11．1　一次函数 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第11章 一次函数 11．1　一次函数 知识点1 一次函数、正比例函数的概念 形如y＝kx＋b(k与b是常数，k≠0)的函数叫作x的_________． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx也叫作___________，其 中k叫作比例系数． 【注意】 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 一次函数 正比例函数 知识点2 根据条件列一次函数表达式 根据条件列一次函数表达式的一般步骤： (1)认真分析，理解题意； (2)和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系； (3)写成一次函数表达式y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的形式； (4)注意x的取值范围，要使实际问题有意义． 知识点3 待定系数法 通过先设出函数表达式中的_________，再根据条件，利用解 方程或方程组确定这些_______，这种方法叫待定系数法． 步骤：(1)设：设出含有待定系数的函数表达式y＝kx＋b(k≠0) 或y＝kx(k≠0)； 未知系数 未知数 (2)代：把已知条件(自变量与对应的函数值)代入表达式，得到 关于k，b的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出k，b的值； (4)写：将求出的k，b的值代回所设的函数表达式，写出所求的 函数表达式． 变式 [2024·兰州期中]已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋4. (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 考点2 列一次函数表达式 典例2 [2024·兰州期中]写出下列各题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (2)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系． 思路导析 根据题意，写出y与x之间的函数关系，并根据一次函数与正比例函数的定义判断即可． 解：(1)由题意，得y＝3.6x， ∴y是x的一次函数，也是正比例函数； (2)由题意，得y＝400－36x， ∴y是x的一次函数． 变式 某市出租车收费标准如下：3千米以内(包括3千米)收费 10元；超过3千米时，超出的部分每千米收费2.5元(不足1千米 的部分，按1千米计算)． (1)若乘出租车行驶x(x是整数，且x＞3)千米的路程，应支付 的车费y与x的函数关系式为_____________； (2)若乘出租车行驶6千米的路程，应付车费_____元． y＝2.5x＋2.5 17.5 考点3 待定系数法求一次函数表达式 典例3 已知一次函数的图象经过点A(2，1)，B(－1，－3)，C(m，3)．求一次函数的表达式和m的值． 思路导析 设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将A，B两点坐标代入可得出k和b的值，进而可得出函数表达式；再将C点坐标代入即可求得m的值． 变式 [2024·泉州期末]在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋5(k≠0)的图象经过点(－1，7)． (1)求该函数的表达式； (2)若点P(a－5，3a)在该函数的图象上，求点P的坐标． 解：(1)将(－1，7)代入y＝kx＋5中， 得7＝－k＋5， 解得k＝－2， ∴该函数的表达式为y＝－2x＋5； (2)∵点P(a－5，3a)在该函数的图象上， ∴3a＝－2(a－5)＋5， 解得a＝3， ∴点P的坐标为(－2，9)． 考点1 一次函数的定义 典例1 [2024·淄博期末]下列函数：①y＝x ②y＝eq \f(1,x)　③y＝eq \f(x,5)　④y＝eq \f(1,2)x2＋1.其中一次函数的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：(1)∵y＝(m－1)x2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))＋n＋4是一次函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≠0，,2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))＝1，)) 解得m＝－1， ∴m＝－1，n为任意实数； (2)∵y＝(m－1)x2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))＋n＋4是正比例函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≠0，,2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))＝1，,n＋4＝0，)) 解得m＝－1，n＝－4. 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)． ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，1)和B(－1，－3)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,－k＋b＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,3)，,b＝－\f(5,3)，)) ∴一次函数的表达式为y＝eq \f(4,3)x－eq \f(5,3). ∵点C(m，3)在一次函数y＝eq \f(4,3)x－eq \f(5,3)的图象上， ∴eq \f(4,3)m－eq \f(5,3)＝3， 解得m＝eq \f(7,2). $