2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期

2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义（北师大版） 💦课前预习★目标 ●结合生活实例，能准确识别同一平面内两条直线的相交和平行两种位置关系，明确平行线的定义； ●认识相交直线形成的对顶角和邻补角，能快速找出图形中的对顶角，掌握对顶角相等的性质； ●理解垂直是相交的特殊情况，熟记垂直的定义，能识别垂线、垂足，知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ●初步感知垂线段的相关特点，能结合简单图形进行基础的角的计算和位置关系判断，为课堂探究做好铺垫。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】对顶角 1. 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2. 性质：对顶角相等． 【知识点2】余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点3】余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等； 2.同角（等角）的补角相等． 【重点提醒】（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角的余角可以表示为（90°－），一个角的补角可以表示为（180°－） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°； （3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 【知识点4】垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【重点提醒】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O． （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 【重点提醒】（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 2.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 3.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【重点提醒】（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． ☘ 核心考点★精讲精练 题型1平面内两直线的位置关系 【例1】．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，逐一判断各选项的正确性，注意细节条件是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面， ∴A错误； B选项：∵点B可能不在线段上，如等腰三角形中，但B不是中点， ∴B错误； C选项：∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身， ∴C错误； D选项：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴D正确． 故选：D． 【变式1】．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 【变式2】．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【答案】，， 【分析】本题考查网格中平行线的识别，熟记平行线的特征是解决问题的关键． 根据网格中各个线段的特征求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由于是矩形的对角线，则图中也是矩形对角线的是， 即； 由于是正方形的对角线，图中正方形的对角线的是， 即； 由于是矩形的对角线，图中矩形对角线的是， 即； 综上所述，互相平行的线段有，，． 题型2立体图形中平行的棱 【例2】．下列说法错误的是（   ）． A．正方体的所有棱都相等 B．长方体的相对棱平行 C．棱柱的侧棱不一定平行 D．正四面体中没有平行的棱 【答案】C 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据几何体的棱的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．正方体的所有棱都相等，原说法正确，不符合题意； B．长方体的相对棱平行，原说法正确，不符合题意； C．棱柱的侧棱一定平行，原说法错误，符合题意； D．正四面体中没有平行的棱，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 【答案】 4 平行 【分析】本题考查长方体棱的位置关系，解题关键是明确长方体棱的分组及垂直、平行的定义． 根据长方体的性质，与地面垂直的棱是竖直棱，数量为4条，且这些棱都互相平行． 【详解】教室的形状为长方体，长方体共有12条棱，分为长、宽、高三组，每组各4条． 地面可看作长方体的一个底面，与地面垂直的棱是连接底面和顶面的4条高，这4条棱垂直于底面所在平面． 因为这4条棱的方向完全相同， 所以它们互相平行． 综上，与地面垂直的棱有4条，这些棱都互相平行． 故答案为：4，平行． 【变式2】. 如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2） 解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 题型3相交线 【例3】．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 【变式1】．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 【变式2】 ．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    题型4对顶角的定义 【例4】．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 【变式2】．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 题型5对顶角相等 【例5】．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】．如图，直线、相交于点，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是正确解答的关键．根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 题型6求一个角的余角 【例6】．如图，一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求余角，根据题意可知，结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】．如图，与互为余角，是的平分线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，先根据余角的定义求出，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为余角， ， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，点、、在同一直线上，，，平分． (1)的余角是多少度？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了余角的定义、角的和与差、角平分线的定义． (1)根据余角的定义和，求出的余角； (2)根据，平分，可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 的余角为； （2）解：，平分， ， 点、、在同一直线上， . 题型7求一个角的的补角 【例7】．若，则它的补角的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的补角． 补角定义为两角之和为，直接计算减去已知角即可． 【详解】解：∵， ∴它的补角的度数是． 故选：C． 【变式1】．如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【答案】 补 对顶 余 【分析】本题主要考查了补角，余角，对顶角，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵直线、相交于O，且于O， ∴，，， ∴①与互为补角，②与叫对顶角，③与互为余角， 故答案为：补；对顶；余． 【变式2】．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的补角． （1）由“3倍互余角”的定义，可得，由，可得，即可得； （2）由“3倍互余角”的定义，可得，由射线平分，可得，结合，可得，即可得； （3）由“3倍互余角”的定义，可得，由与互补，，按照与的位置关系进行分类讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的“3倍互余角”， ∴， ∵ 与互补， ∴， 当在的内部时，由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上方， ∴， 当在下方时，，， ∴， ∴，舍去． 故答案为：或． 题型8与余角、补角有关的计算 【例8】．若的补角是余角的4倍，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了补角和余角的定义，一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据补角和余角的定义，列出方程并求解． 【详解】解：设，则补角为，余角为， ∵补角是余角的4倍， ∴， 展开得， 移项得， 即， ∴， 故， 故选：A． 【变式1】．已知一个角的补角比它的余角的3倍少，则这个角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互余和互补，一元一次方程的应用， 先设这个角为度，再根据补角和余角的定义列出方程，然后解方程求出的值． 【详解】解：设这个角为 度，根据题意得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式2】．如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关计算，补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义． （1）根据角平分线的定义求出，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，由即可求解； （2）设，根据角平分线的定义得出，进而求出，再根据与互补，列出方程求解得到的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 题型9同（等）角的余（补）角相等的应用 【例9】．下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，根据平角的定义和补角的性质解答即可． 【详解】解：因为，（平角的定义）， 所以（补角的性质）， 故选：A． 【变式1】．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】本题主要考查了余角的性质，掌握同角或等角的余角相等是解题的关键． 根据三角板的性质得出，，再根据余角的性质即可解答． 【详解】解：根据三角板的性质可得：， ∵，， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：，同角的余角相等． 【变式2】．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数是多少？ (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若变小，如何变化？ 【答案】(1) (2)；还会相等 (3)变大 【分析】本题考查了余角，以及角的和差计算，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）可得，先求出，再根据即可求解； （2）根据即可得到； （3）根据，即可判断． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； （2）解：相等的角有：，； 因为， 所以； 如果，他们还会相等； （3）解：因为， 所以当越来越小，则越来越大． 题型10垂线的定义理解 【例10】．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由垂直的定义得，然后结合平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了对顶角的性质、垂直的定义、角的和差等知识．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型11画垂线 【例11】．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】．如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 题型12垂线段最短 【例12】．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：，，， 到的距离为， 点是边上的动点， 则的长不可能是． 故选A． 【变式1】．如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 【变式2】．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 题型13点到直线的距离 【例13】．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 【答案】 【分析】根据垂线段的定义即可得出答案． 本题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段的性质． 【详解】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即为线段的长． 故答案为：． 【变式2】．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的做法以及点到直线的距离． （1）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点E，由此可画． （2）过点P作与直线所成角为的直线，并记作与的交点为点F，由此可画． （3）根据点到直线距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：过点画出的垂线，交直线于点，如图， （2）解：过点画，垂足为点，如图， （3）解：因为， 所以， 所以点到直线的距离是线段的长, 故答案为：． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 2．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 3．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 4．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 5．已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求余角，根据余角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的余角的度数是， 故选：A． 6．若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查补角的定义：“和为的两个角互为补角”，角度制．根据“和为的两个角互为补角”，用即可得． 【详解】解：∵的补角是， ∴． 故选：D． 7．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线、角的互补以及角的和差关系，通过角平分线计算角度，列举互补角对数，利用等式性质推导角相等以及角的和差关系逐项分析即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即． 故①正确． ，，，， ，， ， ． ∴图中互补的角共有9对． 故②错误． ，， ． ． 故③正确． ，， ， ． 故④正确． 故选：C． 8．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 9．如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键． 【详解】解：∵点为直线外一点，且于点， ∴， ∴线段长不可能是2， 故选A． 10．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 二、填空题 11．如图，从正方形中写出互相平行的边： 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的识别，正方形对边平行，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12．四棱柱的侧棱都相互 ，共有 条侧棱． 【答案】 平行 4 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据四棱柱侧棱的性质，即可求解． 【详解】解：四棱柱共有条侧棱，且侧棱互相平行． 故答案为：平行，． 13．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 14．在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 【答案】20 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【详解】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 15．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 16．如果一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角，一元一次方程的应用，设这个角为，由题意补角是余角的6倍，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 17．如果，，，则 ，（填、或）理由是 ． 【答案】 等角的余角相等 【分析】本题考查了等角的余角相等． 根据已知条件，通过等量代换得出和都等于减去，因此它们相等． 【详解】解：因为， 所以； 因为且， 所以； 因此， 理由是等角的余角相等． 故答案为：，等角的余角相等． 18．如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 19．如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 20．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，若，，，则点M到直线l的距离可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点到直线的距离可能是， 故选：．（答案不唯一） 三、解答题 21．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 22．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 23．如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 24．已知点A，O，B在同一直线上，，且射线平分． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，若． ①求的大小； ②直接写出图2中与互余的角：_______；直接写出图2中与互补的角：_______． 【答案】(1)， (2)①，②；， 【分析】（1）先根据题意得出，再根据角平分线的定义得出，最后再根据角的和差关系即可得出． （2）根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一直线上，，， ∴，， ∴平分， ∴， ∴． （2）解：①设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即， 则， ∴， ②由①可知：，， ∴， ∴与互余的角为：． ∵点A，O，B在同一直线上， ∴， ∵， ∴与互补的角为：，． 【点睛】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，余角和补角的定义以及一元一次方程的应用等知识．掌握这些知识是解题的关键． 25．如图，是直线上一点，与互补，，分别是，的平分线． (1)根据题意，补全的探究过程括号内填相应的依据： 因为与互补， 所以_____． 又因为______， 所以______． (2)若，求的度数． 【答案】(1)180；；同角的补角相等 (2) 【分析】本题主要考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， （同角的补角相等）； （2）解：是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 26．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 27．（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 【答案】（1）①见详解；②；③，垂线段最短；（2）①见详解；②见详解 【分析】（1）①借助网格，根据垂线的定义画图即可． ②根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． ③根据垂线段最短可得答案． （2）①要画出射线、直线、线段，需明确射线、直线、线段的定义，射线是由一点出发向一端无限延伸，直线是向两端无限延伸，线段有两个端点． ②要作出线段，需先作出的长度，再减去的长度． 【详解】解：（1）①如图，线段即为所求． ②点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． ③线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． （2）①射线：以为端点，经过作射线． 直线：经过、两点作直线． 线段：连接、两点． ②如图所示，即为所求， 【点睛】本题主要考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，射线、直线、线段的定义以及线段的和差作图，熟练掌握这些基本概念和作图方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义（北师大版） 💦课前预习★目标 ●结合生活实例，能准确识别同一平面内两条直线的相交和平行两种位置关系，明确平行线的定义； ●认识相交直线形成的对顶角和邻补角，能快速找出图形中的对顶角，掌握对顶角相等的性质； ●理解垂直是相交的特殊情况，熟记垂直的定义，能识别垂线、垂足，知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ●初步感知垂线段的相关特点，能结合简单图形进行基础的角的计算和位置关系判断，为课堂探究做好铺垫。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】对顶角 1. 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． 2. 性质：对顶角相等． 【知识点2】余角和补角的定义 1.余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点3】余角和补角的性质 1.同角（等角）的余角相等； 2.同角（等角）的补角相等． 【重点提醒】（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关； （2）一般地，锐角的余角可以表示为（90°－），一个角的补角可以表示为（180°－） ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°； （3）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 【知识点4】垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【重点提醒】（1）记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O． （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 【重点提醒】（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 2.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 3.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【重点提醒】（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． ☘ 核心考点★精讲精练 题型1平面内两直线的位置关系 【例1】．下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【变式2】．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 题型2立体图形中平行的棱 【例2】．下列说法错误的是（   ）． A．正方体的所有棱都相等 B．长方体的相对棱平行 C．棱柱的侧棱不一定平行 D．正四面体中没有平行的棱 【变式1】．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 【变式2】. 如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 题型3相交线 【例3】．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【变式1】．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【变式2】 ．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 题型4对顶角的定义 【例4】．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【变式2】．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 题型5对顶角相等 【例5】．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直线、相交于点，，．则 ． 【变式2】．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 题型6求一个角的余角 【例6】．如图，一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，与互为余角，是的平分线，，则 ． 【变式2】．如图，点、、在同一直线上，，，平分． (1)的余角是多少度？ (2)求的度数． 题型7求一个角的的补角 【例7】．若，则它的补角的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【变式2】．新定义：若，则称是的“3倍互余角”．例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． (1)如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； (2)如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； (3)如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 题型8与余角、补角有关的计算 【例8】．若的补角是余角的4倍，则是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知一个角的补角比它的余角的3倍少，则这个角等于 ． 【变式2】．如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 题型9同（等）角的余（补）角相等的应用 【例9】．下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【变式1】．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上， ，理由是 ． 【变式2】．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数是多少？ (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若变小，如何变化？ 题型10垂线的定义理解 【例10】．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【变式2】．如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 题型11画垂线 【例11】．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【变式2】．如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 题型12垂线段最短 【例12】．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【变式1】．如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【变式2】．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 题型13点到直线的距离 【例13】．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【变式1】．在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 【变式2】．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点． (1)过点画出的垂线，交直线于点； (2)过点画，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段___________的长． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 2．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 3．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 4．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 9．如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 10．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，从正方形中写出互相平行的边： 12．四棱柱的侧棱都相互 ，共有 条侧棱． 13．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    14．在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 15．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 16．如果一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为 ． 17．如果，，，则 ，（填、或）理由是 ． 18．如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 19．如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 20．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，若，，，则点M到直线l的距离可能是 ．（写出一个即可） 三、解答题 21．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 22．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 23．如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 24．已知点A，O，B在同一直线上，，且射线平分． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，若． ①求的大小； ②直接写出图2中与互余的角：_______；直接写出图2中与互补的角：_______． 25．如图，是直线上一点，与互补，，分别是，的平分线． (1)根据题意，补全的探究过程括号内填相应的依据： 因为与互补， 所以_____． 又因为______， 所以______． (2)若，求的度数． 26．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 27．（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 学科网（北京）股份有限公司 $