第27讲 正态分布（思维导图+3知识点+五大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第27讲 正态分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：正态曲线与正态密度函数】 【考点二：求正态分布的概率及参数问题】 【考点三：标准正态分布的应用】 【考点四：正态分布的实际应用】 【考点五：正态分布与其他分布综合】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解正态分布的形状、对称性、均值和方差的意义； 2.熟练掌握正态分布的概率计算，包括利用标准正态分布表和计算技巧求解概率问题； 3.学会根据样本数据估计正态分布的参数，包括均值和方差，并根据估计结果绘制分布密度曲线。 一、正态曲线 1、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2、正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. 3、正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. 4、正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 二、正态分布 1、正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 2、标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 三、正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【考点一：正态曲线与正态密度函数】 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 三、填空题 4．（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 四、解答题 5．（24-25高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【考点二：求正态分布的概率及参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，则（    ） A． B． C． D．的最小值为 【考点三：标准正态分布的应用】 一、多选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 二、填空题 2．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 4．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【考点四：正态分布的实际应用】 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【考点五：正态分布与其他分布综合】 一、解答题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布. (1)假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望： (2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 碳含量（%） 0.31 0.32 0.34 0.31 0.30 0.31 0.32 0.31 0.33 0.32 经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比. （i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）. 附：若随机变量服从正态分布，则.. 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 4．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知随机变量，若，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 5．（23-24高二下·山东威海·期末）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率约为（    ） 附：若，则，. A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5 7．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·江苏·期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 9．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）已知随机变量服从正态分布，，，则以下选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 10．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 11．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 . 12．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 四、解答题 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 14．（23-24高二下·吉林·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 15．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 16．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 17．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27讲 正态分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：正态曲线与正态密度函数】 【考点二：求正态分布的概率及参数问题】 【考点三：标准正态分布的应用】 【考点四：正态分布的实际应用】 【考点五：正态分布与其他分布综合】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解正态分布的形状、对称性、均值和方差的意义； 2.熟练掌握正态分布的概率计算，包括利用标准正态分布表和计算技巧求解概率问题； 3.学会根据样本数据估计正态分布的参数，包括均值和方差，并根据估计结果绘制分布密度曲线。 一、正态曲线 1、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2、正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. 3、正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. 4、正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 二、正态分布 1、正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 2、标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 三、正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【考点一：正态曲线与正态密度函数】 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 二、多选题 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【分析】根据标准正态分布性质判断A,B,应用偶函数定义判断C,应用对称中心定义判断D. 【详解】因为 ，所以 正确; 显然 是减函数，正确. 因为 ， 的图象关于点 对称， 且 ,所以 不是偶函数,不正确， 正确. 故选：ABD. 三、填空题 4．（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 四、解答题 5．（24-25高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 【考点二：求正态分布的概率及参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以根据正态分布的性质，可得，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 【答案】D 【分析】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 【答案】C 【分析】由可得对应的正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】由，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 6．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，则（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BD 【分析】应用正态分布概率性质判断A,B,C,根据常值代换应用基本不等式判断D. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以，A错误； 因为，所以，所以，B正确； 因为，C错误； ， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：BD. 【考点三：标准正态分布的应用】 一、多选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 二、填空题 2．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 【答案】/ 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 【答案】0.7/ 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 4．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 【考点四：正态分布的实际应用】 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)能 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率，即可求解. 【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】​​​​​​​（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【详解】（1）由题意可知， 则 ， 则共，即人进入面试. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有， 甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为, 则， , , , 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 【考点五：正态分布与其他分布综合】 一、解答题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)①4.55万件；②分布列见解析， 【分析】（1）利用概率公式即可求解. （2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解. 【详解】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． （2）①因为， 所以，且； 所以或或， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 【答案】(1)生产线出现异常，理由见解析 (2)均值为，方差为 【分析】（1）借助正态分布的性质计算可得小概率事件多次发生，故可视为生产线出现异常； （2）计算出次品率后可得，结合二项分布的期望与方差公式可得、，结合期望与方差的性质即可得X的均值及方差. 【详解】（1）依题意，有， 所以正常产品尺寸的范围为， 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为，故生产线出现异常； （2）依题意，尺寸在以外的就是次品，故次品率为， 记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布， 则， 因为， 所以X的均值（元）， 方差. 4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布. (1)假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望： (2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 碳含量（%） 0.31 0.32 0.34 0.31 0.30 0.31 0.32 0.31 0.33 0.32 经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比. （i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）. 附：若随机变量服从正态分布，则.. 【答案】(1)0.0257，0.026 (2)（i）不需要（ii） 【分析】（1）由公式结合已知即可求出，由二项分布的期望公式即可求出. （2）先求出，对比表中数据即可判断是否需要对当天的生产过程进行检查，由样本平均数和方差的计算公式推导即可得出. 【详解】（1）由已知得：抽取一次碳含量在之内的概率为0.9974， 所以， 又碳含量在之外的概率为0.0026， 故, 因此. （2）由得的估计值为， 所以， 由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在之内， 因此不需要对当天的生产过程进行检查. 若去掉，剩下的数据的标准差 又注意到， 所以. 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【详解】观察曲线知，. 故选：D 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正态分布的对称性得到，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 故选：A. 3．（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解. 【详解】依题意，，， 因此， 所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为. 故选：B 4．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知随机变量，若，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以， 所以 . 故选：B 5．（23-24高二下·山东威海·期末）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率约为（    ） 附：若，则，. A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5 【答案】B 【分析】首先根据二项分布算出，进一步结合正态分布的性质即可求解. 【详解】射击命中次数服从二项分布， 均值，方差， 所以， . 故选：B. 7．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 二、多选题 8．（24-25高三上·江苏·期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 9．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）已知随机变量服从正态分布，，，则以下选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即得. 【详解】由题知，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 由正态分布密度曲线关于对称， 利用对称性知，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 11．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性可知，从而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】随机变量X服从正态分布， ，由，， ，且， 则， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为：. 12．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 【答案】 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可；利用公式把二项分布转化为标准的正态分布，然后利用正态分布的概率公式求解即可. 【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)100 (2)0.3 (3)分布列见解析，1.4 【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值； （2）由正态分布的对称性即可算出结果. （3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以． （3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则． 依题意可得的可能取值为， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 所以. 14．（23-24高二下·吉林·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 15．（23-24高二下·河南·期中）郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； (2)若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1) (2)（i）22.75万；；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）先求出旅游支出不低于10000元的有33人，再结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； （2）（i）根据题目数据求得，根据正态分布的特殊区间求得概率，即可求解； （ii）根据题意求出的所有可能取值，结合二项分布概率公式求得分布列和数学期望. 【详解】（1）样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人， 所以两人旅游支出均不低于10000元的概率为； （2）（i）， 所以服从正态分布， ， 万， 估计郑州市有22.75万市民2023年旅游费用支出在15000元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为. ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 16．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)71分 (2)①②分布列见解析，13 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 17．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值以及这批零件内径的平均值和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以频率分布直方图中的平均数作为的估计值，频率分布直方图中的标准差作为的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差. 参考数据：，若，则，，. 【答案】(1)，， (2)的分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，及频率分布直方图中均值和方差的计算公式，求出相应的值即可； （2）确定的可能取值，求出不同的值对应的概率，得到的分布列，再根据离散型随机变量数学期望的计算公式求出的数学期望即可； （3）由根据正态分布的概率求法，求出的概率，再根据二项分布的定义判定，最后根据二项分布方差的计算公式求出的方差. 【详解】（1）由，则， 这批零件内径的平均值： ， ， 这批零件内径的方差： ， （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， ， 因此可得的分布列： 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 则的数学期望. （3）由题意知，，， 又，， 则， 由二项分布的定义知, 由二项分布的方差公式知，. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$