精品解析：安徽省含山县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

含山县二中2024-2025学年高二上学期期末质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 已知，与方向相同的单位向量是 2. 已知等比数列满足，则q＝（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 3. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 10 4. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 5. 过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点． B. 截距相等的直线都可以用方程表示 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 11. 如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________. 13. 如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于__________． 14. 如图所示，正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 16. 已知斜率且过点的直线与直线：相交于点． （1）求以点为圆心且过点的圆的标准方程； （2）求过点且与（1）中的圆相切的直线方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 18. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 19. 设正项数列的前项和为，满足，正项等比数列满足： （1）求数列，的通项公式； （2）设，其中，数列的前项和为，求所有的正整数，使得恰为数列中的项； （3）设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 含山县二中2024-2025学年高二上学期期末质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 已知，与方向相同的单位向量是 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据空间的基底概念即可判断；对于B，利用两平面的法向量垂直即得两平面的垂直；对于C，利用空间向量共面定理易得；对于D，根据与已知向量同方向的单位向量的概念计算即得. 【详解】对于A，因向量，则对于空间内任一向量都与，共面，故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，点为平面上的一点，且，则，解得，故C错误； 对于D，由，可得，则与方向相同的单位向量是，故D错误． 故选：B. 2. 已知等比数列满足，则q＝（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果. 【详解】因为，故可得； 解得. 故选：C. 3. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得. 【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，， 得，则，解得， 所以实数. 故选：A 4. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以． 故选：B 5. 过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由直线恒过可得点轨迹为圆，由圆上点到直线距离的最小值的求法可求得结果. 【详解】恒过点，， 点轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， 到直线的距离的最小值为. 故选：. 【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值的求解，关键是能够根据垂直关系求得动点的轨迹为圆，进而利用圆上的点到直线距离的最小值为求得结果. 6. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系得到数列 是等差数列，得到数列的通项公式，然后利用错位相减法得到，从而求解实数的取值范围． 【详解】解：由， 得， 即 ，  所以是等差数列，公差为，首项为， 所以，则，  数列的前n项和为： ，①  ，② 由① -②可得  ，  ，  即，  由，得，  因为单调递增， 当时， 的值最小．即， 所以， 所以实数的取值范围为． 故选：B. 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值. 详解：由题意得，圆， 即，圆心为，半径， 由圆心到直线的距离， 圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为， 即的取值范围是，故选B. 点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点． B. 截距相等的直线都可以用方程表示 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D. 【详解】对于A，由直线方程有 ，故必过点，故A正确； 对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为，如， 所以不能用方程表示，故B错误； 对于C，直线的斜率为，则倾斜角为，故C错误； 对于D，由直线和的斜率分别为，则有，故相互垂直， 将代入方程，则成立，故D正确． 故选：AD. 10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ） A. 设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出方程的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即， 但与的大小关系未知，A选项错误； 对于B选项，由可得， 可得，所以，点为线段的中点， 如下图所示： 当为圆的一条直径时，与重合； 当不是圆的直径时，由垂径定理可得， 设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值）， 所以，点的轨迹为圆，B选项错误； 对于C选项，解方程，可得，， 所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确； 对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 11. 如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立以为原点空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，可得，即可判断A；设与平面所成的角为，由，即可判断B；由正方体各个顶点到平面的距离与比较，即可判断C；点在侧面内运动，且满足，可得点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点于或重合时与所成角为，即可判断D. 【详解】 对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则，所以，即， 所以平面，故A正确； 对B，设与平面所成的角为， 则，故B错误； 对C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为， 正方体的对角线， 设到平面的距离为，由， 则，则， 则到平面的距离为， 因为， 所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个， 又与平面所成角的正弦值为， 所以到平面的距离为， 因为，所以在棱上都存在满足条件的点， 同理在都存在满足条件的点， 而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点， 所以满足条件的点共有9个，故C正确； 对D，设，则，又， 所以，即， 则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动， 而当点和或重合时与所成角为，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由得，即数列是以2为首项，以为公比的等比数列，即可求出，进而求得 【详解】因为，所以， 因为，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， ，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n项和的求法，属于基础题. 13. 如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出周长与、的关系，根据三角形性质——两边之差小于第三边得出当，，三点共线时周长最小的结论，即可求出答案. 【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为，根据双曲线和椭圆定义可知，， 得周长为： 根据三角形性质可知，当，，三点共线时取最大值，此时周长最小，当，，三点共线时，最小周长为 故答案为：2 14. 如图所示，正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，可得四边形是平行四边形，可得，同理可得，可得面面平行，进而得出点轨迹为． 【详解】如图所示，的中点，的中点，连接. 可得四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，可得平面.同理可得，平面，又，∴平面平面. ∵点是正方形内的动点，平面，∴点在线段上． ∴点的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案； （2）由（1）及计算模公式可得答案. 【小问1详解】 由图形及向量相加的首尾相连原则，； 【小问2详解】 由题可得，. 则 ，则，即的长为. 16. 已知斜率且过点的直线与直线：相交于点． （1）求以点为圆心且过点的圆的标准方程； （2）求过点且与（1）中的圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与直线的方程求出点的坐标，再由在圆上，求出半径，进而求出圆的标准方程； （2）设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 解：： 即，：； 由，得，即． 因为在圆上，所以圆的半径；所以圆的方程为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，圆的方程为： 因为， 所以 所以点在圆上 设过点圆的切线方程为 当切线的斜率不存在时，切线方程为： 此时圆心到切线的距离为：，不符合题意 所以切线的斜率存在 设切线的斜率为，则的方程为即， 点到直线的距离为，即， 即所求直线的方程为， 所以过点圆的切线方程为方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【解析】 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值； （3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 又由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）是， （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据和过点可求结果； （2）设，所以，，从而得到． （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 ，， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上， 直线和的斜率都存在且不为， 设，所以， ， ， 所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去，整理得， ，则， 则， ， 点到直线的距离为， ， 当，即时面积最大，且最大值为， 此时直线的方程为． 19. 设正项数列的前项和为，满足，正项等比数列满足： （1）求数列，的通项公式； （2）设，其中，数列的前项和为，求所有的正整数，使得恰为数列中的项； （3）设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合求出公差、公比，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，按奇偶结合分组求和法求出，再列式判断并求出值. （3）由（1）的结论，结合已知构造函数，利用导数探讨单调性，求出的最大值. 【小问1详解】 数列中，，，当时，，解得， 当，，两式相减得， 而，则，因此数列是等差数列，其首项为，公差为， ，由，得，而，则. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则， ， ，若为中的项只能为，，， 若，则，无解； 若，则，显然，是方程的一个解， 当时，令，，则，设， 则，即为增函数，则， 为增函数，于是，当时，方程无解； 若，则，即， 所以或. 【小问3详解】 设等比数列的公比为，令，得，即， 若，则由，得，此时的最大值为； 若，由，得，即， 此时只需考虑情形：令，，则， 当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减， 又，且，则的最大值为，， 令，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递减， 考虑的情形，由题意知，得，， ，则，得的最大值为，所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $