湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

报告查询：登录zhixue.con或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025一2026学年度上学期2024级 期末考试数学答题卷 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 ■ [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [i] [1 口 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] 4] [4] [4] [4] [4] [4] 可口 [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] 6] 6 [6] [6] [6] 6 [6] [6] [7] [7] [7 [7] [7] [7] [7] [7] [7] 7] [8] [8] 81 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [g] 9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 选择题(18为单选题911为多选题)（共58分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D 2[A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题（每题5分，共15分） 12. 13 14. 囚▣■ 第1页共6页 解答题(77分) 15.(13分) 囚囚■ 第2页共6页 ■ 16.(15分) ■ 第3页共6页 ■ 17.(15分) 1 ■ 囚■囚 第4页共6页 18.(17分) E F G D A B C 囚■囚 第5页共6页 ▣ 19.(17分) ■ 第6页共6页 高二年级期末考试数学答案 1．A. 2．A 3．C 4.【答案】C【解析】由抛物线，知，设， 因为直线过且其斜率大于零，故在轴两侧．又，知，且，即． 由可得，由根与系数关系得，代入，可得又，故，故选C． 5．【答案】D【详解】因为，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，从7张卡片抽2张，基本事件有，共有个基本事件，且设的概率为，符合题意的事件有，，共9种，所以，故D正确. 6．【答案】B 【详解】依题意可得，，，， ，．， ，，即的长为.故选：B． 7．【答案】D【详解】由圆方程得：圆心，半径；由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则，由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号），， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为.故选：D. 8.【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，易得,设，则，即. 当时，取到最大值，当时，取到最小值，所以的取值范围为.故选：A. 9. 【答案】AC【详解】，A正确； ，B错误；过作，垂足为，易知， 根据直三棱柱的性质可知，因为平面， 所以平面，过作，垂足为，易知， 同理可得平面，即在平面上的投影向量为，，C正确；过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为，D错误.故选：AC 10．【答案】ABD【详解】因为，所以， 因为，所以，所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确；因为，所以，故C错误； 因为，所以，因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确．故选：ABD． 11．【答案】ACD 【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O关于直线的对称点，结合点与圆的位置关系利用几何法求解最小值判断B，求出圆心到直线的距离，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得，与半径比较即可判断C，举例法当时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D. 【详解】对于AB，当，时，直线即， 圆即，圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为，故A正确； 如图作点O关于直线的对称点，设，则， 解得，所以，则， 所以的最小值为，故B错误； 当时，圆即，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，，其中，因为，所以，所以， 所以，所以，所以任意的，，故当时，任意的，使圆与直线相交，故C正确； 当时，圆即，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，故当时，对任意的，圆与直线均相切，故D正确. 12．. 13．【答案】【详解】因为，且，代入得： ，，即，则：， 因为椭圆上的点到焦点的距离范围为（，且）， 则的范围：，将代入，两边同时除以得：该不等式可拆分为和，当时：因 ，，且 ，故该不等式恒成立，当时，得，解得（负根舍去），结合椭圆离心率，可得. 14.【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①，假设等差数列的公差不等于0，则，故， 所以不存在，使得对任意，有，所以若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0，①正确； 对于②，因为的各项均为正数，所以，，， 当时，，，任取即可，所以为有界变差数列， 当时，，若，则，令即可，所以为有界变差数列，若，则，当时，，显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列，综上，的取值范围是，，故②错误； 对于③和④，先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列， 由有界变差数列的定义可知， ， ， 因为， 所以， 故， 因此， 故是有界变差数列，对于③，易知，设，则，且，由前面结论知是有界变差数列，即是“有界变差数列”，故③正确；对于④，因为，所以，所以是有界变差数列，故④正确．故答案为：①③④． 15．【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出的中垂线方程，与圆心所在直线方程联立求得，利用距离公式求出半径，即可得解；（2）按照弦所在直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，结合点到直线距离公式，根据弦长公式列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线方程为即， 由，解得，又半径， 所以圆的方程为.（或） （2）若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在. 设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为， 由所以，即，解得或. 所以弦所在的直线方程为或. 16. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【小问1详解】当时，，得．当时，， ，两式相减得，则．当时，符合上式，所以． 【小问2详解】证明：由（1）得， 所以，故． 【小问3详解】由（1）得， 则， ， 所以， 所以． 17.(1)取最小值(2)存在定点 【详解】（1）斜率不为零，设代入，， 设，则，，当时，取最小值， （2）假设存在，设，由题意，斜率不为零， 设的方程为代入，可得， ，，， 故，即，即， ，解得，故存在定点满足题意． 18.（1）连接FG.在△中，F、G分别为的中点，所以.又因为平面, 平面，所以平面. （2）因为平面,平面，所以.又，所以. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则,.,. 设平面SCD的一个法向量为. 则，即， 令,得.所以平面SCD的一个法向量为. 又平面ESD的一个法向量为.所以 所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为. （3）假设存在点H,设,则. 由（2）知,平面的一个法向量为.则， 即,所以.故存在满足题意的点H,此时. 19．(1)；(2)证明见解析，公比为；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则，由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件知首项为，所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2024级 期末考试数学试卷 命题人：郭松 审题人：冷劲松 考试时间：2026年2月4日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 2．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 3．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A． 7 B． 12 C． 15 D． 31 4．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是 A． B． C． D． 5．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 7．已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．正方体中,动点在线段上,，分别为，的中点．若异面直线与所成的角为，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（ ） A． B． C． 在平面上的投影向量的模长为 D． 在上的投影向量为 10．数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 11．已知直线，其中，点是直线上的一个动点．圆，其中，点是圆上的一个动点．则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正方体中，点是的中点，且 ，则实数的值为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ． 14．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的序号是 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程． 16．在数列中，． （1）求的通项公式． （2）若数列的前项和为，证明：． （3）若，求数列的前项和． 17．已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点， （1）求的面积的最小值． （2）若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 18．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点．按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． （1）若，求的坐标； （2）证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $