7.4 二项分布与超几何分布（3知识点+6考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

7.4 二项分布与超几何分布 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：n重伯努利实验 1、n重伯努利试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 示例：投掷一枚质地均匀的硬币一次． （2）n重伯努利试验：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 示例：投掷一枚质地均匀的硬币1000次． 2、n重伯努利试验的特征 （1）同一个伯努利实验重复做n次（重复意味着各次试验成功的概率相同）． （2）各次试验的结果相互独立． 3、n重伯努利试验的概率计算 一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，事件A在n次试验中发成k次，共有种情况，由试验的独立性知，每种情形下，A在k次试验中发生，而在其余（n-k）次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ． （23-24高二下·海南海口·期中）（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ） A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【解析】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验．故选：ACD． 知识点2：二项分布 1、二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，．即 X 0 1 … k … n P … … 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，． 【注意】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与． 2、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则 3、二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值； 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）． （24-25高二下·北京·月考）某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是.故选：D 知识点3：超几何分布 1、超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． ． 2、超几何分布与二项分布的辨析 （1）模型建立 摸球方式 X的分布 放回摸球 二项分布 不放回摸球 参数为的超几何分布 （2）超几何分布与二项分布的联系与区别 ①由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布． ②对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近． ③对于不放回摸球，当充分大，且远小于时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用分布近似．从方差的角度看，由于，两个分布的方差也近似相等． ④在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和，而二项分布只需要知道即可． （24-25高二下·江苏无锡·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.故选：A 题型一：二项分布的概率计算 例1．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得，解得， 所以.故选：B 【变式1-1】（24-25高二下·河北·月考）一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为 ． 【答案】 【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动次，每次移动相互独立，则． 移动次后，质点位于的位置，则，． 【变式1-2】（24-25高二下·北京·月考）某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，四道题中恰好做对2道的概率.故选：C 【变式1-3】（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球， 摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率.故选：A. 题型二：二项分布的均值与方差 例2．（24-25高二下·河北·月考）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以．故选：C． 【变式2-1】（24-25高二下·海南·月考）从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌次，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知该事件满足二项分布， 每次抽到黑桃牌的概率为， 一共抽5次，即， 所以由二项分布的期望公式可得，故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为2次试验中恰好发生1次的概率为， 所以，化简得.解得或. 因为随机变量，所以. 当时，； 当时，. 综上，.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·江西·月考）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为测试成功的次数，则，有． 因为， 所以，， 所以，其中， 所以当且仅当时，取得最大值．故选：D. 题型三：二项分布的概率最值问题 例3．（24-25高二下·江苏南通·月考）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以.故选：A. 【变式3-1】（24-25高二下·安徽·月考）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【解析】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中， 必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格， 其概率， 故， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取到最大值.故选:D. 【变式3-2】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（    ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【解析】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9．故选：D． 【变式3-3】（24-25高二下·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值.故选：C. 题型四：超几何分布的概率计算 例4．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 【变式4-1】（24-25高二下·山东潍坊·月考）一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 【答案】 【解析】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 【变式4-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，服从超几何分布，则.故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·山东泰安·月考）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为．故选：B 题型五：超几何分布的均值与方差 例5．（25-26高二上·湖北黄梅·周测）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以．故选：B 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量， ，X服从超几何分布， 所以黑球个数的数学期望是.故选：C 【变式5-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 .故选：D 【变式5-3】（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 【答案】 【解析】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 题型六：二项分布与超几何分布的综合应用 例6．（24-25高二下·河北衡水·期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件， 甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【变式6-1】（24-25高二下·天津·月考）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析；(2)，；(3)0.992 【解析】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 【变式6-2】（24-25高二下·辽宁大连·月考）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ，，， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 【变式6-3】（24-25高二下·河南安阳·月考）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】(1)；(2)120元 0 1 2 【解析】（1）的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 （2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 一、单选题 1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设答对的题目数量为，则， .故选：A. 2．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 【答案】B 【解析】因为随机变量 所以，， 又因为随机变量， 所以，， 所以.故选：B. 3．（24-25高二下·云南昆明·月考）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品，故选:C． 4．（24-25高二上·山东德州·月考）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，，，，，， 所以由 得：解得， 又因为，所以．故选:B． 5．（24-25高二下·江苏南京·月考）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【解析】设该同学罚进的球数为，已知该同学罚球次，每次罚球命中率为， 且各次罚球互不影响，所以，其中表示参数为和的二项分布. 对于二项分布，其期望， 将，代入可得：， 即该同学罚进的球数的期望为个. 已知每罚进一球记分，不进记分，一共罚篮次， 罚进的球数期望为个，则不进的球数期望为个. 所以该同学得分的期望为：.故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二下·河南商丘·月考）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【解析】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个， 成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确.故选：ABD. 7．（24-25高二下·吉林长春·月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，那么在本次运动会上（    ） A． B． C． D．， 【答案】ACD 【解析】由于该名运动员在这3个项目中，每个项目都能打破世界纪录的概率都是， 所以该名运动员能打破世界纪录的项目数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由，得，故D正确；故选：ACD. 8．（24-25高二下·广东深圳·月考）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 【答案】ACD 【解析】若是有放回的抽取，则， 则， ，故选项A和C正确， 若是无放回的抽取，则可能取，，，， 又，， ，， 所以，故选项B错误，选项D正确，故选：ACD. 三、填空题 9．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知随机变量 ，若，则 . 【答案】 【解析】由有. 10．（24-25高二下·云南昆明·月考）为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【答案】 【解析】进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 11．（24-25高二下·天津·月考）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 【答案】； 【解析】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为，拿到未校正过的气枪概率， 则随机一把气枪射中的概率为， 随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响， 则射中次数服从二项分布，则， 恰有两次射中的概率. 四、解答题 12．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 13．（24-25高二下·宁夏银川·月考）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为， 所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为. （2）依题意，的可能取值为， 则，，， 则的分布列为： 所以， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 二项分布与超几何分布 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：n重伯努利实验 1、n重伯努利试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 示例：投掷一枚质地均匀的硬币一次． （2）n重伯努利试验：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 示例：投掷一枚质地均匀的硬币1000次． 2、n重伯努利试验的特征 （1）同一个伯努利实验重复做n次（重复意味着各次试验成功的概率相同）． （2）各次试验的结果相互独立． 3、n重伯努利试验的概率计算 一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，事件A在n次试验中发成k次，共有种情况，由试验的独立性知，每种情形下，A在k次试验中发生，而在其余（n-k）次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ． （23-24高二下·海南海口·期中）（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ） A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 知识点2：二项分布 1、二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，．即 X 0 1 … k … n P … … 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，． 【注意】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与． 2、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则 3、二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值； 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）． （24-25高二下·北京·月考）某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（    ） A． B． C． D． 知识点3：超几何分布 1、超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． ． 2、超几何分布与二项分布的辨析 （1）模型建立 摸球方式 X的分布 放回摸球 二项分布 不放回摸球 参数为的超几何分布 （2）超几何分布与二项分布的联系与区别 ①由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布． ②对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近． ③对于不放回摸球，当充分大，且远小于时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用分布近似．从方差的角度看，由于，两个分布的方差也近似相等． ④在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和，而二项分布只需要知道即可． （24-25高二下·江苏无锡·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 题型一：二项分布的概率计算 例1．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·河北·月考）一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为 ． 【变式1-2】（24-25高二下·北京·月考）某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二：二项分布的均值与方差 例2．（24-25高二下·河北·月考）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】（24-25高二下·海南·月考）从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌次，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】（24-25高二下·江西·月考）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：二项分布的概率最值问题 例3．（24-25高二下·江苏南通·月考）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】（24-25高二下·安徽·月考）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【变式3-2】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（    ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【变式3-3】（24-25高二下·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 题型四：超几何分布的概率计算 例4．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【变式4-1】（24-25高二下·山东潍坊·月考）一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 【变式4-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·山东泰安·月考）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型五：超几何分布的均值与方差 例5．（25-26高二上·湖北黄梅·周测）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·河北沧州·期中）已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 题型六：二项分布与超几何分布的综合应用 例6．（24-25高二下·河北衡水·期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 0 1 2 3 【变式6-1】（24-25高二下·天津·月考）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【变式6-2】（24-25高二下·辽宁大连·月考）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【变式6-3】（24-25高二下·河南安阳·月考）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 一、单选题 1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 3．（24-25高二下·云南昆明·月考）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东德州·月考）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·月考）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 二、多选题 6．（24-25高二下·河南商丘·月考）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 7．（24-25高二下·吉林长春·月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，那么在本次运动会上（    ） A． B． C． D．， 8．（24-25高二下·广东深圳·月考）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 三、填空题 9．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知随机变量 ，若，则 . 10．（24-25高二下·云南昆明·月考）为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 11．（24-25高二下·天津·月考）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 四、解答题 12．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 13．（24-25高二下·宁夏银川·月考）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $