精品解析：江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

2025~2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：张程 审卷人：马剑飞 2026年2月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 3. 记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即， 又，，成等比数列，所以，即， 化简可得，解得或（舍）， 则，所以， 则. 故选：C 4. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.934 C. 0.94 D. 0.945 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件表示为“任选一件零件为甲车床生产的”， 事件表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为正品”， 则，，，， 所以. 故选：B. 5. 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将四名学生分为三组，再将这三组学生分配给三个项目即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可， 所以，不同的分配方案种数为种. 故选：B. 6. 已知为抛物线上的动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将的最小值转化为点到直线的距离来解决. 【详解】过点作的垂线并延长与抛物线的准线交于点，抛物线的焦点， 由抛物线的定义， 根据图象可得的最小值即为点到直线的距离， 故的最小值为. 故选：C. 7. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（     ） A. 1 B. 2 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以项数为11项，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，所以. 故选：C. 8. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（     ） A. 117 B. 118 C. 119 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到是等差数列，从而求得，进而得到，利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为数列的各项均为正数，， 所以，则是以4为首项，以4为公差的等差数列， 所以，则， 所以， 所以数列的前n项和为 ， 令，得，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与不独立 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；根据独立性检验零假设为：与相互独立，由卡方值大于得到不成立，即可判断C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为， 则，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，零假设为：与相互独立， 由， 所以与不相互独立，犯错误的概率不超过0.01，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（     ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据，得到，即可判断A、B、D，再根据的符号即可判断C. 【详解】由题意，则， 又是等差数列，所以，故A错误； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：BD. 11. 设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则M，N可能不相互独立； B. 若，则； C. 若条件概率存在且不为0，，则； D. 若，则． 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由条件概率公式及题目条件得到，故M，N相互独立；B选项，由A及条件概率公式可得；C选项，由条件概率公式化简得到C正确；D选项，先得到，从而 【详解】A选项，，又，故， 即，故M，N相互独立，A错误； B选项，由A知，，则，B正确； C选项，， ， 故，C正确； D选项，， ，故， ，故， 则，即， 则，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 13. 若数列满足，，则该数列的前项的乘积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推公式得到数列周期，再计算一个周期内的乘积并求解. 【详解】已知， 所以，，，， 可知数列是周期为的周期数列， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求得渐近线方程和过右焦点F与双曲线一条渐近线的垂线方程，进而求得的坐标，结合，可得，求解即可. 【详解】由双曲线，得双曲线的渐近线方程为， 过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，垂线方程为 由，解方程组得，所以， 由，解得，所以， 因为，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以双曲线C的离心率为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点A（－1，0）和B（5，0），且圆心在直线x＋2y－2＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）直线l过点D（－1，1），且与圆C相切，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）x＝－1或4x－3y＋7＝0； 【解析】 【分析】（1）圆C的圆心必定在A，B连线的垂直平分线上，据此与直线 联立方程求出圆心和半径； （2）运用点到直线距离公式求出l的方程. 【小问1详解】 如图， 圆C的圆心C必定在A，B连线的垂直平分线 上，将代入 ，解得 ， ，半径 ，圆C的标准方程为： ； 【小问2详解】 当直线l的斜率存在时，设直线l：，即kx－y＋k＋1＝0， 则，解得，此时直线l：4x－3y＋7＝0； 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与圆C相切， 所以直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0； 综上，圆C的标准方程为：，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0. 16. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式进行变形，利用等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为，故， 所以，即， 所以数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以； 【小问2详解】 由（1）可知：， 令，则， 则， 所以 . 17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 18. 已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为. （1）求此椭圆E方程； （2）设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O. （i）求矩形ABCD面积的最大值； （ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）(i) ；(ii). 【解析】 【分析】(1)根据给定条件列出关于a，b的方程组，解方程组代入得解. (2)(i)设直线AB方程，与椭圆方程联立求出线段AB长，再求出原点O到直线AB距离列出矩形面积求解即可； (ii)由(i)及列出方程，由方程解的情况即可判断计算作答. 【小问1详解】 令椭圆半焦距为c，依题意，，解得， 所以椭圆E的方程为：. 【小问2详解】 (i)由(1)知，，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为：， 由消去y并整理得：，点的横坐标， 则点的横坐标有：，解得， 则有，因矩形的边CD过原点O，则， 因此，矩形的面积，当且仅当，即时取“=”， 所以矩形ABCD面积的最大值是. (ii)假定矩形ABCD能成为正方形，则，由(i)知：， 整理得：，即，而，解得， 所以矩形ABCD能成为正方形，此时，直线AB的方程为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以 斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且，求整数的最小值； （3）设，且，求整数的最小值； 【答案】（1） （2）1 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用的关系可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）由题意可得，利用放缩法可证结论； （3）由（2）可得，利用二项式定理，结合放缩法可得，可得结论. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，，则， 因，，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 ， 所以， 又，所以，所以， 所以整数的最小值1． 【小问3详解】 因为． ， … 当时， ， 又，所以， 所以整数的最小值3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：张程 审卷人：马剑飞 2026年2月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 4. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.934 C. 0.94 D. 0.945 5. 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知为抛物线上的动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（     ） A. 1 B. 2 C. 20 D. 24 8. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（     ） A. 117 B. 118 C. 119 D. 120 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与不独立 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（     ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 11. 设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则M，N可能不相互独立； B. 若，则； C. 若条件概率存在且不为0，，则； D. 若，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 13. 若数列满足，，则该数列的前项的乘积等于________． 14. 过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点A（－1，0）和B（5，0），且圆心在直线x＋2y－2＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）直线l过点D（－1，1），且与圆C相切，求直线l的方程； 16. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 18. 已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为. （1）求此椭圆E方程； （2）设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O. （i）求矩形ABCD面积的最大值； （ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由. 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且，求整数的最小值； （3）设，且，求整数的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $