数学二模模拟卷01（天津专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题9分，共45分） 1[A]B][C][D] 5[AJ[B][C][D] 9[A][B][C]D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] A 弼 4[A]B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共30分） 10 11. 2 13 14 15 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步聚。 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) ò M D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题9分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（热点）函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B．设且，则 C．已知直线与平面、，若，，则. D．已知随机变量服从二项分布，若，则 6．（改编题）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 8．设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设，若复数是纯虚数，则 . 11．已知二项式中各项系数之和为，则 . 12．已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则 ． 13．（新情景）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 14．在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为 ，的最小值为 . 15．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 19．（15分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（16分）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 2．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（热点）函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易得的定义域为， 因为，所以， 则是奇函数，关于原点对称，故C，D错误， 令，解得，而当时，，故B错误. 故选：A 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对A，记，如图，当时，，错误；    对B，若，直线有可能平行，有可能异面，错误；    对C，过直线作平面与平面相交于直线，因为，所以，    又，所以，又，所以，正确； 对D，如下图，，当时，满足，此时两平面不平行，错误.    故选：C 5．下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B．设且，则 C．已知直线与平面、，若，，则. D．已知随机变量服从二项分布，若，则 【答案】C 【详解】选项A，数据：1， 2， 2， 3， 5， 8， 15， 20(共8个)， 计算位置， 向上取整为第5个数5，选项A错误. 选项B，，正态曲线关于对称， ，则， ，选项B错误. 选项C，由，在内作直线 因，故，又，所以. 选项C正确. 选项D，，则 解得. 选项D错误. 故选；C 6．（改编题）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将的图象向下平移个单位长度得到的图象， 再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方， 可得到的图象， 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数图象与直线有且仅有三个不同的交点. 故选：B 7．已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】D 【详解】对于，由图像可知，设函数的最小正周期为， 由图像可知，所以，则，则，故正确，不满足题意； 对于，因为， 所以可得, 又因，，所以函数， 令，即，则时，， 所以的图像关于点对称，故正确，不满足题意； 对于，的单调递减区间为， 则令，解之可得， 令，则为递减区间， 而，故正确，不满足题意； 对于，的图像向左平移个单位，根据平移法则， 平移后函数为， 可得，所以是奇函数，故错误，满足题意. 故选： 8．设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 9．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，, 故， 故，则. 故选：B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设，若复数是纯虚数，则 . 【答案】 【详解】复数, 因为复数是纯虚数，所以, 解得：, 当时，满足条件； 故答案为： 11．已知二项式中各项系数之和为，则 . 【答案】或 【详解】因为各项系数之和为，所以，解得或， 的展开式中含的项为，所以， 所以，当时，，当时，. 故答案为：或 12．已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则 ． 【答案】3 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3    13．（新情景）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 【答案】 / / 【详解】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件， 由题意知12人中有7男5女， 则. 先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件， 因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以， 又， 所以 . 故答案为：；. 14．在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为 ，的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知， 而， 所以， 由向量夹角公式可求出，因为所以可求得 又因，所以， 解之可得或（舍）； 以为原点，为轴建立坐标系，则可知点，， ，设点则， 所以， 又因，所以当时最小，最小值为.    故答案为： 15．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则恒成立， 令，则可化为， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时， 则，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得（负根舍去）， 代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足， 即，可得，解得. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)①；②存在， 【详解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）    ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）存在，点或. 【详解】（1）由题意，又，解得，椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线的方程为，， 消得，即， 所以，设，，恒成立， ，， ， 令，，则， 由在上单调递增，则，故， 所以； （ii），，由（i）， 直线的方程为，直线的方程为， 因为，，所以． 令 ∴， ∴，，点的横坐标为定值，设点的坐标， 因为，，， 解得，得出或，所以存在点或满足条件. 19．（15分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)(3) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 20．（16分）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3)(4) 【详解】（1）由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； （2）由（1）可知， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （3）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； （4）因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 4 7 8 9 C C B D D B 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.-1 11.12或-24 12.3 13. 310.375 3103 1 29 14.3 36 15.[-1,4] 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(14分) 【解析】(1)在ABC中，由√3 acosB=bsinA及正弦定理，得√3 sinAcosB=sinBsinA, 而sinA≠0，则tanB=√5，又0<B<π， 所以B=.(4分) 3 (2)①在ABC中，b=27, 由(1)及余弦定理得a2+c2-2 accosB=b2,即a2+c2-ac=28, 1 又SA4Bc=acsinB=3W5,即ac=12,而a<c, 所以a=2,c=6.(10分) ②由余弦定理得c0sC=+b-C_4+28-36.1。V万 2ab 2×2×2727-141 1/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而Ce0,,则sinc=-eosC=3V3_32 2√万14， si2C 2inCeoscC2in 14 14 sin(2C+B)=sin2CcosB+cos2CsinB-3x1134 7 .(14分) 142142 17.(15分) 【解析】(1) D 取PA中点N,:M为PD中点， :MNIIAD,且MN=AD=1, 又：BC=1,BC∥AD, .BCI/MN,且BC=MN, :四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN, :BNC平面PAB,CM平面PAB, CM∥平面PAB;(5分) (2) ZA A D ①：PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 则以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得A0,0,0),BV5,0,0,C51,0,D(0,2,0,P(0,0,1), 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷AB=(50,0,AP=(0,0,1),PD=(0,2,-1),CD=-51,0, 易知平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0), 设平面PCD的法向量为n2=（x,y,2), PD.n=2y-z=0 令x=1,则m,=山，5,25， CD·n2=-V3x+y=0 ..cos) n1·22 5 5 网m1++25可 4, :平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为V5 (10分) 4 ②存在点Q满足题意， 易知BD=-V5,2,0,AD=(0,2,0), 假设存在点Q满足题意， 设B0=1BD=-32,2元，0,0≤1≤1， Q5-52,2元，0，A0=5-5,2元，0， 设平面PAQ的法向量为n=(a,b,c, AP.n=c=0 则 40元=(V5-v3)a+2b=0'令a=2,则=(22，V52-1,0, AD. 25(2-川 221 所以点D到平面PAQ的距离d= V22+[(-] 7 解得天-分博器15分 BD 2 18.(15分) c 3 [a=2 【解析】(1)由题意{a2 又c2=a-公，解得b=1,椭圆C的标准方程为号+y2=1:(3分) 4 02+b2=V5 c=V3 x=my+l (2)(i)设直线BD的方程为x=y+1, x2 4 +y2=1’ 消x得(my+1)2+4y2-4=0,即m2y2+2my+1+4y2-4=0, 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以m2+4y2+2my-3=0,设B(x,y),D(x2,y2),△=16m2+48>0恒成立， 21m 当+y2= m2+4’hy=- m2+4’ 2x3xy-⅓ 3 4m2 -3 S.ABD 2 Vm2+4 m2+4)= 氵4m+124m+6.m+5,7分) m2+4 m2+4 6t6 令1：+3,125，则34oP1中 1 7-片饭米，0过 所以S.ABD∈ 3V3 0 (9分) 2 E D A O B (i)A(-2,0),A2,0)，由(i)B(x,),D(x2,2） 直线48的方程为y=本2+2引，直线4D的方程为y=产2-2引， X+2 因为片+为= m2+4’=- 21m 3 m+4所以m+为 令42+2刘2-2引 3 39 :+2=(x+2⅓(m+3到_2+%)+3奶+2为 2-2m,-)+2以 13=3,(13分) 2y+2为 x+2=3x-6,x=4,点0的横坐标为定值，设点Q的坐标(4,1)(t≠0)， 因为A(-2,0),E(0,1,QA·QE=（-6,-)(-4,1-t)=24-t+t2=30, 解得t2-t-6=0,得出t=3或1=-2，所以存在点Q(4,3)或Q(4,-2)满足条件.(15分) 19.(15分) 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)设等差数列an}的公差为d,己知a,=1, a2+ag=2a5=18,则a=9. 则a5=a1+4d=1+4d=9, 解得d=2,所以a。=1+2n-1)=2n-1 设等比数列bn}的公比为g,b=1,bb:=b=81,又bn∈N°，所以b=9. 因为b3=b92=q2=9, 解得q=3(q=-3舍去，因为b,∈N),所以b,=3.(5分) (2)由(1)知an=2n-1,an1=2n+1, a用，4 n2 则 又4-好-目】 -小骨4-- (10分) 3)由①D知0，=2m-，b=3,则9，%=27 135 Tn=C+C2+…+Cn=2+ 2 ①-②得： 2 1.2,2，,22n-1 +子，所以1，则中 3”21 因为对任意正整数m,不等式1-T,<久恒成立， 2” 即兰<会恒成立，等价干 sn+1 3 3”恒成立. 设+1 3 3)”,则dn1-dn= n+2n+1 n+2- n+1 1-n 3) 3 3 、+ 2 当n=1时，d2-d,=0,即d2=d1; 当n≥2时，dn+1-dn<0,即dn1<dn, 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 34 ,= 所以4的最大值为 3)2 3 2 所以>等 4 即实数入的取值范围是 30 (15分) 20.(16分) 【解析】)由到=r-1+ah1+国有：f八国=2x+x 则"0=a,又由直线3x-2y+1=0的斜率为》 3 2 根据题意可知： a=-1→a=-3:(4分) (2)由1)可知f=2x+,4-2+2r-4>-, 1+x1+x 令∫'(x)>0,得x>1,故函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 令∫'(x)<0,得-1<x<1,故函数f(x在区间(-1,1上单调递减， 综上，函数f(x)在区间1，+∞)上单调递增，在区间(-1,1上单调递减；(7分) (3)当a=2时，不等式可化为x2-1+2ln(1+x+x+2≤be*+lnb, 变形为x2+2x+1+2ln(1+x≤be+lnb+x台(x+1)2+ln(1+x)≤be+ln(be 同构函数8)=1+h1,求导得gd)=1+>0, 所以g)=1+ln1在(0，+o)上是增函数，而原不等式可化为g(x+1)）sgbe), 根据单调性可得：（x+≤be台b≥x+1,e-1,+)(9分 再构造对=x+1,则x=2x+e-x+e-产+1 er (e) 8,xe-1,+o 当x∈-1)时，=-+>0，则hy=x+在xe-1,)上单调递增， e 当xe,+)时，到=<0，则+在x∈化+上单调递减。 e 所以=h=+-,即满足不等式成立的b≥ el e 4 所以b的最小值为。；(11分) (4)因为f(x)存在两个不同的极值点x,2,x1<x2 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以由f(x=2x+,a2r+2x+a-0可得： 1+x x+1 a=4-a>03a<分5+6=-l6-号 1 因为>-1，而y=2:+2+a的对称轴是x=所以可得-1<名< 21 表据对称性可得另一个零点，<0，此时有=分03a>0, 做0ca 又由fx<m,可得m<f。 而f-子-1+an1+-1-x+2-1n1+=1-+2xn1+x） -1-x -1-x 令p=1-x42nlI+e（l》 则o)=-1+2n1+x+2L-=+2n1+=1-2+2n1+x, 1+x1+x x+1 (1-引10》即4.h0 则o=1-子+2n1+<0, x+1 即o=1-+2xa1+到在区间(-1司》 上单调递减， 13 2+ln2, 即/八-1-x+2xa1+>+n2. X> 所以实载m取维花围a■≤+h2（16分》) 717 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（热点）函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B．设且，则 C．已知直线与平面、，若，，则. D．已知随机变量服从二项分布，若，则 6．（改编题）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 8．设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设，若复数是纯虚数，则 . 11．已知二项式中各项系数之和为，则 . 12．已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则 ． 13．（新情景）某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 14．在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为 ，的最小值为 . 15．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 19．（15分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（16分）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $