精品解析：安徽芜湖市无为市2025～2026学年度第一学期期末学习质量检测八年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末学习质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 7. 如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（　　） A B. C. D. 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 12. 若，则代数式的值为___________． 13. 如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则________． 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 因式分解： 16. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，分别是上点，且．若，求的度数． 18. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． （1） ； （2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； （3）对于有理数、，若，．求的值． 20. 在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： （1）在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； （2）在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 六、(本题满分12分) 21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 七、(本题满分12分) 22. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． （1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． （2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 八、(本题满分14分) 23. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．    【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学习质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 2. 已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，原式错误地写为，故D错误． 故选：B． 4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数． 根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数． 【详解】解：根据直角三角板，，， ， ， ， 故选：D． 5. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 7. 如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 8. 已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，①，②， ①-②得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标． 【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是4， 以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点的纵坐标是2， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即， 故选：C． 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质．熟悉利用轴对称性质求最短距离的方法是解题的关键． 作点关于射线对称点，连接，过作于，交射线于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理得到，利用含度角的直角三角形的性质得到，进而得到的长，再得到的长，即的长． 【详解】解：作点关于射线的对称点，连接，过作于，交射线于，连接，如图，则， ， 此时的值最小，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 故答案为： 12. 若，则代数式的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先将代数式展开并化简，再根据已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 故答案：5． 13. 如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式．先提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ． ， ， ． 18. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“致远号”的行驶速度为米/秒． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． （1） ； （2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； （3）对于有理数、，若，．求的值． 【答案】（1） （2）2或 （3）56 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【小问1详解】 解：原式． 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：原式 ， ，， ，， ． 20. 在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： （1）在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； （2）在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【答案】（1）答案见解析（答案不唯一） （2）答案见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【小问1详解】 解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 六、(本题满分12分) 21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】（1）甲，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【小问1详解】 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． 【小问2详解】 ； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 七、(本题满分12分) 22. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． （1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． （2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）， （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键； （1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解． （2）同（1）的方法求解，即可． 小问1详解】 解：∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：分解因式的结果为，理由如下， ∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， ∴分解因式的结果为 八、(本题满分14分) 23. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．    【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长，过点作于，如图所示：    ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示：    ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $