19.2 平行四边形（题型专练，9基础题型+5提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

19.2 平行四边形 题型一 利用平行四边形的性质求线段的长 1．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 2．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．如图，在中，，，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧交于、两点，过点、两点画直线，交于点，交于点，交于点，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质．连接，作交延长线于点，求得，得到，，由作图知是线段的垂直平分线，推出，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接，作交延长线于点，    ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由作图知是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理和勾股定理，求解OB的长度； 本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ，， ． ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 2．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解即可． 【详解】解：∵在中，与是邻角， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 故选：A． 3．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在四边形中，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型三 与平行四边形的性质有关的周长的计算 1．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 2．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 3．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 题型四 平行四边形的性质及证明 1．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 3．已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ； ； ， 平分； 正确的序号有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可求出，即可判断①；证明，即可判断②；根据三角形面积公式及平行四边形面积公式即可判断③；证明是的中位线，进而证明，即可证明，求出，易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，，即可判断⑤． 【详解】解：过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 平分（三线合一），故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五 添加条件使四边形成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 2．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 3．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 4．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件 ，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【分析】由条件可得，然后根据平行四边形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 题型六 数一数图形中的平行四边形的个数 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 2．如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， 又∵EG∥AB，FH∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：□ ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个. 故选D． 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 4．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 5．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6．如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个． 【答案】4 【详解】如图： 即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH， 故答案为4. 题型七 证明四边形是平行四边形 1．如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断． 【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合； ，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合； ，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合； ，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合， 故选：D． 2．下面给出四边形中，、、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对角相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 3．如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是 ，理由是 ． 【答案】 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，特别是对角线互相平分的四边形是平行四边形这一性质．通过给定的条件，判断四边形是平行四边形． 【详解】解： ， 四边形是平行四边形，理由是：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为∶平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：由作图方法可知，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 5．如图，在四边形中，，四边形是平行四边形吗？如果是，请说明理由，并且用文字语言叙述你的发现． 【答案】是平行四边形；理由见详解；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴，，即， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 6．如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且ABCD．求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明BE∥CF，证明△AEB≌△DFC，可得BE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°， ∴BE∥CF， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（ASA）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BECF是平行四边形． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 题型八 利用全等三角形拼平行四边形 1．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 3．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 【答案】3 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼接即可得． 【详解】解：如图，可拼成如下的三种平行四边形： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 4．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 题型九 与三角形中位线有关的计算 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2．如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中位线的性质求解． 【详解】解：连结， ∵，分别是，的中点，， ∴， 即，两点之间的距离为， 故选：B． 3．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 证明是的中位线，进而作答即可． 【详解】分别是的中点， 是的中位线， ． 故选B． 4．如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理可求，即可求解． 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，E分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D 5．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 6．已知一个直角三角形的两条直角边和分别为6、8．点点分别为和的中点，则 ，斜边的高线 ．    【答案】 5 4.8 【分析】由勾股定理可求出，根据中位线定理即可求出；根据即可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵点点分别为和的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理、中位线的性质定理．掌握中位线的性质是解题关键． 题型一 与平行四边形性质有关的面积计算 1．如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中阴影部分的面积是平行四边形面积的一半， ∴这个平行四边形的面积是． 故选：B． 2．如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上， ，分别交于点P、Q，过点P作 ，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 故选：B． 3．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，再由点是的中点得出，从而得出，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比为， 故选：A． 4．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：由作图得垂直平分， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴的面积． 故答案为：30． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，直线经过点．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 6．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质；，有一公共边，证明，可得与的高与相等，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过、分别作、， 四边形是平行四边形， ， 又∵ ∴， ∴与的高与相等，即， ， ． 故答案为：． 题型二 与平行四边形有关的折叠问题 1．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，点、分别在、上，将沿直线折叠，使得点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握平行四边形的性质与三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由折叠可得，进而根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由折叠可得， ∴． 故选：C 4．如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则 ． 【答案】/123度 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 根据折叠的性质可知， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 题型三 规律类问题 1．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 2．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 3．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 4．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，…如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是中位线定理的应用，图形类规律探索，解题关键是熟练掌握中位线定理． 根据中位线定理推出的周长为，的周长为，根据此规律即可得解． 【详解】解：依题得：、、是的中位线， ，，， ， 的周长为， 的周长为， 同理，，，， 的周长为， 根据此规律得的周长为． 故选：． 5．如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线定理，两平行线间的距离，图形类规律探究等知识，解答此题的关键是求出剩余部分的面积为 ． 先根据三角形中位线的性质和两平行线间的距离相等求出第1个图形中，然后总结规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D，E，F分别是中点， ∴，， ∴， 同理可求，， ∴第1个图中，剩余图形的面积为， 第2个图中，剩余图形的面积为 第3个图中，剩余图形的面积为 第n个图中，剩余图形的面积为 第6个图中，剩余图形的面积为． 故选：C． 6．如图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，得，再分别取三边的中点，，得，这样依次下去…，经过第2021次操作后得，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半，是解题的关键．先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 为等边三角形， ， ， 点，分别是、的中点， 是的中位线， ， 同理可得：…… 则 一条边上的高为：， ， 故答案为：． 题型四 平面直角坐标系与平行四边形 1．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 2．如图，的顶点坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，再结合，则，又因为，所以顶点D的坐标是，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴结合图形，得点的横坐标为， 顶点D的坐标是， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，从而得到点D的纵坐标为2，点D的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，点D的纵坐标为2， ∴点D的横坐标为， ∴点D的坐标为． 故选：A 4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，，顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．利用四边形是平行四边形，得出，，则轴，再得出，根据点A的坐标为，可求出，，然后利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵边在y轴上， ∴轴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴点B的坐标为，即． 故选：A． 6．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，，故可看作将平移到，即到，到． ，， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点． ， ． 故选． 题型五 平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形中，，，．点自点向点以的速度运动，到点即停止；点自点向点以的速度运动，到点即停止，直线将四边形分成两个新四边形若当点、同时出发后，其中一个新四边形为平行四边形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质的应用，能正确运用平行四边形的性质得出方程是解此题的关键，用了分类思想和方程思想，难度适中． 设当，同时出发，秒后其中一个四边形为平行四边形，则，，，，分为两种情况：当是平行四边形时，根据得出方程，求出方程的解即可；当是平行四边形时，根据得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设当，同时出发，秒后其中一个四边形为平行四边形， 则，，，， 当是平行四边形时， ， 即， 解得：； 当是平行四边形时， ， 即， 解得：； 即当，同时出发，秒或秒后其中一个四边形为平行四边形． 故答案为：或． 2．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 3．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 4．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 5．如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 后四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，根据平行四边形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 解得， ∴后四边形是平行四边形． 故答案为：． 6．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】解：当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 1．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 2．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可求，过点作于，可证，由直角三角形的性质可求，，则，可证，已知，则题目可解． 即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 4．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 5．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2 平行四边形 题型一 利用平行四边形的性质求线段的长 1．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在中，，，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧交于、两点，过点、两点画直线，交于点，交于点，交于点，则的长为 ．    4．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 4．如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 题型三 与平行四边形的性质有关的周长的计算 1．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 2．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 3．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型四 平行四边形的性质及证明 1．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ； ； ， 平分； 正确的序号有 ． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 5．如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 题型五 添加条件使四边形成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 4．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件 ，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 题型六 数一数图形中的平行四边形的个数 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 5．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    6．如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个． 题型七 证明四边形是平行四边形 1．如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下面给出四边形中，、、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是 ，理由是 ． 4．在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 5．如图，在四边形中，，四边形是平行四边形吗？如果是，请说明理由，并且用文字语言叙述你的发现． 6．如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且ABCD．求证：四边形BECF是平行四边形． 题型八 利用全等三角形拼平行四边形 1．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 4．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 题型九 与三角形中位线有关的计算 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 6．已知一个直角三角形的两条直角边和分别为6、8．点点分别为和的中点，则 ，斜边的高线 ．    题型一 与平行四边形性质有关的面积计算 1．如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上， ，分别交于点P、Q，过点P作 ，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 3．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，直线经过点．若，则 ． 6．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 题型二 与平行四边形有关的折叠问题 1．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 3．如图，在中，点、分别在、上，将沿直线折叠，使得点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则 ． 题型三 规律类问题 1．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 3．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 4．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，…如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，得，再分别取三边的中点，，得，这样依次下去…，经过第2021次操作后得，则的面积为 ． 题型四 平面直角坐标系与平行四边形 1．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，，顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型五 平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形中，，，．点自点向点以的速度运动，到点即停止；点自点向点以的速度运动，到点即停止，直线将四边形分成两个新四边形若当点、同时出发后，其中一个新四边形为平行四边形，则的值为 ． 2．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 3．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 4．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 5．如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 后四边形是平行四边形． 6．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 1．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 4．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 5．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.2平行四边形（答案版) A 基础达标题 题型一利用平行四边形的性质求线段的长 1.B 2.B 3. 号/0.625 4.【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， OB=OD,CD=AB=4,BC=AD=6. 又：0B=0E, ·OD=OE,∠OBE=∠OEB, ·∠OED=∠ODE· :∠OBE+∠0EB+∠OED+∠ODE=180°， .2∠0EB+2∠0ED=180°， ∠0EB十∠0ED=90°， ·DE⊥BC. :∠EDC=30°， CE=CD=专×4=2，DE=VDC2-CE2=25, ·BE=BC-CE=6-2=4, :BD=VBE2+DE2=V16+12=2W7, 0B=BD=支×25=万 题型二利用平行四边形的性质求角度 1.B2.A.3.620. 4.【详解】解：：AE⊥BC,AF⊥CD, ∴.∠AEC=∠AFC=90o, 在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，且∠EAF=56°， .∠C=360°-90°-90°-56°=124°， :四边形ABCD是平行四边形， 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠B+∠C=180°， .∠B=180°-∠C=180°-124°=56°. 题型三与平行四边形的性质有关的周长的计算 1.D. 2.C. 3.D 题型四平行四边形的性质及证明 1.D. 2.C 3.①②③④⑤ 4.【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABIICD, ∠BAE=∠DCF 在△BAE和△DCF中， AB=CD ∠BAE=∠DCF AE-CF :△BAE≌△DCF(SAS), ∠ABE=∠CDF 5.【详解】证明：~四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=C0,ADIBC, ∴∠EA0=∠FC0, 在△A0E和△C0F中， I∠EAO=∠FCO A0=C0 ∠AOE=∠C0F △AOE≌△COF(ASA), ∴0E=0F 题型五添加条件使四边形成为平行四边形 1.A. 2.B3.AB=CD(答案不唯一)·4，AD=BC(答案不唯一). 题型六数一数图形中的平行四边形的个数 1.C. 2.D. 3.A. 4.45.3. 6.4. 题型七证明四边形是平行四边形 1.D.2.D.3.平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下， :∠A=∠C,∠B=∠D, ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即2∠A+2∠B=360°， ∴∠A+∠B=180°， .ADI BC, 同理，∠A十∠D=180°， .AB CD, :四边形ABCD是平行四边形， :两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6.【详解】证明：：BELAD,CFLAD, ∴.∠AEB=∠BEF=∠CFE=∠CFD=90°， .BECF, :AB‖CD, ∠A=∠D, 在△AEB和△DFC中， I∠AEB=∠DFC AE=DF ∠A=∠D :△AEB≌△DFC(ASA), .BE=CF, BECF, .四边形BECF是平行四边形， 题型八利用全等三角形拼平行四边形 1.C. 2.C. 3.3. 4.3. 题型九与三角形中位线有关的计算 1.C.2.B.3.B. 4.D 5.5. 6.5,4.8 B 能力提升题 题型一与平行四边形性质有关的面积计算 1.B.2.B.3.A.4.30.5.3.6.S1=S2 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二与平行四边形有关的折叠问题 1.B.2.A.3.C4.123 题型三规律类问题 1.A. 2.C.3.B.4.A.5.C.6. 20a2. 题型四平面直角坐标系与平行四边形 1.B.2.B.3.A4.A.5.A.6.A 题型五平行四边形中的动点问题 1.4或5.2.2或号.3.4或号.4.2或6.5.：号 6.【详解】解：当点Q在AE的左侧时，设运动时间为t(s), 根据题意，得AP=tcm,DQ=2tcm, DE=3cm, .QE=(3-2t)cm, ABI CD, .AP Il QE, 故当AP=QE时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， t=3-2t 解得t=1(s). 当点Q在AE的右侧时，设运动时间为t(S), 根据题意，得AP=tcm,DQ=2tcm, DE=3cm, .QE=(2t-3)cm, ABI CD, .APIl QE, 故当AP=QE时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， t=2t-3 解得t=3(s). 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为1或3. 拓展培优题 4/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.B2.D.3.34.2 5.【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， ·OA=OC,AD‖BC, ·∠PA0=∠QC0 在△AP0和△CQ0中： I∠PA0=∠QC0 0A=0C ∠A0P=∠C0Q ·△AP0≌△CQO(ASA), :AP=CQ. 由题意得AP=t, :CQ t. :BC=5, :BQ=5-t. (2)解：：AP‖BQ, :当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=5-t, 解得t=号， 故当四边形ABQP是平行四边形时，t的值为号 (3)解：如图，过点O作EF垂直平分AP分别交AD,BC于点E,F. :AB=3,BC=5, AC=BC2-AB2=4. :A0=C0=克AC=2. :S△4Bc=专AB·AC=专BCEF, EF=e=号， :易得0E=EF= :OE是AP的垂直平分线， 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE=AP=青t,∠AE0=90°. 由勾股定理，得AB2+0E2=A02, 即()+()2=22， t=号（负值已舍去）. 6/6