精品解析：重庆永川区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2026级2025年秋期期末检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意； D. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、，是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 如图，点是的优弧上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 5. 抛物线过，，三点，则大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．通过直接计算各点对应的函数值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当 时，； 当 时，； 当 时，． ∴ ， ， ， ∴ ． 故选：B． 6. 如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵，是的内切圆， ∴分别平分和， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键． 7. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误； B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键． 8. 年第四届贵州村超赛将于年月日至月底在榕江举行，在此期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了场比赛，设比赛组织者邀请了个队比赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每个队与其他所有队各比赛一场，总场数为组合数的一半，即，然后列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵有个队参赛，每两个队之间比赛一场， ∴总比赛场数为， ∴方程， 故选：． 9. 如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线，则下列选项中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图像可以得到二次函数解析式的系数，，，进而可以判断选项的正确性． 【详解】解：、因为，，可知，不符合题意； 、化简可得，根据二次函数的图像可知函数与x轴有两个交点，因此不符合题意； 、当时，由图像可知二次函数值是大于的，因此不符合题意； 、因为，，所以，符合题意． 故选： 【点睛】本题考查的是根据函数图像确定函数解析式各项系数的符号，明确函数图像与解析式之间的关系是解题的关键． 10. 一列自然数．依次将该列数中的每一个数平方后除以，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A. 原数与对应新数的差不可能等于零 B. 原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C. 当原数与对应新数差等于时，原数等于 D. 当原数取时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 先设原数为，新数为，差为，再判定为二次函数，根据其性质解题即可． 【详解】解：设原数为，新数为，差为， 关于选项A：当时，解得或，即原数与对应新数的差可能等于零，故不符合题意； 关于选项B：因为，对称轴为直线，所以当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故不符合题意； 关于选项C：当时，解得或，故不符合题意； 关于选项D：因为，所以有最大值，即当顶点横坐标，原数与对应新数的差最大，故符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题一卡相应的横线上． 11. 一元二次方程的两根之积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握两根之积等于是解题的关键． 【详解】设一元二次方程的两根分别为α，β， ∴． ∴一元二次方程的两根之积是． 故答案为． 12. 有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：氯化钠、碳酸钠、氢氧化钠、稀硫酸、稀盐酸5个试剂瓶分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有20种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向下移动2个单位，得到的新抛物线的解析式为___________（化成一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减进行求解． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移2个单位则x替换为，向下平移2个单位得到解析式为． 【详解】解：原抛物线为， 向左平移2个单位后解析式为， 再向下平移2个单位， 则， 整理得， 展开得， 故答案为：． 14. 若平面直角坐标系中的点不能确定一个圆，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到点C在直线上，求直线的解析式后代入点C的坐标求解，即可解题． 【详解】解：设直线的解析式为，将点和代入得： ， 解得， 因此直线的解析式为． 点不能确定一个圆， 三点共线， 将点代入， 得． 故答案为：3． 15. 如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得①， 在中，由勾股定理得②， 得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：；． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. 6923 【解析】 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解：是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再运用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再运用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）若将绕点逆时针旋转得到，求点到所经过的路径长．（结果不取近似值） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，找到三个顶点关于原点对称的点，顺次连线，得到，即可求解； （2）勾股定理求得的长，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 如图所示即为所求 【小问2详解】 ， 点到所经过的路径长 【点睛】本题考查了画中心对称图形，求弧长，掌握旋转的性质是解题的关键． 19. “五·一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图， 根据统计图回答下列问题： （1）前往 A地的车票有_______ _张，前往C地的车票占全部车票的________%； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为_______； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】（1）30；20．（2）50÷100=（3）不公平． 【解析】 【分析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图； （2）让去B地车票数除以车票总数即为所求的概率； （3）此题考查了游戏公平性问题，解题的关键是求得小张得到车票的概率与小李得到车票的概率，只要相同就公平，否则就不公平． 【详解】（1）30；20． （2）50÷100= （3）不公平． 可能出现的所有结果列表如下： 或画树状图如下： 共有16种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴小张获得车票的概率为P=；则小李获得车票的概率为1-． ∴这个规则对小张、小李双方不公平． 【点睛】本题考查列表法与树状图法；条形统计图；游戏公平性．熟练掌握定义是解题的关键. 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 解得：或， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 21. 如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． （1）直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； （3）若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析，当 时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题属于一次函数 综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. （1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用图象法判断即可. 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； 【小问2详解】 如图所示； 当 时，随的增大而增大； 【小问3详解】 ∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 22. 某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）每台A款电器应降价40元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，利用3月份的销售量=1月份的销售量×（1+2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台，利用总利润=每台的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可求出y值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：每台A款电器应降价40元． 23. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 24. 如图所示，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标： （2）如图2．若点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标： （3）若点在对称轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）最大值为，点； （3）点或点或或点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是灵活应用这些知识解决问题，并学会分类讨论 （1）把点和点的坐标代入抛物线解析式，求出的值即可，再根据顶点式求解顶点即可； （2）先使用待定系数法求解直线的解析式，设出点与点的坐标，进而表达出三角形面积，利用二次函数的最值求解即可； （3）根据点在对称轴上，设出点的坐标，再根据为等腰三角形，分，，这三种情况分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点， 与轴相交于点， ∴，即， 则有，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 将点与点代入可得， ，解得， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线，点在直线上， 设点，点， ∵点是第四象限内抛物线上的一个动点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为， 此时点； 【小问3详解】 解：∵抛物线，对称轴， 又∵点在对称轴上， ∴设点， ∵点与点， ∴，，， 当时，即， ∴， 即，解得， 此时点； 当时，即， ∴， 即，解得， 此时点或； 当时，即， ∴， 即，解得， 此时点或； 综上，若为等腰三角形，则点或点或或点或． 25. 如图，在中，，把边绕点旋转到． （1）如图1，连接，使，，求到的距离； （2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：； （3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于点G，先求出的长，进而求出的长，再求出结果； （2）延长至K，使,连接，可证得是平行四边形，从而证明，，推出，从而得到，进一步得到结论； （3）可推出，点N在以为直径的圆上运动，即当点N在与圆的交点时，取最小，进而求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴到的距离为； 【小问2详解】 证明：如图，延长至K，使,连接， ∵， ∴， ∴是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴, 又∵， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴, 即, ∴； 【小问3详解】 如图， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴点N在以为直径的圆上运动， ∴当点N在与圆的交点时，取最小， ∵，, ， ∴， ∴, 作于点M, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级2025年秋期期末检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是优弧上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线过，，三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 8. 年第四届贵州村超赛将于年月日至月底在榕江举行，在此期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了场比赛，设比赛组织者邀请了个队比赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线，则下列选项中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 一列自然数．依次将该列数中的每一个数平方后除以，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A. 原数与对应新数的差不可能等于零 B. 原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C. 当原数与对应新数的差等于时，原数等于 D. 当原数取时，原数与对应新数的差最大 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题一卡相应的横线上． 11. 一元二次方程的两根之积是_____________． 12. 有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是_________． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向下移动2个单位，得到的新抛物线的解析式为___________（化成一般式）． 14. 若平面直角坐标系中的点不能确定一个圆，则的值是___________． 15. 如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）若将绕点逆时针旋转得到，求点到所经过的路径长．（结果不取近似值） 19. “五·一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图， 根据统计图回答下列问题： （1）前往 A地的车票有_______ _张，前往C地的车票占全部车票的________%； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为_______； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． （1）直接写出y关于t函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； （3）若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 22. 某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 23. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 24. 如图所示，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标： （2）如图2．若点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标： （3）若点在对称轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 25. 如图，在中，，把边绕点旋转到． （1）如图1，连接，使，，求到距离； （2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：； （3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $