精品解析：四川广元市旺苍县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

旺苍县2025年秋八年级期末考试数学试卷 说明：1．全卷满分 150分，考试时间 120 分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26 个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B 铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、单选题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分） 1. 源远流长的二十四节气是中华传统历法瑰宝，兼具自然韵律之美与人文底蕴之深．请用数学的眼光观察下列四幅作品，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 清代诗人袁枚的《苔》以“苔花如米小，也学牡丹开”歌颂生命力量．若苔花花粉粒直径约为米， 则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 分式的值为零，则x的值为（ ） A. 0或3 B. C. D. 3 6. 如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示， 在中， D、E、F分别为的中点， 且（阴影部分），则的面积等于（ ） A. B. C. D. 9. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往外的旺苍县中国红军城研学．部分师生骑自行车先行，30分钟后其余师生乘汽车出发，且同时到达，假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持不变，已知汽车速度是自行车的4倍，则自行车速度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（ ） ①D点在的平分线上；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题 （共120分） 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______. 12. 已知，，则代数式_________ 13. 若，则代数式的值等于______． 14. 如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P， F为焦点． 若， ， 则的度数为________． 15. 如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为__________________． 16. 如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分） 17. 计算： 18. 解分式方程： 19. 先化简， 再求值： 并从0，1，四个数中选一个合适的数代入求值． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点是网格线的交点． （1）是内部一点，求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中画出关于y轴对称的图形并写出点、、的坐标； （3）在y轴上找一点M，使的值最小．（不写画法，保留画图痕迹） 22. 如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． （1）求证：； （2）若，判断的形状， 并说明理由． 23. 新春将至，某土特产店为推广本土优质特产、满足市民特色年货采购，首次购进数量相同的干竹笋和干木耳．购进干竹笋花费2000元，购进干木耳花费2400元，且干木耳每斤进价比干竹笋多8元． （1）求干竹笋、干木耳每斤的进价各是多少元？ （2）两种商品售罄后，该店计划再次购进干竹笋、干木耳共100斤（两种商品数量均不得为0），由于市场行情波动，再次购入时，干竹笋单价每斤上调（）元，干木耳单价每斤下调（）元．最后发现两种商品的总费用与干竹笋的购进斤数无关，为固定值，求总费用． 24. 定义，如，已知，（n为常数）， （1）若，求x的值； （2）若将A整理成二次三项式配方后为求n的值； （3）若n满足且，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，点B的坐标满足，以为一边作等边（点A 在x轴正半轴上）． （1）求点B的坐标； （2）如图①，若点C是y轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边．当点D落在第二象限时， 连接，求证：； （3）如图②，若是边上的中线，点M是上一动点，点N是一动点，且的值最小，请在图②中画出点M、N的位置，并求出的最小值． 26. 学习八年级上册“第13章三角形”后，同学们开展了几何模型探究活动，请完成以下探究任务： （1）【模型探索】如图1，在中， D为的中点， 连接并延长至点G，使得，连接．判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． （2）【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． （3）【模型拓展】如图 3，在中，点D在边上，且， 连接并延长至点F，使得，G为中点，连接并延长至点H，使，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 旺苍县2025年秋八年级期末考试数学试卷 说明：1．全卷满分 150分，考试时间 120 分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26 个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B 铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、单选题（下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分） 1. 源远流长的二十四节气是中华传统历法瑰宝，兼具自然韵律之美与人文底蕴之深．请用数学的眼光观察下列四幅作品，其中图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 设第三边长为，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵已有两根长度和的木条， 设第三边长为， 根据题意得， ∴ ∴可选用的是． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 清代诗人袁枚的《苔》以“苔花如米小，也学牡丹开”歌颂生命力量．若苔花花粉粒直径约为米， 则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用科学记数法求解即可． 【详解】解∶， 故选：B． 5. 分式的值为零，则x的值为（ ） A. 0或3 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式为零的条件，熟记分式为零的条件是解题关键． 根据分式为零的条件（分子为零，分母不为零）列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 6. 如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 7. 下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是因式分解，符合题意； 选项B：等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 选项C：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意； 选项D：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意． 故选：A． 8. 如图所示， 在中， D、E、F分别为的中点， 且（阴影部分），则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到即可求解． 【详解】解：∵点为的中点，且（阴影部分）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：B． 9. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往外的旺苍县中国红军城研学．部分师生骑自行车先行，30分钟后其余师生乘汽车出发，且同时到达，假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持不变，已知汽车速度是自行车的4倍，则自行车速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设自行车速度为，则汽车速度为，根据同时到达列方程求解即可． 【详解】解：设自行车速度为，则汽车速度为， 根据题意得， 解得 ∴自行车速度为． 故选：C． 10. 如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（ ） ①D点在的平分线上；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是添加合适的辅助线得到全等三角形． ①连接，证明，可得为的角平分线，由此可判断①；根据已知信息无法判断与是否全等，由此无法判断②；添加辅助线，使得，证明，由此可得，，再证明，由此可得，再由边的关系即可判断③；由，可得，由此可判断④． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线，即D点在的平分线上，故①正确； 根据已知信息无法判断与是否全等， 若，则；若与不全等，则，故②不确定； 延长至点G，使，连接，如图， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴平分，即，故④正确； ∴结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题 （共120分） 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则代数式_________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，根据指数相等，求出a和b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 13. 若，则代数式的值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴原式， 故答案为：4． 14. 如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P， F为焦点． 若， ， 则的度数为________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 先根据对顶角相等和三角形的外角性质求得的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由平行线的性质可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先根据等腰三角形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，，利用三角形的外角性质和等角对等边证得，进而利用线段的和与差列方程求解即可． 【详解】解：在等腰三角形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验，当时，， ∴原方程的解为． 19. 先化简， 再求值： 并从0，1，四个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答的关键． 先利用分式的加减乘除混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选一个数代入求解即可． 【详解】解: 原式 ， ∵原式有意义，即，， ∴， ∴原式． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点是网格线的交点． （1）是内部一点，求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中画出关于y轴对称的图形并写出点、、的坐标； （3）在y轴上找一点M，使的值最小．（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】（1） （2）解∶画出关于y轴对称的图形， 如图所示，即为所求作三角形； 、、； （3）解∶因为关于y轴对称的图形， 所以，， 如图所示，连接与轴交于点M，点M即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据点关于x轴对称的坐标特征求解； （2）先画出关于y轴对称的图形，再写出点、、的坐标； （3）利用两点之间线段最短，结合轴对称的性质求解． 【小问1详解】 解∶∵是内部一点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 22. 如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． （1）求证：； （2）若，判断的形状， 并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点，即； （2） 解：为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵由（1）得，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再由三线合一即可证明； （2）先由直角三角形的性质得到，而，再由即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 新春将至，某土特产店为推广本土优质特产、满足市民特色年货采购，首次购进数量相同的干竹笋和干木耳．购进干竹笋花费2000元，购进干木耳花费2400元，且干木耳每斤进价比干竹笋多8元． （1）求干竹笋、干木耳每斤的进价各是多少元？ （2）两种商品售罄后，该店计划再次购进干竹笋、干木耳共100斤（两种商品数量均不得为0），由于市场行情波动，再次购入时，干竹笋单价每斤上调（）元，干木耳单价每斤下调（）元．最后发现两种商品的总费用与干竹笋的购进斤数无关，为固定值，求总费用． 【答案】（1）干竹笋进价每斤是40元，则干木耳进价每斤是48元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设干竹笋进价每斤是x元，则干木耳进价每斤是元，由题意列出分式方程求解，可得干竹笋进价，再求出干木耳进价； （2）设购入n斤干竹笋，总费用为w元．根据题意可得：，根据w的值与n无关，求得，进而求得总费用． 【小问1详解】 解：设干竹笋进价每斤是x元，则干木耳进价每斤是元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 当时，， 即：干竹笋进价每斤是40元，则干木耳进价每斤是48元． 【小问2详解】 解：设购入n斤干竹笋，总费用为w元． 根据题意可得： ， ∵w的值与n无关， ∴一次项系数为0， ∴， ∴， 将代入w的表达式， 得(元)， 答：总费用为元． 【点睛】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，整式加减中的无关型问题，分式方程的经济问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 24. 定义，如，已知，（n为常数）， （1）若，求x的值； （2）若将A整理成二次三项式配方后为求n的值； （3）若n满足且，求的值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出关于x的方程求解； （2）先根据新定义得出，再结合，得到关于n的方程求解； （3）先根据，求得n，再得出，结合，得到关于x的方程，再将待求式子变形后整体代入求值． 【小问1详解】 解∶根据定义得； ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得∶ ， ， ∵， ∴， 化简得：， 即， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，已知式子的值，求代数式的值，型多项式乘法，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 25. 在平面直角坐标系中，点B的坐标满足，以为一边作等边（点A 在x轴正半轴上）． （1）求点B的坐标； （2）如图①，若点C是y轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边．当点D落在第二象限时， 连接，求证：； （3）如图②，若是边上的中线，点M是上一动点，点N是一动点，且的值最小，请在图②中画出点M、N的位置，并求出的最小值． 【答案】（1）B的坐标为 （2） 证明: ∵和是等边三角形， ∴, , ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题等知识，熟练掌握等边三角形的性质，得到取最小值时的点M、N位置是解答的关键． （1）根据绝对值和平方数的非负性解答即可； （2）证明得到即可证得结论； （3）作于，交点M，作于N，此时的值最小，利用等边三角形的性质推导出，则和N关于对称, 此时，利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵B的坐标满足， ∴， ∴， ∴B的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，交于点M，作于N，此时的值最小， ∵是等边三角形，，， ∴，，平分， ∵，， ∴， ∴和N关于对称, 此时， 在中，， ，即的最小值为． 26. 学习八年级上册“第13章三角形”后，同学们开展了几何模型探究活动，请完成以下探究任务： （1）【模型探索】如图1，在中， D为的中点， 连接并延长至点G，使得，连接．判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． （2）【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． （3）【模型拓展】如图 3，在中，点D在边上，且， 连接并延长至点F，使得，G为中点，连接并延长至点H，使，连接．求证：． 【答案】（1） AB=CG，ABCG， 理由如下： ∵D为边的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∴， 综上，，； （2） 证明：延长至点 G，使，连接， 由（1）同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3） 证明：取中点E，连接，连接， ∵，G为中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又 ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明得到，，即可解答； （2）延长至点 G，使，连接，证明得到，，进而等量代换得到，根据等角对等边可得结论； （3）取中点E，连接，连接，依次证明，和，证得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $