精品解析：河南平顶山市2025～2026学年第一学期期末九年级数学试卷

2025~2026学年第一学期期末试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题关键． 将方程化为标准形式 ，即可识别一次项系数． 【详解】解：方程 移项，得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 2. 蒙古包可以近似的看成如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解． 【详解】解：从上面看这个几何体，可得选项D的图形． 故选：D． 3. 若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（ ） A. 图像在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 函数值随着的增大而增大 D. 图象关于原点中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理是解题关键． 根据特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A：三条边相等的四边形不一定是菱形，例如第四边不等时，可能是其他四边形，故错误； B：一组邻边互相垂直的平行四边形有一个角为直角，满足矩形的判定条件，故正确； C：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，故错误； D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是正方形（还需对角线相等），故错误； 故选：B． 5. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：方程中，，，， ， 方程没有实数根． 故选：A． 6. 如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 7. 下表是某一项实验中结果出现的频率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在一次实验中结果出现的概率为（结果保留小数点后一位）（ ） 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，掌握频率估计概率的原理是解题关键． 根据频率估计概率的原理，当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近，观察表中频率值随着试验次数增加，频率的趋近情况即可． 【详解】解：∵ 试验次数较大时，频率稳定于概率， 由表可知，随着试验次数变大，频率稳定在， 故选：C． 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为尺（注：1丈=10尺，1尺=10寸），可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，理解题意找到线段关系是解题关键． 根据勾股定理，门宽和高为直角边，对角线为斜边，列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得门宽为尺，高比宽多6尺8寸（即6.8尺）， ∴高为尺， ∵对角线长1丈（即10尺）， ∴由勾股定理，得， 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可． 【详解】由抛物线图像可知， 所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限． 故选D 10. 如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，．将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与旋转变化的规律探索，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作轴于点E，连接，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D的坐标，发现规律，进而求出第2026次旋转结束时，点D的坐标． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点D的坐标为； 则第2次旋转结束时，点D的坐标为； 则第3次旋转结束时，点D的坐标为； 则第4次旋转结束时，点D的坐标为； …， 发现规律：旋转4次一个循环， ∴， 则第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，比例的性质，通过比例的性质找到a与b的关系是解题关键． 根据已知比例关系，将所求式中的字母a等量代换为只含b的式子，再约分即可． 【详解】解：由 ，得 ． 代入，得 ， 故答案为：5． 12. 已知2＋是方程x－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根为______． 【答案】2－ 【解析】 【分析】根据题意利用一元二次方程两根之和为，设出方程的另一根，即可列方程求解． 【详解】解：设方程的两根为x1，x2，设x1=2+由题意得： x1+x2=2++x2=4， ∴x2=2－． 故答案为：2－． 【点睛】本题考查根与系数的关系．注意掌握二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 13. 如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形中位线的性质，是解答本题的关键； 取的中点，连接，根据三角形中位线的判定与性质可得，，且有直线与直线重合，进而可得证明，即可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵为的中点，点为的中点，， ∴，，， ∵，直线与直线重合， ∴直线与直线重合， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 14. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得解． 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点位于第二象限，点位于第四象限， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况①当时，连接，作于，由菱形的性质得出，，，得出，，，求出，，由折叠的性质得，，，证明，得出，证出、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当时，，此时点与重合，与点重合，，是等边三角形，（含这种情况）． 【详解】解：分两种情况： 当时，连接，作于，如图1所示： 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， 为的中点， ， 由折叠的性质得：，，， 在和中，， ， ， ， 、、三点共线， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即； 当时，，此时点与重合，与点重合，如图2所示： ，是等边三角形，（含这种情况）； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或2； 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法和加减法即可； （2）先将方程整理为一般式，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ， ； （2）原方程可化为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 结合书香校园阅读活动，某市中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）本次活动的获奖人数有___人，在扇形统计图中，二等奖部分所占的圆心角的度数为___； （2）补全条形统计图； （3）获得一等奖的同学中有1名来自七年级，2名来自八年级，其余来自九年级，何老师准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 【答案】（1）40，72 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中“参与奖”的人数除以扇形统计图中“参与奖”的百分比可得获奖总人数，再用360°乘以“二等奖”的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）先求得获得一等奖的人数，进而可以将条形统计图补充完整； （3）根据（2）中的结果，可以画出相应的树状图，从而可以求得所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 【小问1详解】 解：由题意得，获奖总人数为（人）， ∴获得二等奖部分所占的圆心角的度数为． 故答案为：40，72； 【小问2详解】 解：获得一等奖的人数为（人）， 【小问3详解】 解：由上可知，获得一等奖的人数有4人，则七年级1人，八年级2人，九年级1人画树状图如下： 从上图中可知，从4个一等奖获得者中抽取两人共有12种等可能情况，其中两人中既有七年级又有八年级同学的有4种情况，所以所求事件的概率为： ． 18. 如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 【答案】（1） 四边形是矩形， 证明：∵平行， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，平行线的性质的应用，注意：对角线互相平分且相等四边形是矩形． （1）根据角平分线定义和平行线推出，推出，同理，即可得出答案； （2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当与的位置关系为时，四边形是正方形． 证明：由（1）得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）①填空：____，_____； ②在反比例函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积的计算、函数表达式的求解，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及利用面积公式建立方程是解题的关键． （1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、两点代入一次函数求出、，从而得到两个函数的表达式． （2）①由一次函数表达式求出与轴、轴的交点、的坐标，进而得到、的长度．②先计算的面积，再根据列出关于点纵坐标的方程，结合反比例函数表达式求出点的坐标． 【小问1详解】 解：， ， 解得， 反比例函数表达式为， 在上， ， ∴ ，在上， ， 解得，， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：①一次函数与轴交于 ∴令，则 ， 解得， ∴ ， 一次函数与轴交于， 令，， ∴， ； ②，，， ， ， ， ，， ， ， 或， 在上， 当时，则， 解得， ， 当时，， 解得， ， 答：存在点，坐标为或． 20. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）每件应降价4元 （2） 不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，理解题意是解题的关键； （1）设每天要盈利1600元，每件应降价元，根据题意，可列方程，求解方程即可； （2）不认同，理由：设每件降价元，获利为元，由题意得，整理后再配方成顶点式得，分析后即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； 【小问2详解】 解：略． 21. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中画出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，判断四边形的形状为___________，并利用此结论求的长． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2）菱形，7.5 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂直平分线，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的面积，勾股定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据题意作的垂直平分线即可求解； （2）证明得出，可得四边形是平行四边形，由即可得四边形是菱形；由菱形可设，在中利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：设与交于点， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 设，则， 由矩形知， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， ∵， ∴． 22. 掷实心球是某校运动会的项目之一．如图 1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点的高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据体育评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：体育评分标准（男生版） 掷实心球（） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 …… 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 …… 【答案】（1） （2）分， 对于，当时，有， 解得：或（不合题意，舍去） ∴对照评分标准表可知，该男生得分为7.5分． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键； （1）由图可知抛物线的顶点为，且图象经过点，设关于的函数表达式为：，由此即可求解； （2）令（1）中的抛物线的解析式中，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知抛物线的顶点为， ∴设关于的函数表达式为：， 由题意得函数图象经过点，则， 解得：， ∴所求函数表达式为：； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： （1）、的数量关系是_________；四边形的面积是_________． 【类比探究】 （2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积_________（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；32 （2）①；②改变 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，易证，则四边形的面积等同于的面积； （2）①类比（1）可得，则； ②由相似三角形的性质可以得出结论； （3）分两类情况，点B、C关于对称和，利用（2）的结论并结合轴对称的性质和矩形的性质计算出线段的长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E从点A运动到点C的过程中，的面积逐渐增大， ∴四边形的面积会改变； 【小问3详解】 当点B、C关于对称时，如图， 由对称的性质可知，，， 在和中， ， ∴， ∴四边形为轴对称图形，符合题意， 在直角中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，也是轴对称图形，符合题意， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，运用模型来寻找全等三角形与相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 蒙古包可以近似的看成如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（ ） A. 图像在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 函数值随着的增大而增大 D. 图象关于原点中心对称 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 5. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 6. 如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下表是某一项实验中结果出现的频率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在一次实验中结果出现的概率为（结果保留小数点后一位）（ ） 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为尺（注：1丈=10尺，1尺=10寸），可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，．将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____． 12. 已知2＋是方程x－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根为______． 13. 如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___． 14. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）． 15. 如图，在菱形中，，，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： ． 17. 结合书香校园阅读活动，某市中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）本次活动的获奖人数有___人，在扇形统计图中，二等奖部分所占的圆心角的度数为___； （2）补全条形统计图； （3）获得一等奖的同学中有1名来自七年级，2名来自八年级，其余来自九年级，何老师准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 18. 如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）①填空：____，_____； ②在反比例函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 20. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． （1）在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 21. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中画出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，判断四边形的形状为___________，并利用此结论求的长． 22. 掷实心球是某校运动会的项目之一．如图 1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点的高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据体育评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：体育评分标准（男生版） 掷实心球（） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 …… 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 …… 23. 综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： （1）、的数量关系是_________；四边形的面积是_________． 【类比探究】 （2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积_________（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $