精品解析：安徽省蚌埠市怀远县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽怀远县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3 2. 拋物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 4. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则的值是_______． 12. 如图，是的内切圆，若，则的度数为________°． 13. 如图，中，，，，D，E分别为中，边上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F，使得，当点F落在的高上时，______． 14. 如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，且，则______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 17. 如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：． 18. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 19. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 20. 如图， 的三个顶点，C，D都在上，边与相交于点，边与相切． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式与点坐标； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 22. 如图，中，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点E是中点，求证：． 23. 在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）当点在线段上时，如图，求证：；小明同学是这样解答的：过点作，交于点，请你画出符合条件的图形，并帮助小明同学完成解答过程； （2）当点在的延长线上时，如图，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）当点在的延长线上时，如图，直接写出线段，，之间的数量关系（不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽怀远县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 2. 拋物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移8个单位得到抛物线； 把抛物线向下平移9个单位得到抛物线． 故选：A． 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 4. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】A．，则5y=6x，故此选项错误； B．，则xy=30，故此选项错误； C．，则5y=6x，故此选项错误； D．，则5x=6y，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 5. 如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由△ACD∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：AD=AD：AB，又由AC=4，AD=2，即可求得AB的长． 【详解】∵△ACD∽△ADB， ∴， ∴AB==1， 故选：A． 【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例． 6. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，， ∴点B的对应点坐标为或， 即或． 故选：． 7. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 10. 如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则的值是_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用设k法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴x=2k，y=3k，z=4k， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 12. 如图，是的内切圆，若，则的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 根据三角形内角和定理得，根据三角形的内心得，根据三角形内角和定理计算即得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴． 故答案为：120． 13. 如图，中，，，，D，E分别为中，边上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F，使得，当点F落在的高上时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、翻折的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，找出图中的相似三角形并利用相似三角形性质求线段长是解题的关键．由题意得，分2种情况①点F落在上时；②点F落在边上的高时，分别画出对应的图形，利用翻折的性质和菱形的判定方法得到四边形是菱形，设菱形的边长为，再利用相似三角形的对应边成比例性质，求出的值即可解答． 【详解】解：①当点F落在上时，如图， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 设菱形的边长为，则，， ， ， ，即， 解得：， ； ②当点F落在边上的高时，延长交于点，则有，如图， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 同理①可得，，四边形是菱形， 设菱形的边长为，则，， ， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，或． 故答案为：或． 14. 如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，其中，，结合矩形性质得，，， ；根据三角函数中的正切函数可得 ，可求得的值；由可解得的值，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解：依题设：，，其中，， 四边形是矩形， ，，， ，即， ，且， ， 即， 由解得， ，， 又， ， ， ， 将，代入得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、三角函数、勾股定理、反比例函数，解题关键是求出点和点的横坐标． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 先代入特殊角的三角函数，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解： ． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； （2）延长到点使，延长到点使，连接，则满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：． 【答案】 证明：∵中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及相似三角形判定与性质，先证明，，得出，即可证明结论． 【详解】略 18. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 【答案】（1）P（2，4）；（2）M坐标（3，0）或（9，0）. 【解析】 【分析】（1）先将点Q坐标代入y＝x，求出a的值，再代入y＝求出k的值，再将点P坐标代入反比例函数解析式即可． （2）延长PQ交x轴于A，连接QM，根据待定系数法求出直线PQ解析式，从而求得点A的坐标，设M（n，0）根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 列出方程即可得M坐标． 【详解】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a）， ∴a＝×4＝2， a＝ ∴k＝8 ∴反比例函数y＝（x＞0） ∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点， ∴mn＝8，且n＝2m，m＞0 ∴m＝2，n＝4 ∴P（2，4） （2）延长PQ交x轴于A，连接OM， 设直线PQ解析式y＝kx+b， ∴ 解得： ∴解析式y＝﹣x+6， ∵直线PQ交x轴于A， ∴A（6，0）， 设M（n，0）且△PMQ的面积为3 ∵S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM ∴3＝|6﹣n|×4﹣|6﹣n|×2， ∴n＝3或n＝9， ∴M坐标（3，0）或（9，0） 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，涉及到用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，本题的关键是根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 可得方程，求得M坐标． 19. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡的坡度为：． 20. 如图， 的三个顶点，C，D都在上，边与相交于点，边与相切． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图:连接并延长交于点F，连接，则， ∴； ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， 又∵中，， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、圆的内角四边形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理是解题的关键． （1）如图:连接并延长交于点F，连接，则；再结合切线的性质可得；由圆周角定理可得，最后运用等量代换即可解答； （2）由平行四边形的性质可得；由圆的内接四边形的性质可得，进而得到；由平行线的性质可得，可证，最后根据相似三角形的性质列比例式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即，解得: ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式与点坐标； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 【答案】（1）y， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据点A的坐标在反比例函数图象上求出反比例函数的表达式，设点，代入反比例函数表达式中，即可求出点B， （2）结合图象即可得出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集； （3）设点，则，即可得出，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ， 即， 又在反比例函数图象上， ，即， 反比例函数的表达式为：， 一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点， 设点， ， ， ， 或， ； 【小问2详解】 解：，即求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集， 由图象可知：当或时，； 【小问3详解】 解：由题意可知：设点， ， ， ， 当，即时， 的面积的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是考查反比例函数的综合题，一次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 22. 如图，中，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点E是中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，直角三角形的性质． （1）先根据题意得出，再由直角三角形的性质得出，由可得出，进而可得出； （2）根据可得出，故可得出，再由点E是的中点可知，故，根据得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）当点在线段上时，如图，求证：；小明同学是这样解答的：过点作，交于点，请你画出符合条件的图形，并帮助小明同学完成解答过程； （2）当点在的延长线上时，如图，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）当点在的延长线上时，如图，直接写出线段，，之间的数量关系（不必证明）． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，交于点， 由旋转得，， ， ， 即， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． （2） ，证明： 如图，过点作，交的延长线于点． 由旋转得，， ， ， 即， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）通过作交于，构造等腰直角三角形，再利用旋转的性质证明，从而将转化为，最后结合推导出线段关系． （2）作交的延长线于，构造等腰直角三角形，同理证明，将转化为，结合推导出线段关系． （3）作交的延长线于，构造等腰直角三角形，证明，将转化为，结合推导线段关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴， ∵绕点顺时针旋转得到 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴即． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握构造全等三角形的方法与等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $