2.2探索直线平行的条件寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

2.2探索直线平行的条件寒假预习讲义（北师大版） ☟ 课前预习★目标 ●理解三线八角的含义，能准确区分截线与被截线，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义及位置特征，能在简单图形中快速识别三类角； ●识记平行线的3个核心判定方法，明确同位角相等、内错角相等、同旁内角互补与两直线平行的对应关系，初步了解平行线的传递性； ●掌握用直尺和三角板画平行线的基本步骤，能独立完成作图，并尝试结合角的关系解释作图的原理； ●能结合简单几何图形，利用角的相等或互补关系，初步判断两条直线是否平行，尝试用简单的几何语言描述推理思路； ●结合铁轨、斑马线等生活实例，感知平行线的实际应用，体会从“角的数量关系”推导“线的位置关系”的几何思维。 ✅ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】同位角、内错角、同旁内角的概念 1． “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 2．同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图. （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 【知识点2】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【重点提醒】（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2．平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合． ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边． ③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点． ④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行． 【知识点3】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【重点提醒】（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性． 【知识点4】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠3＝∠2 ∴   AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠1＝∠2 ∴   AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠4＋∠2＝180° ∴   AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【重点提醒】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1同位角、内错角、同旁内角 【例1】．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 【变式1】．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 【变式2】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 【答案】见解析． 【分析】利用平角定义证明C、O、D三点在一条直线上即可． 【详解】证明：∵∠AOC+∠COB＝180°(平角的定义)， 又∵∠AOC＝∠BOD(已知)， ∴∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°． ∴C、O、D三点在一条直线上(平角的定义)， 即直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的定义)． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，平角的定义，正确的识别图形是解题的关键． 题型2同位角相等两直线平行 【例2】．如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【答案】（1）同位角：；内错角：；同旁内角：；（2）同位角：；内错角：；同旁内角： 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角，据此得出结论即可． 【详解】解：（1）同位角：； 内错角：； 同旁内角：； （2）同位角：； 内错角：； 同旁内角：． 【变式1】．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．∵，∴，符合题意； B．，不能判定平行，不符合题意； C．∵，∴，不符合题意； D．，不能判定平行，不符合题意； 故选：A． 【变式2】．图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行作答即可 【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行． 故答案为∶同位角相等，两直线平行． 题型3用直尺、三角板、画平行线 【例3】．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【变式1】．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式2】．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 题型4平行公理的应用 【例4】．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 【变式1】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 【变式2】．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了真假命题的判断，根据对顶角的性质、旋转的性质、垂线段的性质、平行公理分别进行判断即可. 【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，不符合题意； B. 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等是真命题，不符合题意； C. 垂线段最短是真命题，不符合题意； D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，符合题意； 故选：D 题型5内错角相等两直线平行 【例5】．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：A．根据，只能判断； B．根据，不能判断； C．根据，不能判断； D．根据，能判断； 故选：D． 【变式1】．如图，已知，当 时，． 【答案】60 【分析】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【详解】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 【变式2】．在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的平判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的判定作出图形； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解:如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 题型6同旁内角互补两直线平行 【例6】．如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，邻补角的定义，掌握平信线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 【变式2】．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：的两边为，的两边为，则： 截线：； 被截直线：； 这两个角在截线的两侧，且夹在与之间，符合内错角的定义， 因此，与是直线被直线所截形成的内错角． 故选：B． 2．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知相关内容是解题的关键．根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【详解】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确； ②当时，不可以推出，故②错误； ③当时，不可以推出，故③错误； ④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确． ∴正确的有2个． 故选：B． 3．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 4．下列各个命题中，假命题有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的； ③a，b，c是直线，若，，则； ④一个数的立方根等于它本身，这个数是1． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了假命题的判断问题，掌握平行线的性质、坐标轴的性质、垂直同一条直线的两条直线平行，以及立方根是解题的关键． 【详解】解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，本说法是假命题； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，本说法是真命题； ③a，b，c是直线，若，，则，本说法是假命题； ④如果一个数的立方根等于它本身，这个数是1或或0，本说法是假命题． 故选：A． 5．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， 的边和的边上的高相同， ∴和面积相等，选项B正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴不一定是的角平分线， ∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 6．如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可. 【详解】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， . 若∠1=∠2，则，不能判定，故A符合题意； 若∠1＋∠2＝90°，则，∴AB∥CD，故B不符合题意； 若∠3＋∠4＝90°；则，∴AB∥CD，故C不符合题意； 若∠2＋∠3＝90°．则，∴AB∥CD，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行. 7．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义． 8．下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．无限不循环小数都是无理数 C．横坐标是0的点一定在x轴上 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质，无理数，点在x轴上的坐标特征，平行线公理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数都是无理数，故本选项正确，符合题意； C、横坐标是0的点一定在y轴上，故本选项错误，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，无理数，点在坐标轴上的坐标特征，平行线公理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题 9．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 10．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①， （同位角相等，两直线平行）； ②， （内错角相等，两直线平行）； ③， （同旁内角互补，两直线平行）； 综上所述，添加条件或或，使得． 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 12．如果，，则 ，因为 ． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题关键．根据平行公理解答即可． 【详解】∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为、、平行于同一条直线的两条直线平行 13．如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是 （填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】根据PR=PS，易证△APR≌△APS，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得∠PQS=∠BAC，结论②成立，△BPR和△QSP只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等； 【详解】解：△APR和△APS中，PR=PS，AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°， ∴△APR≌△APS， ∴AR=AS，∠PAR=∠PAS， 故①结论正确； △QAP中，QA=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠PQC=∠QAP＋∠QPA=2∠QAP，∠QAB=2∠QAP， ∴∠PQC=∠QAB， ∴QP∥AR， 故②结论正确； △BPR和△QSP仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等； 故答案为：①② 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键． 14．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°，试说明AB∥CD． 解：因为DE平分∠BDC（已知）， 所以∠BDC＝2∠1 （ 　   　） 因为BE平分∠ABD（已知）， 所以∠ABD＝ 　 　（ 　   　） 所以2ABD＋∠BDC＝2∠2＋2∠1＝ 　 　（ 　   　）． 因为∠1＋∠2＝90°（已知）， 所以∠ABD＋∠BDC＝ 　 　，（ 　   　） 所以AB∥CD 　 　． 【答案】角平分线的定义   2∠2       角平分线的定义  2（∠1+∠2）  等式的性质   180°           等量代换   同旁内角互补两直线平行 【分析】根据角平分线的定义（平分所在的角），计算角的和，再根据同旁内角互补两直线平行即可解答； 【详解】解：因为DE平分∠BDC（已知）， 所以∠BDC＝2∠1 （角平分线的定义）， 因为BE平分∠ABD（已知）， 所以∠ABD＝2∠2（角平分线的定义）， 所以∠ABD＋∠BDC＝2∠2＋2∠1＝2（∠1+∠2）（等式的性质）． 因为∠1＋∠2＝90°（已知）， 所以∠ABD＋∠BDC＝180°，（等量代换） 所以AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；2∠2；角平分线的定义；2（∠1+∠2）；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键． 三、解答题 15．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 16．如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图方法，根据平行线的尺规作图方法作图即可．根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题． 【详解】连接，过点P利用尺规作出，直线即为所作． 17．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 18．（1）如图1，直线，被直线所截得，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线，被直线所截得，，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角相等，邻补角互补，根据平行线的判定定理求解即可． （1）根据对顶角相等得到，根据内错角相等，两直线平行求解即可； （2）根据邻补角互补得到，根据同旁内角互补，两直线平行求解即可． 【详解】解：（1）， （对顶角相等）， ， 理由：， （内错角相等，两直线平行）； （2）， ； ； 理由：， ， （同位角相等，两直线平行）．      试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2探索直线平行的条件寒假预习讲义（北师大版） ☟ 课前预习★目标 ●理解三线八角的含义，能准确区分截线与被截线，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义及位置特征，能在简单图形中快速识别三类角； ●识记平行线的3个核心判定方法，明确同位角相等、内错角相等、同旁内角互补与两直线平行的对应关系，初步了解平行线的传递性； ●掌握用直尺和三角板画平行线的基本步骤，能独立完成作图，并尝试结合角的关系解释作图的原理； ●能结合简单几何图形，利用角的相等或互补关系，初步判断两条直线是否平行，尝试用简单的几何语言描述推理思路； ●结合铁轨、斑马线等生活实例，感知平行线的实际应用，体会从“角的数量关系”推导“线的位置关系”的几何思维。 ✅ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】同位角、内错角、同旁内角的概念 1． “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 2．同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图. （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 【知识点2】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【重点提醒】（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2．平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合． ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边． ③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点． ④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行． 【知识点3】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【重点提醒】（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性． 【知识点4】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠3＝∠2 ∴   AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠1＝∠2 ∴   AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图，语言描述： ∵   ∠4＋∠2＝180° ∴   AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【重点提醒】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1同位角、内错角、同旁内角 【例1】．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【变式2】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 题型2同位角相等两直线平行 【例2】．如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【变式1】．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 题型3用直尺、三角板、画平行线 【例3】．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式1】．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【变式2】．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 题型4平行公理的应用 【例4】．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式2】．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型5内错角相等两直线平行 【例5】．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，当 时，． 【变式2】．在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 题型6同旁内角互补两直线平行 【例6】．如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【变式2】．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 2．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 4．下列各个命题中，假命题有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的； ③a，b，c是直线，若，，则； ④一个数的立方根等于它本身，这个数是1． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 5．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 6．如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D．. 7．下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 8．下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．无限不循环小数都是无理数 C．横坐标是0的点一定在x轴上 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 二、填空题 9．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 10．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 11．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    12．如果，，则 ，因为 ． 13．如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是 （填写序号）． 14．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°，试说明AB∥CD． 解：因为DE平分∠BDC（已知）， 所以∠BDC＝2∠1 （ 　   　） 因为BE平分∠ABD（已知）， 所以∠ABD＝ 　 　（ 　   　） 所以2ABD＋∠BDC＝2∠2＋2∠1＝ 　 　（ 　   　）． 因为∠1＋∠2＝90°（已知）， 所以∠ABD＋∠BDC＝ 　 　，（ 　   　） 所以AB∥CD 　 　． 三、解答题 15．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 16．如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 18．（1）如图1，直线，被直线所截得，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线，被直线所截得，，等于多少度？直线，平行吗？说明你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $