精品解析：山东临沂市兰陵县2025-2026学年上学期期末质量调研（一）九年级数学试卷

2025—2026学年度上学期质量调研 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当方程为一元一次方程时，可以得到；当方程为一元二次方程时，，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围． 【详解】解：当方程为一元一次方程时，，此时方程有实数根； 当方程为一元二次方程时，，并且， 即， 解得， ∴且， 综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是． 故选：A 3. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 4. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 5. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ，， ． 故选：A． 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 7. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，    由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（ ） A. 或2 B. 1或 C. 或1 D. 2或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 9. 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，点O是的对角线的交点，．的平分线交于点E，，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，再求得，即，即可得到，由此可判断①； 根据，，可得，进而得出平分，由此可判断②； 依据中，，即可得到，由此可判断③； 先证明是的中位线，从而可得，，再利用三角函数得到，从而可求得，由此可判断④； 由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得； 证明，可求得，，从而可得，，即可得到，由此可判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 又， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 故②正确； 中，， ∴， 而， ∴， 故③错误； ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ∴， 即是中点， 又为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故④正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质求解，与三角形中位线有关的求解问题，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 12. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 13. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，偶次幂、绝对值的非负性，利用非负数的性质，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求． 【详解】解：∵ ，，且它们的和为0， ∴ ，， 即 ，， ∵ 均为锐角， ∴ ， ∴ ． 14. 如图，四边形是正方形，为上一点，将△绕点顺时针旋转至△，连接，于点，交于点，若，，则的长为___． 【答案】2.4 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，，再根据△中，，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 四边形是正方形， ，， 由旋转可得，， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设，则，，， ， 在△中，， ， 解得； ； 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和特殊三角函数值的计算等知识点，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程及熟练掌握特殊三角函数值的运算． （1）利用因式分解法求解即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，； （2） ． 17. 近日，《疯狂动物城2》在全国各影院上映，某影院每天运营成本为600元，当每张电影票40元时，平均每天可售出电影票100张，据测算，每张电影票的价格每上涨1元，那么每天售出的电影票减少2张，设该影院每天售出的电影票数量张，售价为元/张（且为整数），（利润=票房收入-运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） 售价定为45元时，每天获利最大，最大利润是3450元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据当每张电影票40元时，平均每天可售出电影票100张，据测算，每张电影票的价格每上涨1元，那么每天售出的电影票减少2张，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式；再把函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 【小问2详解】 由题意可得，， ， ，且是整数， 当时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为45元时，每天获利最大，最大利润是元． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若绕着点A顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______． （2）若和关于原点O中心对称，画出；点C的对应点的坐标是______． （3）若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标_______． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3），， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据平行四边形的判定确定点P的位置，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可得，点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 19. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． （1）连接，由直径可得，从而得到，再利用圆周角定理，得到，由平行线的性质得出，即可证明结论； （2）由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质，得到，再结合三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ，即， 又是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：是的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 20. 【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干根长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 不同长度吸管吹出声音的频率 长度 振动频率 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越______（填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率与吸管长度之间的关系可以近似用______函数模型反映，并直接写出该函数表达式； 【实际应用】 （3）表2是“调音符与频率对照表”． 音符 不同音区的频率 低音区 中音区 高音区 请根据表2，试判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音？若能，请求出对应吸管的长度；若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）反比例；；（3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； （2）根据表1中的数据描点、连线可得图象，从图象可判断振动频率与吸管长度之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，根据表1中的数据即可求得到函数解析式． （3）由题可得，低音区的音频率为，即，将代入，可得吸管的长度． 【详解】解：（1）吸管越短，振动频率越高， 故答案为：高； （2）根据表1中的数据在图2中描点、连线，函数图象，如图所示： 从振动频率与吸管长度之间的关系可以近似用反比例函数模型反映， ，，，，，， ， 该函数表达式为； （3）不能吹出低音区的音，理由如下： 由题可得，低音区的音频率为， ， 即低音区的音对应吸管长度为，而制作材料吸管长度为， 材料长度不足，不能吹出． 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）1370m （2）m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【小问1详解】 由题意知，， ， 由材料得，，又m， （m）， 答：码头，之间的距离约为1370m； 【小问2详解】 如图，过点作于点，则， 在中，， （m）， ， （m）， 在中，， （m）， m． 答：码头，之间的距离为m． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． ()分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得点的坐标为，点的坐标为，再分当时和 当时，两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：； 【小问2详解】 解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：①当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得， ∴， 把代入直线中， 可得， ∴， ∴的长为； ②由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ①当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大． 23. 在中，，点M，N分别为边的中点，连接． 初步尝试： （1）如图1，与的数量关系是 　，与的位置关系是　　　． 特例研讨： （2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接． ①求的度数； ②求的长． 深入探究： （3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①②（3）或 【解析】 【分析】（1），点M，N分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：①连接，证明是等边三角形，是等边三角形，得出，即可求出结论； ②在中，求得，由①知在中，利用三角函数求出即可； （3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时，设，则，得出，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当F在上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 【详解】解：（1）∵，点M，N分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，； （2）特例研讨：①如图所示，连接， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到， ∴；， ∵点A，E，F在同一直线上， ∴， 在中，M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即旋转角， ∴，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； ②如图所示， ∵ ，， ∴， 在中，， ， 由①知在中，， ∴， ∴； （3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在上时， ∵， ∴，设，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转α，得到， ∴， ∴， ∴， ∵点C，E，F在同一直线上， ∴， ∴， ∴A，B，E，C在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当F在上时， ∵， ∴A，B，E，C在同一个圆上，设，则， 将绕点B顺时针旋转α，得到， ∴， ∴. 设，则，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期质量调研 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（ ） A. 或2 B. 1或 C. 或1 D. 2或1 9. 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点O是的对角线的交点，．的平分线交于点E，，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 12. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 13. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 14. 如图，四边形是正方形，为上一点，将△绕点顺时针旋转至△，连接，于点，交于点，若，，则的长为___． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 近日，《疯狂动物城2》在全国各影院上映，某影院每天运营成本为600元，当每张电影票40元时，平均每天可售出电影票100张，据测算，每张电影票的价格每上涨1元，那么每天售出的电影票减少2张，设该影院每天售出的电影票数量张，售价为元/张（且为整数），（利润=票房收入-运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若绕着点A顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______． （2）若和关于原点O中心对称，画出；点C的对应点的坐标是______． （3）若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标_______． 19. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干根长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 不同长度吸管吹出声音的频率 长度 振动频率 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越______（填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率与吸管长度之间的关系可以近似用______函数模型反映，并直接写出该函数表达式； 【实际应用】 （3）表2是“调音符与频率对照表”． 音符 不同音区的频率 低音区 中音区 高音区 请根据表2，试判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音？若能，请求出对应吸管的长度；若不能，请说明理由．（精确到） 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 23. 在中，，点M，N分别为边的中点，连接． 初步尝试： （1）如图1，与的数量关系是 　，与的位置关系是　　　． 特例研讨： （2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接． ①求的度数； ②求的长． 深入探究： （3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $