精品解析：山东泰安市泰山区2025-2026学年上学期期末学情抽测八年级（五四学制）数学试题

第一学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国火箭 B. 中国火星探测 C. 神舟 D. 中国行星探测 2. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 4. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者一周的社区志愿服务时间如下表： 时间/h 2 3 4 5 6 人数 1 3 2 3 1 下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） A. 平均数是4h B. 中位数是3h C. 众数是4h D. 方差是1 6. 若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A. B. C. 2 D. 3 7. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线m为全程12千米的普通道路，路线n包含快速通道，全程8千米，走路线n比路线m平均速度提高，时间节省15分钟，求走路线m和路线n的平均速度分别是多少？设走路线m的平均速度为y千米/小时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则的周长是（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 10. 如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 因式分解：______． 12. 为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为8，8，8，，，9，则这组数据的中位数为_______． 13. 某校开展主题为“梦想照亮前行路，拼搏铸就新辉煌”的演讲比赛，比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面按百分制打分，最终得分按的比确定，若乙选手在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的成绩分别为85分、75分和80分，则乙选手的最终成绩为_______分． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________． 15. 如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为_____ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简再求值： ，其中，x为该不等组的整数解． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标． 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题的主场活动在上海举行，为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛活动，学校随机抽取了八、九年级各20名学生的成绩进行整理和分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，满分：100分），共分为5组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试成绩的所有数据如下：51，52，60，66，67，74，77，80，84，85，85，85，85，87，89，89，93，94，98，99； 九年级被抽取的学生测试成绩中D组包含的所有数据如下：87，88，87，88，89，85，88，89； 八、九年级被抽取的学生测试成绩统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 80 a 85 九年级 80 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）在扇形统计图中，求E组所在扇形的圆心角度数； （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对航天知识的了解程度更深？请说明理由． 22. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长度． 23. 项目学习方案： 项目情景 春节将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设每枝A种花卉单价为x元，由题意得方程：_____． 小组成员乙设A种花卉数量为y枝，由题意得方程：_____． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线处应填：①________，②________； （2）完成任务二． 24. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题． 如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N． （1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′ （2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2． （3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国火箭 B. 中国火星探测 C. 神舟 D. 中国行星探测 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 2. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 4. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，通过因式分解和约分验证每个选项的正确性． 【详解】A．∵，而，两者不相等，故A错误． B．∵，与不相等，故B错误． C．∵，与不相等，故C错误． D．∵，与右边相等，故D正确． 故选：D． 5. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者一周的社区志愿服务时间如下表： 时间/h 2 3 4 5 6 人数 1 3 2 3 1 下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） A. 平均数是4h B. 中位数是3h C. 众数是4h D. 方差是1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计量的计算，包括平均数、中位数、众数和方差，根据定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 总时间为，平均数为，故A正确； ∵ 数据排序后为2,3,3,3,4,4,5,5,5,6，中位数为第5和第6个数据的平均值，即，故B错误； ∵ 众数为出现次数最多的值，3和5均出现3次，故众数为3和5，不是4，故C错误； ∵ ， 故D错误； 故选：A． 6. 若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边同乘以，得①， ∵原方程有增根， 即． 把代入①，得 故选：B． 7. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线m为全程12千米的普通道路，路线n包含快速通道，全程8千米，走路线n比路线m平均速度提高，时间节省15分钟，求走路线m和路线n的平均速度分别是多少？设走路线m的平均速度为y千米/小时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，需注意时间单位统一和节省时间的正确表达． 设路线m的平均速度为y千米/小时，则路线n的平均速度为千米/小时，根据节省时间15分钟列出方程． 【详解】解：设走路线m的平均速度为y千米/小时， 根据题意得，， 故选：A． 8. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出是等边三角形是解题关键． 利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：C． 9. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则的周长是（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线先证明 同理求解 再证明为等边三角形，从而可得结论． 【详解】解：∵P、M分别是AB、AC的中点， ∴PM是的中位线， ∴PM＝＝3，PM∥BC， ∴∠APM＝∠CBA＝70°， 同理可得，PN是的中位线， ∴PN＝＝3，PN∥AD， ∴∠BPN＝∠DAB＝50°， ∴∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°， 又∵PM＝PN， ∴为等边三角形， ∴PM＝MN＝PN＝3， ∴的周长＝9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由旋转的性质可得，，可判断②；结合可得，即，运用可证明，即可判断①；再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，由勾股定理可判断③错误、④正确． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，，即②正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，即①正确； ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即：，即③错误，④正确． 综上，正确的有个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为． 12. 为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为8，8，8，，，9，则这组数据的中位数为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．熟练掌握中位数的定义是解本题的关键． 将数据从小到大排列后，取中间两个数的平均值． 【详解】数据从小到大排列为：7.5，8，8，8，8.5，9. 由于数据个数为6，是偶数， 因此中位数为第三和第四个数的平均值， 即． 故答案为：8． 13. 某校开展主题为“梦想照亮前行路，拼搏铸就新辉煌”的演讲比赛，比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面按百分制打分，最终得分按的比确定，若乙选手在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的成绩分别为85分、75分和80分，则乙选手的最终成绩为_______分． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以对应的权重比，求和后除以总权重． 【详解】解：乙选手的最终成绩为： 故答案为80． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________． 【答案】（1，-1） 【解析】 【分析】由旋转的性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标． 【详解】解：由旋转的性质，得 A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F 作BE和AD的垂直平分线，交点为P ∴点P的坐标为（1，-1） 故答案为：（1，-1） 【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有30°，45°，60°，90°，180°． 15. 如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为_____ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行四边形的规律探究与对称中心的计算，解题的关键是根据已知条件推导各平行四边形顶点的坐标规律，进而求出对称中心坐标． 先根据和确定第一个平行四边形的顶点坐标；再依次推导后续平行四边形的顶点坐标，结合对称中心为对角线中点的性质，计算各平行四边形的对称中心坐标，最后总结出第个平行四边形对称中心的坐标公式． 【详解】解：第1个平行四边形： 过作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴为等腰直角三角形．又， ∴由勾股定理得， 已知，因此与重合，且． ∴坐标为， ∵， ∴对称中心为的中点，即． 第2个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 第3个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 推导规律： 观察可得，第个平行四边形的对称中心横坐标为，纵坐标为． 将代入规律公式：横坐标，纵坐标． 故对称中心坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先计算除法，再计算减法； （2）先计算括号内减法，再计算除法． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简再求值： ，其中，x为该不等组的整数解． 【答案】；；值为 【解析】 【分析】先化简分式，然后解不等式组求出x的值代入化简后的分式即可（注意使分式成立的条件）． 【详解】解：原式， 解不等式组得，， ∵x为不等式组的整数解， ∴或1， 当时，原分式无意义， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键． 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解． （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，且解出后必须检验． （1）先将分母转化为，确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程求解，最后检验； （2）先分解分母，确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程求解，最后检验． 【小问1详解】 解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 去括号， 合并同类项， 移项， 解得． 检验：当时，， 故是增根，原分式方程无解． 【小问2详解】 解：原方程可化为， 方程两边同乘，得， 去括号， 移项、合并同类项， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 20. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标； （2） 解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标； （3）存在，点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据中心对称图形的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据平行四边形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在．当为对角线时，点的坐标为；当为对角线时，点的坐标为；当为对角线时，点的坐标为， 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，平行四边形的性质，坐标与图形，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题的主场活动在上海举行，为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛活动，学校随机抽取了八、九年级各20名学生的成绩进行整理和分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，满分：100分），共分为5组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试成绩的所有数据如下：51，52，60，66，67，74，77，80，84，85，85，85，85，87，89，89，93，94，98，99； 九年级被抽取的学生测试成绩中D组包含的所有数据如下：87，88，87，88，89，85，88，89； 八、九年级被抽取的学生测试成绩统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 80 a 85 九年级 80 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）在扇形统计图中，求E组所在扇形的圆心角度数； （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对航天知识的了解程度更深？请说明理由． 【答案】（1）85，86，40 （2） （3） 九年级的学生对航天知识的了解程度更深． 理由：八、九年级被抽取的学生测试成绩的平均数相同，但九年级被抽取的学生测试成绩的中位数、众数均比八年级的高，因此九年级的学生对航天知识的了解程度更深． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数、众数，由扇形统计图求某项的百分比，求扇形的圆心角，利用众数、中位数做决策，看懂统计图是解题的关键． （1）根据“一组数据中出现次数最多的是众数”即可判断a值；根据扇形统计图先求得A组、B组、C组的总个数为9个，然后确定中位数为第10、11个，即在D组的85分与87分，再取其平均数即可得到b值；依据D组数据8个与九年级抽取的总数据个数20个，即可求得m值． （2）已知其它四组数据的百分比，即可求得E组数据所占百分比，再乘以周角即可得到答案； （3）根据众数与中位数的差异，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试成绩得分中85出现的次数最多， ∴， ∵九年级被抽取的学生测试成绩得分中A组、B组、C组包含的数据共个，而五个组的总数据是20个，故九年级被抽取的学生测试成绩得分的中位数是第10与第11个，即在D组中的85分与87分， ∴． ∵九年级被抽取的学生测试成绩得分中D组包含的数据有8个，九年级被抽取的学生测试成绩得分中D组的百分比为： ∴， 故答案为：85；86；40． 【小问2详解】 （2）． ∴E组所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 略 22. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 23. 项目学习方案： 项目情景 春节将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设每枝A种花卉单价为x元，由题意得方程：_____． 小组成员乙设A种花卉数量为y枝，由题意得方程：_____． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线处应填：①________，②________； （2）完成任务二． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）小组成员甲利用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍列方程，小组成员乙利用每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元列方程即可； （2）根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每枝A种花卉单价为x元，则每枝B种花卉单价为元，用320元购买的种花卉的数量为枝，用800元购买的B种花卉的数量为， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； 设用320元购买的种花卉的数量为枝，每枝A种花卉单价为元，则种花卉的数量为枝，每枝B种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，得 ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴． 24. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题． 如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N． （1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′ （2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2． （3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等） 【答案】（1） 旋转后的△A'CM'如图1所示： （2） 连接， ∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°， ∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°， ∵△BCM'是由△ACM旋转得到的， ∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°， ∴，， 在△MCN与△M'CN中， ， ∴（SAS）， ∴， 在中，∠NBM'=90°， 根据勾股定理得：， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可； （2）连接M'N，利用旋转的性质可得， ，，，和全等三角形的判定再利用SAS证明，根据全等三角形的性质可得MN=M'N，在Rt△BM'N中，根据勾股定理得 ，即可得； （3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，类比（2）的方法得到DB=D'B，在RT△BCD中，由勾股定理求得BD的长，进而求出的长，再在中求出AC的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C， 则△AC'C是等腰直角三角形，， ∵∠BCD=90°，AC平分∠BCD， ∴， ∴C'，D'，B，C均在同一直线上， 根据旋转可得：，， ∵∠BAD=45°， ∴， 在△DAB与△D'AB中， ， ∴△DAB≌△D'AB（SAS）， ∴DB=D'B， 在Rt△BCD中， ∵BC=4，CD=3， ∴DB=5， ∴， ∴， ∴在中，AC=． 【点睛】本题考查旋转几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答，注意转化和类比数学思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $