精品解析：江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

景德镇一中2025－2026学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式，得到，由指数函数单调性求值域得到，利用交集，并集和补集的概念进行求解，得到答案. 【详解】， 因为，所以，故，， 故，，，A正确，BCD错误； 故选：A 2. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码即可. 【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过55和重复的号码，选取的号码依次为： 31，32，43，25，12，51，26， 04， 01，11， 所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12. 故选：D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性比较对数式及指数式大小即可. 【详解】，，，所以. 故选:A. 4. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式， 则不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 下列叙述正确的是（ ） A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有 B. 函数的零点是， C. 已知方程的解在内，则 D. 函数有两个不同的零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，举例判断即可；对于B，求出函数的零点即可判断；对于C，根据零点存在性定理判断即可；对于D，作出的图象,观察其交点个数即可判断. 【详解】对于A，函数在内有零点， 而，故A错误； 对于B，令，解得或， 所以函数的零点是，3，故B错误； 对于C，设， 因为函数在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，，则， 所以函数在内有唯一零点， 所以方程在内有唯一解，则，故C正确； 对于D，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在，处相交， 所以函数有三个不同的零点，故D错误. 故选：C. 6. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为 则第二次摸出的球是红球的概率为. 故选： 7. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，先通过函数单调性奇偶性求解，得到，进而再求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，， 所以当时，， 则， 所以， 对于不等式， 令，可得：， 当时，恒成立， 当时，成立， 当时，， 由解析式可知：当时，单调递增，且， 所以由，解得， 综上的解集为， 再解， 当时，恒成立， 当时，成立， 当时，， 由解析式可知：当时，单调递增，且， 所以由，解得， 综上的解集为， 所以为， 故选：B 8. 已知函数，，，，有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过换元和对数函数的单调性，求得当时，的值域.通过换元及二次函数的对称轴，讨论的取值，从而求得当时，的值域，由题意可知，从而建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】令，在上单调递减， ∵，∴， 又∵函数在上单调递增，∴， ∴时，， 令，∵，∴，对称轴为， 当时，， 当时，函数在上单调递增，∴， 由题意可知，，即，∴， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，由题意得， 即，则或， 解得或，不等式组无解. 当时，函数在上单调递减，∴， 由题意可知，，即，则，不等式无解. ∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是2 D. 数据的分位数为3.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差的定义计算后判断选项A；由众数和平均数的定义计算后判断选项B；计算数据方差判断选项C；计算分位数判断选项D. 【详解】该组数据从小到大排列为， 对于A，该组数据的极差为，故A正确； 对于B，众数为3，平均数为，故B正确； 对于C，该组数据的方差为： ，故C错误； 对于D，因为，所以这组数据的百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是奇函数 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，则的值域为 D. 若，则不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于函数的奇偶性，需要判断的关系；对于函数的对称性，可通过分析函数的性质来判断；对于函数的值域，可根据函数的单调性来求解；对于不等式的求解，可利用函数的性质进行转化； 【详解】对于A，当时，的定义域为， 因为，所以是奇函数，A正确； 对于B，当时，，其定义域为，， 因为，所以函数关于点对称，B错误； 对于C，当时，的定义域为，因为，所以， 则，那么，所以，即的值域为，C错误； 对于D，当时，，其定义域为，由B可知， 不等式可化为， 即，对求导可得， 所以在上单调递减.因为，所以，解得， 即不等式的解集为，D正确； 故选：AD. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式求得最大值，由的取值范围，得到范围即可判断A选项；由条件等式化简，再由基本不等式求得最小值，借助双勾函数求得范围，判断B选项；由条件等式化简，再由基本不等式求得最小值，借助双勾函数求得范围，判断C选项；令，由A选项得的范围，化简后得到其范围，即可判断D选项. 【详解】∵， 当且仅当，即时取等号. 且，则， ∴，A选项正确； ，当且仅当，即时取等号， ∵，即，∴， 由双勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 而，∴，B选项正确； ， 令，则，函数， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴函数在上单调递减，∴， 当时，，C选项错误； 令，则由A选项可知， ∴，∴， ∴的最大值为2，即时取最大值，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的反函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】因为函数的反函数的图象经过点， 所以函数的图象过点， 则，解得. 故答案为：3 13. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】从定义域与复合函数单调性两个方面分析可得答案. 【详解】函数 （ 且 ）在区间  上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意 ，需有 ， 由于 ，函数  在上单调递减， 因此，即 ； （2）令 ，则 ，由于  且 ，分两种情况： 若 ，则外层函数  递增，而内层函数  递减， 故复合函数  递减，不符合题意， 若 ，则外层函数  递减，内层函数  递减， 故复合函数  递增，符合题意， 故； 综上， 的取值范围是 . 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解. 【详解】根据，作出的大致图象如下： 由图可知：当时，此时有两个根，分别为， 当时，此时有4个交点， 当时，此时有3个交点， 当时，此时有2个交点， 故要使得有6个不同的零点， 则令，有2个不同的实数根， 显然不是的根， 设的两个零点分别为，且， 故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意， 故需要满足，解得， 当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意， 故需要满足，解得， 综上可得. 答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，不等式的解集为． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先分别求出集合，再求即可. （2）首先根据分类讨论和的情况，即可得到答案. 【小问1详解】 ；． ；． ． 【小问2详解】 ①若，则；符合题意， ②若，则，且； 综上或． 16. 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）求满意度评分的中位数和平均数． （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1） （2）（或）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． 【小问3详解】 与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 17. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用独立概率乘法求甲恰好赢两局的概率，相加即可； （2）先分析甲获胜的条件是赢至少两局，分别求出赢两局和赢三局的概率，总胜率表达为的一次函数，从而得到不等式，结合得范围. 【小问1详解】 分别表示甲在三个项目中获胜，表示甲得4分， ； 【小问2详解】 甲得4分或6分，夺冠， 甲得4分的概率； 甲得6分的概率； 甲夺冠的概率为； 乙夺冠的概率为；又， . 18. 已知奇函数和偶函数的定义域均为（常数e是自然对数的底数） （1）求出函数的解析式． （2）求不等式的解集． （3）若，且在上的最大值为2，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）用代换，得，即可求得函数的解析式； （2）由指数函数，双勾函数得到复合函数的单调性，由函数解析式得到函数的奇偶性，利用函数奇偶性和单调性解不等式，即可求得不等式解集； （3）代入求得解析式，通过换元得到二次函数，讨论的取值范围，得到函数单调性，求得函数最大值，建立方程解得的值． 【小问1详解】 用代换，得， ∴，则. 【小问2详解】 ，令，则当时，， 函数在上单调递增，在单调递增； 由复合函数的单调性可知在单调递增， 又∵， ，即，∴， 则，∴， 解得或； 【小问3详解】 ， 设，，对称轴为． ①当即时，在递增，， 即，解得，舍去， ②当时，在递增，在递减， ，即，解得或（舍去）． ③当时，在递减，，即，解得（舍去）， 综上，． 19. 对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点． （1）求函数的稳定点； （2）如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求的取值范围； （3）定义在上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为，若函数在中存在两个不动点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入解方程即可； （2）先求出不动点，再化简，分类讨论一元二次方程的根； （3）得出的对称性以及单调性即可求出，再令，将问题转化为在有2个实数根，结合一元二次函数可求. 【小问1详解】 ，即， 则，得，得， 故的稳定点为. 【小问2详解】 ，则为的不动点； 解， 即，即， 因为的“稳定点”恰是它的“不动点”，所以的稳定点只能为或1， 则方程的根只能为或1， ①当时，仅有一个实数解，符合题意． ②当时，要么无实数解，要么只有一个实数解为1或． 则或或， 得或或， 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 因为，所以， 设，则，为奇函数， 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 因为， 所以可化为， 则，则，得，即， 令，即， ， 令，则， 因为在递增，所以． 因为函数在中存在两个不动点， 则在有2个实数根， 则的函数图象在上有个交点， 当时，；当时，； 结合一元二次函数得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025－2026学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 下列叙述正确的是（ ） A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有 B. 函数的零点是， C. 已知方程的解在内，则 D. 函数有两个不同的零点 6. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，，有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是2 D. 数据的分位数为3.5 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是奇函数 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，则的值域为 D. 若，则不等式的解集为 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的反函数的图象经过点，则______． 13. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 14. 已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，不等式的解集为． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）求满意度评分的中位数和平均数． （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17. 甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，且；各项目的比赛结果相互独立． （1）若，求甲得4分的概率； （2）要使甲获冠军的概率大于乙获得冠军的概率，求的取值范围． 18. 已知奇函数和偶函数的定义域均为（常数e是自然对数的底数） （1）求出函数的解析式． （2）求不等式的解集． （3）若，且在上的最大值为2，求的值． 19. 对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点． （1）求函数的稳定点； （2）如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求的取值范围； （3）定义在上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为，若函数在中存在两个不动点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $