+0+2+4=0，a₂+a₅=-2+4=2>0，故选 C。 【解答】解：等分点为 - 4、-2、0、2、4，和为 0， 故选 C。 11.（24-25·云南中考）如图，已知直线与直线都相交．若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【解答】解：， ， 故选：． 12.（24-25·山东模拟）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM=7m，PN=5m，则点P到直线MN的距离可能为（    ） A.7m B.6m C.5m D.4m 【答案】D 【解析】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，结合垂线段最短得到，点P到直线MN的距离小于PN的长，进行判断即可． 【解答】解：∵PM=7m，PN=5m， ∴PN<PM， 由题意，点P到直线MN的距离为点P到直线MN的垂线段的长度，故小于PN的长， ∴点P到直线MN的距离可能为4m； 故选D． 13.（25-26·河南月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155∘,∠2=30∘，则∠3的度数为（    ） A.45∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘ 【答案】C 【解析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：∵AB // OF， ∴∠1+∠BFO=180∘， ∴∠BFO=180∘−155∘=25∘， ∵∠POF=∠2=30∘， ∴∠3=∠POF+∠BFO=30∘+25∘=55∘； 故选：C． 14.（24-25·广东中考）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50∘，则∠2=（    ） A.30∘ B.40∘ C.45∘ D.50∘ 【答案】B 【解析】根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 【解答】解：∵直线a∥b，∠1=50∘， ∴∠1=∠3=50∘， ∵直线AB⊥AC， ∴∠2+∠3=90∘． ∴∠2=40∘． 故选：B． 15.（24-25·广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠B=30∘,BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（    ） A.2 B.3 C.2 D.3 【答案】C 【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得∠BAC和AC，结合角平分线的性质得到∠CAD和DC，当DE⊥AB时，线段DE长度的最小，结合角平线的性质可得DE=DC即可． 【解答】解：∵∠C=90∘,∠B=30∘， ∴∠BAC=60∘， 在Rt△ABC中，tan∠B=ACCB，解得AC=23， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=30∘， ∴tan∠CAD=DCCA，解得DC=2， 当DE⊥AB时，线段DE长度的最小， ∵AD平分∠CAB， ∴DE=DC=2． 故选∶C． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（2024・内蒙古中考）线段 AB=4，在直线 AB 上作 BC=2，D 是 AC 中点，则 AD=______1 或 3______cm。 【答案】1 或 3 【解析】考点：线段中点与分类讨论。C 在 AB 上时 AC=2，AD=1；C 在 AB 延长线上时 AC=6，AD=3，故答案为 1 或 3。 【解答】解：分类讨论 C 的位置，得 AD=1 或 3， 故答案为 1 或 3。 17.（2024・湖南长沙中考）C、D 是 AB 上两点，D 是 AC 中点，AB=10cm，BC=4cm，则 AD=______3______cm。 【答案】3 【解析】考点：线段和差与中点。AC=AB-BC=6cm，D 是中点，AD=3cm，故答案为 3。 【解答】解：AC=10-4=6cm，AD=6÷2=3cm， 故答案为 3。 18.（24-25·河北模拟）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点沿着直线从点运动到点，当光点到，，，四点中至少两点的距离相等时，光点就会发出红光，则光点发出红光的次数为 5 . 【答案】5 【解析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，也就是点恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知： 当点经过任意一条线段中点时会发出红光， 图中共有线段、、、、、， 四点之中相邻两点之间的距离相等 和中点是同一个， 光点发出红光的次数为． 故答案为：．  19.（24-25·湖南模拟）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为 11cm . 【答案】11cm 【解析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【解答】在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故答案为: ．  20.（24-25·辽宁模拟）如图，点在上，平分 ，若 ，则 的度数是 63° . 【答案】63° 【解析】∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC=∠COB；∠AOE=90°，∠BOD=153°，∠COD=180°，∴∠COB=180°-153°=27°，∠AOC=27°，∠DOE=180°-∠AOE-∠AOC=180°-90°-27°=63°. 【解答】63° 21.（24-25·湖南模拟）如图，在下列条件中，能够证明的条件是 (答案不唯一) . 【答案】 (答案不唯一) 【解析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解答】解：，内错角相等两直线平行，能判定，故符合题意． 故答案为： (答案不唯一)． 22.（24-25·四川模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是 70° . 【答案】70° 【解析】根据平行线的性质可得， ，，推得，根据角平分线的性质可求出的度数，即可求得的度数． 【解答】， ，，， ， 又平分， ， 故选：． 23.（25-26·江苏模拟）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为 40° . 【答案】40° 【解析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【解答】解：由作图可知， ， ， ， ， 故答案为：40°． 24.（24-25·四川中考）如图，直线与正五边形的边分别交于点、，则的度数为 144° . 【答案】144° 【解析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【解答】解：正五边形， ， ， ， ； 故选： 25.（25-26·甘肃模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定错误的是 ABC . A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出和选项是错误的． 【解答】解：记与相交于一点，如图所示： 中，将绕点顺时针旋转得到， 在中， 故选项是正确的，符合题意； 设 不一定等于 不一定等于 不一定成立， 故选项不正确，不符合题意； 不一定等于 不一定成立， 故选项不正确，不符合题意； 将绕点顺时针旋转得到， 故选项不正确，不符合题意； 故答案为： （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河北模拟）、、、四个车站的位置如图所示． （1）、两站的距离为_________； （2）、两站的距离为__________； （3）若，为的中点，求的值． 【答案】 的值是2 【解析】（1）根据线段的和列出代数式，计算即可； （2）根据线段的差列出代数式，计算即可； （3）根据线段中点的性质列出方程，然后将代入后，解方程求解． 【解答】（1）解：、两站的距离为； 故答案为：； （2）、两站的距离为； 故答案为：； （3）为的中点， ， 当时， 解得 故的值是2 27.（23-24·陕西模拟）如图，在中，点是边上一点，连接，延长至点，连接，， ，求证：． 【答案】见解答 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【解答】证明： ，， ， ，，， ， ． 28.（24-25·辽宁模拟）如图，点、、、在一条直线上，于，于，．求证：． 【答案】见解答 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，根据证明，得到，再根据平行线的判定即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解答】证明：点在一条直线上，于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 29.（23-24·湖北模拟）如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】 【解析】（1）根据，，得出，根据，得出即可； （2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， 30.（24-25·广东模拟）如图，，点是射线上一点． （1）实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）； （2）应用与证明：求证． 【答案】见详解 见详解 【解析】（1）根据要求作出图形； （2）根据条件得出，进而证明四边形是平行四边形即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：由得， 又 四边形是平行四边形， ． 31.（24-25·河北期中）在手工制作课上，老师提供了如图所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． 图图图 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） （3） 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：） 单价（单位：元） 现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 【答案】； C 见解答． 【解析】（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，即可求解． 【解答】(1)解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 的值为：． (2)解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对 应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， 选项符合题意， 故选：． （3）解： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 所用卡纸总费用（单位：元） 根据和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： 型号卡纸，每张卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 可选择型号卡纸张，型号卡纸张，型号卡纸张，则 （个）， 所用卡纸总费用为： （元）． 32.（24-25·湖南模拟）爱钻研的琪琪发现将图所示的手表，理解成图的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． （1）已知表盘直径为（B、C 为表盘上两点，BC 为直径），，若是中点，则表带___16___． （2）在某个时刻，分针指向表盘上的数字“”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图所示． ①时分针和时针的夹角为___135___度； ②作射线，使，求此时的度数； （3）如图所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过___或___分钟后，的度数是（直接写出结果）． 【答案】 ①；②或 或 【解析】（1）中点，得到，进而求出的长即可； （2）表盘为圆分小时，每分钟时针走过的度数为，一格为，根据分针和时针的夹角的度数等于格的度数加上时针分钟走过的度数计算即可； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）设经过时间为分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【解答】（1）解：为，是中点， ， ； 故答案为：； （2）①表盘分为格，一格的度数为，时针一分钟所走的度数为：， 从到，时针分钟走的度数为， 分针和时针的夹角的度数为； 故答案为：； ②由①知：， ， 当在内部时：； 当在外部时：； 综上：或； （3）解：设经过时间为分钟，的度数是， 时针与分针得速度差为， 平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 33.（24-25·辽宁模拟）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． （1）将如图中的三角尺绕点顺时针旋转至如图，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； （2）将如图中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第__或____秒时，边恰好与射线平行；在第__或____秒时，直线恰好平分锐角．(直接写出结果)； （3）将如图中的三角尺绕点顺时针旋转至如图，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 或 或 与之间的数量关系为，理由见解析. 【解析】（1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答； （2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解． 【解答】（1）解：， ， 又平分， ， ； （2）， ， ， 当在直线上时，， 旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 直线恰好平分锐角时， 旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或； 故答案为：或；或30 （3），， ， ， ， ， 故与之间的数量关系为：． 34.（24-25·江苏模拟）【学科融合】：如图，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：如图，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】如图，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． 如图，在的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 【答案】见解答；；的度数是固定的，为 【解析】本题主要考查平行线的判定、三角形内角和定理，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据三角形内角和定理得出，根据，．得出，进而得出，即可得证； 根据三角形内角和定理得出，在中，，在中，．根据题意可得且，解不等式组即可求解． 根据三角形内角和定理可得，在中，得出．在中，，即可求解． 【解答】证明：， ． ，， ， ， ． 在中，， 所以． 因为，， 所以． 在中，， 在中，． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以且． 即， 解得；． 把代入得， 解， ． 移项得． 即， 解得． 所以． 在中，，所以． 因为，，所以． 在中，． 把代入得，所以的度数是固定的，为． 35.（24-25·贵州模拟）【问题情境】数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图，菱形的边长为，，则___30________，_____12______． 【操作发现】如图，在图的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】在中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】，；见解析；不变，，理由见解析． 【解析】根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． 根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． 根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【解答】解：，，理由如下： 连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； 证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； 解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $