精品解析：湖北宜昌市当阳市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 （本试题全卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）． A. 某运动员在某种条件下“射中环以上”的概率 B. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率 C. 某种柑橘在某种运输过程中的损坏率 D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随增大而减小 5. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 6. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A. 63° B. 58° C. 54° D. 52° 7. 2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ） A. 32或16 B. 32或8 C. 8或16 D. 24或32 10. 如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请在答题卡上填写） 11. 如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么______． 12. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 14. 如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 15. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确的结论有：__________（填序号）． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 19. 小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 m 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1） ，热学对应的圆心角 ． （2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 20. 如图，在等腰中，，请将等腰以点A为旋转中心顺时针旋转得到，延长与直线交于点D，若，求线段的长． 21. 点D在以为直径的上，且，延长交于点F，平分． （1）求证为切线； （2）连接，若，，求的长． 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）． （1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系式； （2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ （3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）． 23. 如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，请根据以上思路推导出、、之间的数量关系； （2）类比引申：如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，，则的长为_______________． 24. 如图所示，已知抛物线经过点，，，与直线交于两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； （2）在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标； （4）当时，函数有最小值为，请写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 （本试题全卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）． A. 某运动员在某种条件下“射中环以上”的概率 B. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率 C. 某种柑橘在某种运输过程中的损坏率 D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，频率估计概率，根据列举法的特点及频率估计概率的意义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、某运动员在某种条件下“射中环以上”的概率，结果不确定，无法完全列举，只能用频率估计； 、某种幼苗在一定条件下的移植成活率，结果不确定，无法完全列举，只能用频率估计； 、某种柑橘在某种运输过程中的损坏率，结果不确定，无法完全列举，只能用频率估计； 、投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得； 故选：． 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选项中只有D选项满足， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 5. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 6. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A. 63° B. 58° C. 54° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转得到，从而得到，证明，再利用平角为即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴∠ACB=∠DCE， ∴， ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得． 7. 2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系列方程．若设参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛，则总比赛场数为，即可列出方程． 【详解】解：∵参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 又∵总场数为， ∴可列方程为 ， 故选：B． 8. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题角平分线的作法和性质，直角三角形的性质，过点作于，由作图可知是的角平分线，即得，又根据直角三角形的性质得，即得到，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：． 9. 已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ） A. 32或16 B. 32或8 C. 8或16 D. 24或32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况． 【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接， 在中，， 由勾股定理得：，则， ； 如图②， 同（1）可求得，则， ， 综上，的面积是32或8， 故选：B． 10. 如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而求出的长，可得答案．本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长公式，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 即． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请在答题卡上填写） 11. 如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入所求表达式计算． 【详解】因为是关于的一元二次方程的一个根， 所以把代入方程得：，求得， 所以． 故答案为2025． 12. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度． 【答案】 【解析】 【分析】时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，分针旋转了360°；求经过10分，分针的旋转度数，列出算式，计算即可． 【详解】根据题意得，×360°=60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 14. 如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确的结论有：__________（填序号）． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键． 由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ，故②正确，符合题意； ③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ，则， 故③错误，不符合题意； ④ ∵， ， 由③得：， ， ，故④正确，符合题意； ⑤二次函数图象的对称轴为直线， 当时，取最大值，最大值为， 当时，， ，故⑤正确，符合题意； 综上所述：正确的结论有：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 17. 如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形． 【详解】解：证明：过点O点作OM⊥AB，垂足为M； ∵OM⊥AB， ∴AM=BM， ∵AC=BD， ∴CM=DM， 又∵OM⊥AB， ∴OC=OD， ∴△OCD为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和等腰三角形的判定等知识，解题的关键是合理作出辅助线． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可；关于原点对称点的坐标横坐标，互为相反数； （2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用旋转时B经过的路径长度利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 如图所示，坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示． 如图所示，坐标为， 【小问3详解】 ， ∴B经过的路径长度：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 19. 小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 m 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1） ，热学对应的圆心角 ． （2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 【答案】（1）40，36 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）先求出调查的总人数，再用总人数乘以频数分布表中“力学”对应的频率可求出m；用乘以本次调查中“热学”所占的百分比即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及能使灯泡亮的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为． 故答案为：40；； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 有12种等可能结果，其中能使灯泡亮的结果有：，共6种， ∴灯泡亮的概率为． 20. 如图，在等腰中，，请将等腰以点A为旋转中心顺时针旋转得到，延长与直线交于点D，若，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，利用旋转性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】解：若将等腰以点A为旋转中心顺时针旋转得到，如图，在取一点E，使得，则，，，， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形和分类讨论． 21. 点D在以为直径的上，且，延长交于点F，平分． （1）求证为的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点． （1）连接，由圆周角定理得到，，证明为等腰三角形，由三线合一得到，再证明即可； （2）先由等腰三角形得到，然后证明，求出，由勾股定理可得，然后得到，则，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径 ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）． （1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式； （2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ （3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）． 【答案】（1）日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系 （2）当x=10时，销售利润最大，最大=450元 （3）a的值为6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：，解方程组即可； （2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系然后配方为顶点式即可； （3）根据函数的性质，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可． 【小问1详解】 解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得： ， 解得：， ∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为； 【小问2详解】 解：设日销售利润用w表示， ， 当x=10时，销售利润最大，最大=450元； 【小问3详解】 ∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小， ∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a）， ∵，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏， ∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏， 根据题意：， 整理得， 解得（舍去）， ∴a的值为6． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键． 23. 如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，请根据以上思路推导出、、之间的数量关系； （2）类比引申：如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，，则的长为_______________． 【答案】（1）； （2）．理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】由旋转可知，可得：，，，可证，根据全等三角形的性质可知； 由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，，，可证，根据全等三角形的性质可知，可得：； 把旋转到的位置，连接，则，，可证，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，利用勾股定理可求． 【小问1详解】 解：如下图所示， 四边形正方形， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，点、、共线， 由旋转可知， ，， ， ， 在和中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如下图所示，把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上， 由旋转可知， ，，， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：如下图所示， 把旋转到的位置，连接，则，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，，， ， ， 是直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查通过类比联想，引申拓展研究典型题目，图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算，掌握图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算是解题关键． 24 如图所示，已知抛物线经过点，，，与直线交于两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； （2）在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标； （4）当时，函数有最小值为，请写出的值． 【答案】（1）， （2）存在，或 （3）最大值为，此时 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何应用等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再联立函数解析式，解方程组可求出点坐标； （）由二次函数解析式可得对称轴为直线，设直线与对称轴的交点为，可得，设，则，即得，解方程求出的值即可求解； （）设，过点作轴的垂线交直线于点，则，可得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分，和三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线与对称轴的交点为， 把代入，得， ∴， ∵点在抛物线对称轴上， ∴可设，则， ∴， 解得或， ∴在抛物线对称轴上，存在一点或，使的面积为； 【小问3详解】 解：设， 过点作轴的垂线交直线于点，如图，则， ∵点为直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时； 【小问4详解】 解：由（）知，抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，自变量都在对称轴左侧， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 解得（不合题意，舍去）或， ∴； ②当即时，自变量位于对称轴两侧， 当时，有最小值，此时， 解得（不合题意，舍去）； ③当时，自变量都在对称轴右侧， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $