精品解析：江苏扬州市2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分，本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.12 D. 2. 下列事件中适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某校中学生的视力情况 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 审核书稿中的错别字 D. 调查一批节能灯管的使用寿命 3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数的图像如图所示，图像与轴、轴的交点分别为、，以下说法： ①点坐标是；②随的增大而增大；③的面积为；④直线可以看作由直线向下平移1个单位得到．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 一个不透明盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了解某校初二年级600名学生的视力情况，从中抽测了50名学生的视力情况，则样本容量是_____． 10. 生活中“水涨船高”描述的事件是_______．（填“不可能事件”、“随机事件”或“必然事件”） 11. 若 x3=64，则 x=_____. 12. 直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 13. 比较大小：_____． 14. 如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为_________． 15. 如图，在中，垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是_____． 16. 如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 __________________． 17. 如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 18. 平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 21. 某地为了了解居民的用水情况，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题： （1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？ （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中“25吨吨”部分的圆心角度数； （3）根据调查情况，估计该地60万用户中有多少用户的用水量不超过25吨？ 22. 兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 23. 如图，、是的两个外角． （1）用无刻度直尺和圆规分别作和平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 24. 如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 甲、乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；小时后，甲到达地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程（千米）与乙骑行时间（小时）之间的关系如图所示． （1）求出图中的值； （2）求甲改变骑行速度后，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙到达地后，求甲离地的路程． 26. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接，若为等腰三角形，求t的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． （1）点A的坐标为 ； （2）求直线的表达式； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分，本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，直接根据无理数的定义判断即可. 【详解】解：，，0.12是有理数，是无理数， 故选：D 2. 下列事件中适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某校中学生的视力情况 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 审核书稿中的错别字 D. 调查一批节能灯管的使用寿命 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，依据全面调查与抽样调查的适用范围判断，全面调查适用于要求精确、无破坏性、范围较小的调查，抽样调查适用于有破坏性、范围大或调查成本高的调查，据此判断即可． 【详解】解：∵对乘坐飞机的乘客安检、审核书稿错别字，要求结果精确，必须全面调查． ∵调查某校中学生视力情况，范围较小，可全面调查． ∵调查一批节能灯管的使用寿命，测试具有破坏性，无法全面调查，适合抽样调查． ∴适合抽样调查的是D选项． 故选：D． 3. 已知点在第二象限，则取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握第二象限点的符号特点是解题的关键． 根据点在第二象限，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ，解得， 在数轴上表示为，． 故选：B． 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 5. 关于一次函数的图像如图所示，图像与轴、轴的交点分别为、，以下说法： ①点坐标是；②随的增大而增大；③的面积为；④直线可以看作由直线向下平移1个单位得到．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对每个选项分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵， 令，则， ∴点A的坐标为，故①正确； 由图像可知，随的增大而增大；故②正确； 令，则，故点B为， ∴，， ∴，故③正确； 直线可以看作由直线向下平移1个单位得到，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像与几何变换，逐一分析四条结论是否符合题意是解题的关键． 6. 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 【详解】解：设袋中有黄色小球x个， 由题意得， 解得：． 故选：D． 7. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 8. 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了解某校初二年级600名学生的视力情况，从中抽测了50名学生的视力情况，则样本容量是_____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，样本容量是指样本中个体的数量，根据样本容量的定义求解即可． 【详解】解：为了解初二年级600名学生的视力情况，抽测了50名学生， 故样本容量是50． 故答案为50． 10. 生活中“水涨船高”描述的事件是_______．（填“不可能事件”、“随机事件”或“必然事件”） 【答案】必然事件 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：生活中“水涨船高”描述的事件是必然事件． 故答案为：必然事件 11. 若 x3=64，则 x=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】找到立方等于64的数即可． 【详解】解：∵43=64 ∴x=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了开立方的相关知识，熟记常见数的立方是解答本题的关键． 12. 直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 13. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据两个负数比较大小的法则，绝对值大的反而小．据此求解即可． 【详解】解：． ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握．根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据全等三角形的性质，，， ∴ 则的长为10， 故答案为：10． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，则，然后结合题意求解即可． 【详解】解：∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴． 故答案为：9． 16. 如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵将沿翻折与重合， ∴， ∵， ∴， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，垂足为，由角平分线的性质可得，得出，再求解即可． 【详解】解：作，垂足为，如图， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为50， ， ， 故答案为：75． 18. 平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点横坐标是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 根据绝对值的性质，立方根，二次根式的性质，乘方进行化简，再根据实数混合运算的法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴的平方根为，的立方根为． 21. 某地为了了解居民的用水情况，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题： （1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？ （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中“25吨吨”部分的圆心角度数； （3）根据调查情况，估计该地60万用户中有多少用户的用水量不超过25吨？ 【答案】（1）此次调查抽取了100用户的用水量数据； （2）图见解析； （3）约有396000户用户的用水量不超过25吨． 【解析】 【分析】（1）用10吨吨的用户除以所占的百分比，计算即可得答案； （2）用总户数减去其它四组户数，计算求出15吨吨的用户数，然后补全直方图即可；用“25吨吨”所占的百分比乘以计算即可得解； （3）用60万乘以用水量不超过25吨的用户所占的百分比即可． 【小问1详解】 ， 答：此次调查抽取了100用户的用水量数据； 【小问2详解】 的户数为：， 补全的频数分布直方图如图所示： ； 【小问3详解】 （户）， 答：约有52800户用户的用水量不超过25吨． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后证明四边形ABDE为矩形，得出ED，从而求得； 【详解】解：∵ ∴∠BDC=90°， 在中， ，， （米）． ∵AB⊥AE，DE⊥AF，BD⊥DE， ∴∠BAE=∠DEA=∠BDE=90°， ∴四边形ABDE为矩形， ∴ED=AB=1.7米， （米）， 答：风筝的高度为米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 23. 如图，、是的两个外角． （1）用无刻度直尺和圆规分别作和的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作图的方法，作图即可； （2）作，，，根据角平分线的性质，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 作，，， 由（1）知，∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点O在的角平分线上， ∴平分． 24. 如图，为上一点，为上一点，为延长线上一点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先利用已知条件和（1）的结论得出线段相等关系，再证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ， 在与中，， ∴ ； 【小问2详解】 解：连接, ， ， 在与中， ∴， ， ∵， ， ∴， ． 25. 甲、乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；小时后，甲到达地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程（千米）与乙骑行时间（小时）之间的关系如图所示． （1）求出图中的值； （2）求甲改变骑行速度后，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙到达地后，求甲离地的路程． 【答案】（1）1 （2） （3）乙到达地后，甲离地4千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息： （1）根据函数图象先求出乙的速度，进而求出甲未改变骑行速度时的速度，进而求出行驶15千米所需的时间即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求，求出甲函数图象中当的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可得，乙的速度为（千米时）， 开始时，甲、乙两人骑行速度相同， （小时）， 的值为1； 【小问2详解】 设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得， 甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由图象可知，时，乙到达地， 在中，令得， （千米）， 乙到达地后，甲离地4千米． 26. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）求a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接，若为等腰三角形，求t的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）由勾股定理可得，由题意可得，表示出，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解．∵，， ∴， 由题意可得：， ∴，， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． （1）点A的坐标为 ； （2）求直线的表达式； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； 【小问3详解】 解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 28. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，，再由等边三角形的性质与判定得，，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，由旋转的性质和等量代换得，从而证得，得，，证得，得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，是等边三角形，得，进而得，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $