数学二模模拟卷01（北京专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 10．已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则 ． 12．若，则的值为 . 13．已知，，则 ， . 14．如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则 . 15．已知函数的定义域为，给出下列四个结论： ①存在周期函数，使得函数不是周期函数； ②对任意，函数与函数不可能都是奇函数； ③若恒成立且函数不是常值函数，则的图象过定点； ④存在无穷多个周期函数，使得恒成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 17．（13分）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（14分）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 19．（15分）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 20．（15分）已知函数，（且）． (1)设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； (2)若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 21．（15分）已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第二次模拟考试 ! 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 粉 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A]B][C]D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A][B][CD] 3[A][B]CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][CD] 8[A]B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分) 11 12. 13 14 相 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 剂 请在各题目蜜题好揹内鱼瓷页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(13分) *0 AE---M5 ----B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (近9并)道S患素嗾 i※￥著易佣年☒兴的到项形身凿吊爵‘易年习瑶易佣目暗号尹巢 (SI)O i壬業易州海☒惑的到环狂，毋遄吊爵·易年习暗易明目酷号剿 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 10．已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则 ． 12．若，则的值为 . 13．已知，，则 ， . 14．如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则 . 15．已知函数的定义域为，给出下列四个结论： ①存在周期函数，使得函数不是周期函数； ②对任意，函数与函数不可能都是奇函数； ③若恒成立且函数不是常值函数，则的图象过定点； ④存在无穷多个周期函数，使得恒成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 17．（13分）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（14分）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 19．（15分）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 20．（15分）已知函数，（且）． (1)设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； (2)若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 21．（15分）已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为， 所以. 故选：B． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知，， 所以，. 故选：A 3．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线，得渐近线方程为，又已知双曲线渐近线方程为，所以. . 故选：A 4．已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A． 5．已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【详解】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ，. , . 故选：B. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 7．已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由定义在上的函数满足，得， 则函数关于点成中心对称，又在上单调递减，则在上单调递减， 因此函数在上单调递减，且，而函数是上的偶函数， 则函数在上单调递增，由，得， 于是，，即， 则函数是周期函数，其周期为4，当时，， 由周期性得时，，所以在上的最小值是. 故选：B 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则， 因为与的图象关于点对称，所以， 而， 则， 即对于任意恒成立， 所以，或（舍去）， 则，又，则的最小值为. 故选：D 9．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 【答案】C 【详解】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 10．已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 则由可知：，即. 又因为非零向量与的夹角为， 得：， 化简可得：， 则的最小值即为圆上一点到两射线一点连线的最小值， 即圆心到两射线的距离减去半径， 圆心到射线的距离为，圆的半径为2， 则的最小值为. 故选：A. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则 ． 【答案】 【详解】由抛物线上的点到的焦点的距离为2可得点到的准线的距离为2，即， 又点到的对称轴的距离为，所以， 将点代入抛物线方程，可得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 故答案为：. 12．若，则的值为 . 【答案】0 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 13．已知，，则 ， . 【答案】 【详解】因为，， 所以，将两个等式分别平方可得： ①， ②. ① + ②， 得 ， 则 ， ② - ①，得： ， 则 . 将 代入上式，可得   . 故答案为：； 14．如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则 .    【答案】 【详解】设平面与棱交点为，则，（可先补成四棱柱，如图易得结论）    所以， ， 所以上部分几何体体积， 因此小部分的体积和大部分的体积之比为， 故答案为： 15．已知函数的定义域为，给出下列四个结论： ①存在周期函数，使得函数不是周期函数； ②对任意，函数与函数不可能都是奇函数； ③若恒成立且函数不是常值函数，则的图象过定点； ④存在无穷多个周期函数，使得恒成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】假设存在周期函数，使得函数不是周期函数， 设的周期为， 则对任意，， 于是是周期函数．矛盾，①错误； 假设存在，函数与函数都是奇函数， 对任意，，， 即，所以，矛盾，②正确； 因为函数不是常值函数，存在，使得， 由，得． 故函数的图像过定点，③正确； 存在无穷多个周期函数，使得恒成立，④正确； 故答案为：②③④. 3、 解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以， 2分 得， 5分 （2）选条件①②：， 7分 ， 9分 则. 10分 由正弦定理得，解得：， 12分 所以的周长为. 13分 选条件①③：， 7分 ， 9分 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理 ， 11分 由得，解得，所以的周长为. 13分 (注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.) 17．（13分）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面，所以平面， 2分 又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 4分 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． 6分 （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 7分 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 9分 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 11分 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 13分 18．（14分）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 1分 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. 3分 （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 6分 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. 9分 （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 12分 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 14分 19．（15分）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c， 由已知可得解得，， 2分 由有， 所以椭圆C的方程为. 4分 （2）设直线的方程为，，，的中点，如下图： 由联立得， 6分 由题意有，即，整理得①， 由韦达定理可得， 8分 故，， 所以， 10分 因为线段的垂直平分线与y轴交于点，所以， 整理得②， 12分 因为，由②式有，所以， 将②式代入①式得， 解得，所以. 14分 易知， 综上可得. 15分 20．（15分）已知函数，（且）． (1)设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； (2)若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 1分 ①由得，所以，所以． 2分 ②原问题转化为在时恒成立． 当时，原不等式可化为，即恒成立， 因为表示开口向下的抛物线， 所以不等式不恒成立； 4分 当时，令，所以，得， 5分 （ⅰ）当时，原不等式可化为，所以， 此时，所以的最大值为，所以，所以； 7分 （ⅱ）当时，原不等式可化为，所以， 因为在上单调递增，所以，所以． 综上所述，． 9分 （2）由题意知，方程有唯一解． 当时，原方程化为，由于，所以， 10分 （ⅰ）当，即时，有（*），设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 因为方程（*）有唯一解，所以，所以； 11分 （ⅱ）当时，时，方程可化为（**）， 设，则，所以在上单调递增， 所以当时，方程（**）有解，解得， 12分 所以时，方程（**）有唯一解； 当时，有， 由（ⅰ）可知当时方程有解， 所以时，原方程至少有两个解（舍去）； 13分 当时，原方程化为， 由于，所以， 所以方程可化为，即， 14分 由（ⅰ）可知在上单调递减， 所以时方程有唯一解，解得（舍去）或； 综上所述，的取值范围为． 15分 21．（15分）已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 【详解】（1）. 2分 （2）①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； 4分 ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 6分 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 8分 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． 10分 （3）设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 13分 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 15分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A B C B D C A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．0 13．；. 14． 15．②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以， 2分 得， 5分 （2）选条件①②：， 7分 ， 9分 则. 10分 由正弦定理得，解得：， 12分 所以的周长为. 13分 选条件①③：， 7分 ， 9分 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理 ， 11分 由得，解得，所以的周长为. 13分 (注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.) 17．【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面，所以平面， 2分 又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 4分 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． 6分 （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 7分 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 9分 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 11分 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 13分 18．【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 1分 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. 3分 （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 6分 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. 9分 （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 12分 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 14分 19．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c， 由已知可得解得，， 2分 由有， 所以椭圆C的方程为. 4分 （2）设直线的方程为，，，的中点，如下图： 由联立得， 6分 由题意有，即，整理得①， 由韦达定理可得， 8分 故，， 所以， 10分 因为线段的垂直平分线与y轴交于点，所以， 整理得②， 12分 因为，由②式有，所以， 将②式代入①式得， 解得，所以. 14分 易知， 综上可得. 15分 20．【详解】（1）因为，所以， 1分 ①由得，所以，所以． 2分 ②原问题转化为在时恒成立． 当时，原不等式可化为，即恒成立， 因为表示开口向下的抛物线， 所以不等式不恒成立； 4分 当时，令，所以，得， 5分 （ⅰ）当时，原不等式可化为，所以， 此时，所以的最大值为，所以，所以； 7分 （ⅱ）当时，原不等式可化为，所以， 因为在上单调递增，所以，所以． 综上所述，． 9分 （2）由题意知，方程有唯一解． 当时，原方程化为，由于，所以， 10分 （ⅰ）当，即时，有（*），设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 因为方程（*）有唯一解，所以，所以； 11分 （ⅱ）当时，时，方程可化为（**）， 设，则，所以在上单调递增， 所以当时，方程（**）有解，解得， 12分 所以时，方程（**）有唯一解； 当时，有， 由（ⅰ）可知当时方程有解， 所以时，原方程至少有两个解（舍去）； 13分 当时，原方程化为， 由于，所以， 所以方程可化为，即， 14分 由（ⅰ）可知在上单调递减， 所以时方程有唯一解，解得（舍去）或； 综上所述，的取值范围为． 15分 21．【详解】（1）. 2分 （2）①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； 4分 ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 6分 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 8分 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． 10分 （3）设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 13分 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $