精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

马鞍山二中2025～2026学年度高二上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直向量的点乘积为零，利用向量点乘的坐标公式，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故选：B. 2. 已知为等比数列，且，，前项和为，则（ ） A. 189 B. 96 C. 63 D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的公式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，，前项和为， 所以. 故选：A. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距离、两圆的半径之间的关系进行判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ， 因为， 所以两个圆相外切. 故选：B 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】由直线：与直线：平行，得， 所以. 故选：A 5. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，且当时，；当时，， 画出函数与的图像，如图所示， 结合图像，可得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质或基本量法均可求解. 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. 不存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点  在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当  时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在  中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当  时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当  时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点  在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为  ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为  ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中提到“三角垛”的问题，如图，“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的有（ ） （参考公式：） A. B. C. D. 设，则的前100项和为2550 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意知先求出的通项公式，从而可判断AB；裂项求和法可判断C；写出的表达式，根据分组求和法可判断D. 【详解】由题意知， 当时，， 这个式子相加得， 所以，当时，该式也成立，所以. 对于A，，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； (也可以通过求得) 对于C，由知， 所以， 故C错误； 对于D，由知， 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为的中点时， B. 对于任意点，都有 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可判断A，设，利用数量积即可判断B，设点到平面的距离为，得，求的范围即可判断C，利用向量法求点到直线的距离即可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2， 所以， 由点为的中点，所以， 所以，故A错误； 由，设， 所以， ，所以， 所以对于任意点，都有，故B正确； 设点到平面的距离为， 所以， 又点在线段上运动，所以， 所以，所以三棱锥体积的最小值为，故C正确； 由，所以， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为, 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 13. 设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以. 故答案为：4. 14. 若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 【答案】3 【解析】 【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案. 【详解】，则由题、是方程的两根， 所以可得或． 函数定义域为R，因为， 所以时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数草图如图所示： 由图象可知有2个解，有1个解， 因此的不同实根个数为3. 故答案为：3． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：. （1）求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 【答案】（1）或 （2）或4 【解析】 【分析】（1）先求圆的圆心坐标，再利用待定系数法，按照直线过原点和不过原点分类讨论，求解即可； （2）先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 圆的标准方程为，故圆心，半径为3. 若直线不过原点，设直线的方程为（）， 又在直线上，所以，解得，故直线的方程为； 若直线过原点，则直线的方程为，即，符合题意； 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意知到直线的距离为， 所以，解得或4. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列，利用等比数列的通项公式可得答案； （2）利用错位相减法可得答案. 【小问1详解】 由， 可得数列是首项、公比均为2的等比数列， 故， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 所以， 两式相减得， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，，是靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求角即可； （2）假设存在，分别求出平面与平面的法向量，根据法向量的夹角列方程求解即可. 【小问1详解】 由得，， 在正方形中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 【小问2详解】 存在. 假设存在，设， 又，则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由(1)知平面，则， 又，，，平面， 所以平面，故为平面的一个法向量，且， 所以， 解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 18. 已知函数，. （1）若，求在处的切线方程： （2）讨论的单调性； （3）若对任意两个不相等的正实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，进行讨论； （3）将不等式转化为在单调递增，即在上恒成立即可. 【小问1详解】 若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时， 时，时， 所以，在，上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时， 时，时， 所以，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 设，由， 得， 即. 设，则在上单调递增， 在上恒成立， 则在上恒成立，设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，实数的取值范围为. 19. 已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. （1）求的方程； （2）若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； （3）设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）； （2）； （3） 方法一:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，， 所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或3. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. 方法二:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 又，即， 整理得， 即， 所以， 整理得，解得或， 当，， 此时，不符合， 所以，此时的方程为，所以恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程和双曲线所过的点即可列方程求得解； （2）联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出弦长，再求出点到直线的距离即可计算面积； （3）方法一:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出，再由题设得到，再代入韦达求出t即可求解； 方法二:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，将韦达定理代入题设求出t即可求解. 【小问1详解】 由题意得，又，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的方程为， 设，，由，得， 所以，. 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山二中2025～2026学年度高二上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 已知为等比数列，且，，前项和为，则（ ） A. 189 B. 96 C. 63 D. 33 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 内含 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或1 5. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. 不存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有四个 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中提到“三角垛”的问题，如图，“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的有（ ） （参考公式：） A. B. C. D. 设，则的前100项和为2550 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为的中点时， B. 对于任意点，都有 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 13. 设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 14. 若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：. （1）求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 16. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知函数，. （1）若，求在处的切线方程： （2）讨论的单调性； （3）若对任意两个不相等的正实数，恒成立，求的取值范围. 19. 已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. （1）求的方程； （2）若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； （3）设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $