第2章 第5讲 一元二次方程及其应用(3～6分)（课件PPT）-【中考通】2026年中考数学分层学案（河南专用）

中考通 数学 2026 封面版式 软件使用 本课件使用office软件制作，建议老师使用相应软件打开 编辑修改 本课件全文可单击进行编辑修改 便捷操作 快速核答案题号以及返回图标等都有超链接 点击即可跳转至相应页面 封面版式 第二章　方程(组)与不等式(组) 第5讲　一元二次方程及其应用(3～6分) 目录 知识梳理·查漏补缺 01 聚焦河南·感知中招 02 大目录，语文主要配色：黄+蓝 答案速核 知识梳理·查漏补缺 [1]　2 [2]　±－h [3]　 [4]　a [5]　b [6]　降次 [7]　两个不相等 [8]　两个相等 [9]　没有 [10]　 [11]　 [12]　(a－2x)(b－2x) [13]　(a－x)(b－x) 返回目录 教材基础练 [1]　2　10 [2]　(1)　x1＝5，x2＝.　 (2)　，.　 (3)　y1＝11，y2＝－9. 　 (4)　x1＝1，x2＝2. [3] (1) －2 －1 (2) k＜2 (3)　2 (4) 3(答案不唯一) [4]　－2 [5]　(35－2x)(20－x)＝600 聚焦河南·感知中招 [1]　A [2]　 [3]　A [4]　D [5]　A [6]　C [7]　略 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 （点击题号跳转到试题） （点击题号跳转到试题） 返回目录 知识点1　一元二次方程的概念及解法 1.概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数是① 的方程，叫做一元二次方程. 知识梳理·查漏补缺 2 返回目录 2.一元二次方程的解法 解法 适用情况 注意事项 直接开平方法 能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，则x＝±或±－n 开方后前面加“±”号 配方法 二次项系数化为1后，一次项系数为较小偶数，配方成(x＋h)2＝k(k≥0)的形式，则x＝② . (1)变形：先将二次项系数化为1； (2)移项：将常数项移到等号右边，即x2＋mx＝－n； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即＝－n＋； (4)直接开平方 ±－h 返回目录 解法 适用情况 注意事项 公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为③ (a≠0且b2－4ac≥0) (1)先把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0； (2)确定a，b，c时应注意其符号； (3)若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根 因式 分解法 等号的一边为0，另一边可以分解为两个一次因式的乘积，如(x－a)(x－b)＝0，则x1＝④ ，x2＝⑤ . 当等号两边含有相同因式时，如(2x＋1)(x－1)＝2(x－1)，直接约去公因式会导致丢根，应将其化为等号一边为0的形式再求解 解一元二次方程的基本思路是⑥ ，将二次方程转化为一次方程，还可以用图象法估算一元二次方程的近似根 a b 降次 返回目录 知识点2　一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程，根的判别式为，用“”表示，. (1)Δ＞0方程有⑦ 的实数根； (2)Δ＝0方程有⑧ 的实数根； (3)Δ＜0方程⑨ 实数根. 温馨提示　(1)计算判别式时，方程必须化为一般形式. (2)根的判别式有两个作用： ①不解方程就能直接判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况，可以确定某个未知数的值(或取值范围). 两个不相等 两个相等 没有 返回目录 知识点3　一元二次方程根与系数的关系(新课标调整为考查内容) 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝⑩ ，x1x2＝⑪ . 知识拓展　根与系数的关系的常见变形形式： (x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； 返回目录 知识点4　一元二次方程的应用 1.一般步骤：审→设→列→解→验→答. 2.实际问题常见类型 类型 数量间的相等关系 增长率 问题 增长率＝×100％； 若a为基础量，b为增长两次后的量，x为平均增长率， 则b＝a(1＋x)2 利润问题 单价每涨a元，少卖b件，若涨价x元，则少卖的件数为·b； 总利润＝总收入－总支出＝(售价－成本)×销售量 返回目录 类型 数量间的相等关系 面积问题 若矩形长为a、宽为b，设阴影部分的宽为x.    图1中，S空白＝⑫ .图2、图3中，S空白＝⑬ . 循环问题 球赛问题：单循环球赛总场数＝(n为参赛球队总数) 握手问题：握手总次数＝(n为参与握手的总人数) 互赠礼物问题：互赠礼物总份数＝n(n－1)(n为参与互赠礼物的总人数) (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) 返回目录 1.一元二次方程x2－4x－6＝0，经过配方可变形为(x－___)2＝____. 2.(北师九上P56 T2改编)请用适当的方法解下列方程. (1)7(x－3)2＝28. 教材基础练 1 2 3 4 5 解：(x－3)2＝4， ∴x－3＝2或x－3＝－2. ∴x1＝5，x2＝.　 (2)x2－1＝2x.　 解：， 则a＝1，b＝－2，c＝－1. ∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0， ∴x＝. ∴，. 2 10 返回目录 (3)　　　　 解：. . ∴y－1＝10或y－1＝－10. ∴y1＝11，y2＝－9. (4)x2－3x＋2＝0. 解：(x－1)(x－2)＝0. ∴x－1＝0或x－2＝0. ∴x1＝1，x2＝2. 1 2 3 4 5 返回目录 3.(华师九上P33试一试改编)已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0. (1)若该方程有一个根是3，则k的值为____，另一个根为____. (2)若该方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____. (3)若该方程有两个相等的实数根，则k的值为___. (4)若该方程没有实数根，则k的值可以是______________(写出一个即可). 4.(华师九上P36 T10改编)已知方程的两根分别为，则的值为____. 5.(华师九上P42习题1改编)如图，学校课外生物小组 的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理， 现要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种 植面积为600平方米.设小道的宽是x米，则可列方程 为_______________________. －2 －1 k＜2 2 3(答案不唯一) －2 (35－2x)(20－x)＝600 1 2 3 4 5 返回目录 命题点1　一元二次方程根的判别式 6年6考 1.(2025·河南第5题)一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根　　　 D.没有实数根 2.(2024·河南第13题)若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为______. 3.(2023·河南第7题)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是( 　) A.有两个不相等的实数根　　 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根　　　　 D.没有实数根 聚焦河南·感知中招 1 2 3 4 5 6 7 A A 返回目录 4.(2021·河南第7题)若关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是(　　) A.－1　　 B.0　　 C.1　　 D. 5.(2020·河南第7题)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 D A 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 命题点2　一元二次方程的应用 6年1考 6.(2020·河南第8题)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A.5 000(1＋2x)＝7 500　　 B.5 000×2(1＋x)＝7 500 C.5 000(1＋x)2＝7 500　　 D.5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 500 C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 拓展加练　　 7.泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售. (1)已知4月份销售泥塑500件，5，6月销量持续增加，6月份销售泥塑720件.求该泥塑作坊4月份到6月份销售泥塑数量的月平均增长率. 解：设4月份到6月份销售泥塑数量的月平均增长率为x. 由题意，得500(1＋x)2＝720. 整理，得(1＋x)2＝1.44. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(舍去). 答：4月份到6月份销售泥塑数量的月平均增长率为20％. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (2)已知泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件，若在此基础上每件泥塑售价每上涨1元，则月销售量将减少10件.为使月销售利润达到6 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 解：设每件泥塑的售价应定为m元. 由题意，得[400－10×(m－40)](m－30)＝6 000， 整理，得m2－110m＋3 000＝0， 解得m1＝50，m2＝60. ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴m＝50. 答：每件泥塑的售价应定为50元. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 (3)该泥塑作坊参加民间艺术交流会，每两家参会的作坊之间都要互赠一件泥塑作品作为纪念，所有参会作坊共互赠了182件作品，参加这次交流会的作坊有多少家？ 解：设参加这次交流会的作坊有y家. 由题意，得y(y－1)＝182，整理，得y2－y－182＝0， 解得y1＝14，y2＝ －13(舍去). 答：参加这次交流会的作坊有14家. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $