专题02 空间向量的应用寒假强化专练-2026年高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 专题02空间向量的应用 一、知识回顾： 1.空间中的线，面平行：直线，2的方向向量分别为a,b,平面，B的法向量分别为，m,则 线线平行 4Ill2ab=a=b(∈R) 线面平行 1la&台a⊥n9an=0 面面平行 all B enll men=Am 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为a=(a,b,C),直线l2的方向向量为b=(a2,b,c2),平面0 的法向量n=(x,,二)，平面B的法向量为m=(x2,2,2),则 线线垂直 1⊥g2a.b=04,+b,b,+cc2=0 a =Ax 线面垂直 hLa eallnea=inb=Ay c Az1 面面垂直 aLBenmm=0=0 3.点面距：平面的法向量为n,A是平面0内的定点，P是平面外一点.则点P到平面0的距离 PO=AP. n月APn|Ap:nl n n In 4.两条直线所成角：a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b为所成的 AC·BD 角为8，则cos0=cos<AC,BD> AC BD l2.线面所成角：直线l的方向向量为a,平面0的法向量为u,直线与平面所成的角为9，则有 sinθ=cos<a,u> (注意此公式中最后的形式是：sinB) 5.面面角：PA⊥a于A,PB⊥B于B,平面PAB交I于E,则∠AEB为二面角o-I-B的平面角， ∠AEB+∠APB=180若%%分别为面Q,B的法向量，则cos<,乃>：% nn 设二面角为0，则c0s日根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正）， 则c0s8c0s<,n2>;若二面角为顿二面角（取负），则c0s8=-|c0s<h,n2> 123 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 二、考点聚焦： 目目考点1 空间位置关系的向量证明 【经典例题】 1.(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知a,b是两条不同的直线，x,B是两个不同的平面，若 a⊥B,b⊥B,则a1a"是“a1b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高二上·福建南安侨光中学、晋江侨声中学)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面 为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是正方形，E,F分别为PD,PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O, PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=() B.3 2 C. 3 【变式训练】 1.(24-25高二下·上海宝山区·期末)己知平面x的法向量为n=(1,2,-1),AB=(2,4-2),则直线AB和平面 的位置关系是() A.AB⊥ B.AB∥a C.ABCa D.AB与C相交但不垂直 2.(17-18高二上·辽宁·期末)若直线m的方向向量为ā，平面x的法向量为4，则能使m/1a的是() A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0) B.a=(1,-1,3),4=(0,3,1) C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1) D.a=(1,3,5),=(1,0,1) 2/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 3.给出以下命题，其中正确的是() A,直线的方向向量为a=112).直线则的方向向景为6-(21》 则1与m垂直 B.直线1的方向向量为a=(0,1,-1),平面a的法向量为1=(1，-1，-1)，则1La C.平面、B的法向量分别为=(0,1,3)，=(1,0,2)，则a∥B D.平面a经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量1=(1,4，t)是平面a的法向量， 则什1 4.(24-25高二上河南开封·期末)如图，在平行六面体ABCD-ABC1D中，AB=AD=A4=1, D ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,则下列直线与平面BDDB,垂直的是() A.AC B.AC C.AC D.AD 5.(2425高二上·北京密云区·期末)如图，下列各正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点， M,W为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是() D 3/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 【巩固练习】 1.(24-25高二上·北京怀柔区·期末)已知直线1的一个方向向量为n=(-2,1,3),直线l2的一个方向向量为 =(2,-1,t),若（∥马，则t值为(） A.-3 B.1 c.} 2.(21-22高二上·浙江杭州第四中学吴山校区·期末)已知平面B法向量为m=(3,1,-5),直线1的方向向量 为n=(-6,-2,10),则() A.1与B平行 B.1与B垂直 C.1与B相交但不垂直 D.以上都不对 3.若α，B表示不同的平面，平面x的一个法向量为y1=1,2,1),平面B的一个法向量为 v2=(-2,-4,-2),则平面a与平面B（) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 4.(21-22高二上浙江台州书生中学月考)点M是棱长为3的正方体ABCD-ABC,D,中棱AB的中点， CN=2NC,动点P在正方形AADD(包括边界)内运动，且PB∥面DMN,则PC的长度范围为 () A.[13,19] B. 5E C.[23,V19] D.33 ,19] 5 目目 考点02 空间距离向量求法 【经典例题】 1.(2425高二上广东惠州惠城区惠州中学期中)已知直线1经过点4(2,3,1)，且元=(V2,0,V2)是1的方 向向量，则点P4,3,2到1的距离为一 2.(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末)如图，在平行六面体ABCD-ABCD,中，以顶点A为端点的三 D 条棱长均为6，∠AAB=∠AAD=60°，DA⊥AB,则BD的长为() A.66 B.6√5 C.63 D.6√2 4/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 3.(25-26高二上·福建·期中)在三棱锥P-ABC中，若PC=2PA=2PB=2,PA⊥PB,∠APC=∠BPC=60°， 则点C到平面PAB的距离为一 【变式训练】 1.(25-26高二上江西赣州期中)在三棱柱ABC-AB,9中，A4=V2,AC=2W2,AB=3,∠BA4=∠8AC=T 4 CA4=AABC的外心为0，则4O的长为门 2.(25-26高二上·河北邢台宁晋县金太阳联考·月考)点（-3,5，-7)到平面0xy的距离是 3.(2425高二下·福建龙岩·期中)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是菱形， D ∠A,AB=∠A,AD=∠BAD=60,AB=AA=2,则点B1到平面ABD的距离为() A.V6 B.3V2 C.26 D.3V5 3 4 3 4 4.(24-25高二上广西“贵百河一武鸣高中.期中)如图 在直三棱柱ABC-AB'C'中， ∠ABC=90°，AB=BC=BB'=1,E、F分别为A'B',AB的中点，则直线FC到平面AEC'的距离为() B.V6 C.、v6 D.、3 6 6 2 5/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 5.(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，平面AB,C与平面 ACD间的距离是 6.(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M为棱CD的中 点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为() B.Sn C.π D.Ar 【巩固练习】 1.(24-25高二上·广西南宁.期末)在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， AB=AD=2,AA'=√2，∠BAA'=∠DAA'=45,∠BAD=60,则AC'的长为() A.10 B.12 C.√22 D.2W6 2.(21-22高二上·重庆第十八中学月考)如图 在平行六面体ABCD-ABCD,中，M 为AC与BD的交点，若AB=AD=AA=2,∠A4D=90，∠A4B=∠B4D=60，则|BM的 值为() A.1 B. C.2 D.23 3.(24-25高二上·广西南宁第九中学·月考)已知点A(1,0,0),B(1,0,2),C1,1,1),则点A到直线BC的距离是 () A.1 B.√2 C.22 D.4 6/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 4.(24-25高二上·广西玉林六校期中)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，△ABC是等边三角形， C AA=√2，AB=2,则点C到直线AB,的距离为() A.V6 B.V23 C.V30 D.5 3 3 3 3 5.(24-25高二上广西平果铝城中学期中)如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内 部且满起4-45+40+亚，则尸到直线48的饰离为( 2 3 B专 c.i D.5 6.(25-26高二·北海·期末)在四棱锥S-ABCD中，AB=(2,-1,0),AD=(0,1,-1),AS=（-2,1-3),则三棱 锥SABD的体积为() A. B.3 C.1 D.2 4 目目 考点03 线线角的向量求法 【经典例题】 1.(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学)若两异面直线4与12的方向向量分别是 =(1,0,-1),2=(0,-1,1),则直线与2的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.(21-22高二上广东佛山第一中学期中)长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=3,A4=4，则异面 直线AB,与DA所成角的余弦值为() B C. 3 D. 7/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 3.(25-26高二上·山东日照第一中学)如图，己知ABCD,ABEF均为正方形，二面角C-AB-F的大小为 D 60,则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 【变式训练】 1.(25-26高二·贵州黔南州期末)在正方体ABCD-A,B,CD中，E,F,G分别是DD,BD,BB,的中点，则直 线EF与直线CG所成角的余弦值为() A.-5 B.V15 C.30 15 D.-V30 15 30 30 2.(25-26高二上·广西河池·期末)在所有棱长均相等的正三棱柱ABC-ABC中，D是AB,的中点， AF=A4,CE=cC,则异面直线BD,8所成角的余弦值为一、 3 3.在三棱柱ABC-ABC中，如图所示，侧棱A4⊥底面ABC,点D是AB的中点，E是AC的中点， E D ∠BCA=90°，BC=CA=2,CC=3,则BD与AE1所成角的余弦值是() 9 A.30 10 B.4V110 C. V30 D. 6V110 55 15 55 8/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 4.(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校期中)2.如图，平行六面体ABCD-AB,C,D的所有棱长均 2,AB,AD,A4两两所成夹角均为60°，点E,F分别在棱BB,DD上，且BE=2B,E,D,F=2DF,直线AC 0 A B 与EF所成角的余弦值为 …E 【巩固练习】 1.(25-26高二新疆昌吉州期末)在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB⊥BC,BB,=2√2，AB=BC=2,M,N分 别是B,C,AB,的中点，则BM与直线CN所成角的正弦值为() A.23 B.3V3 c.5 D.25 13 13 15 2.在直三棱柱ABC-AB,C中，已知AC⊥BC,AC=CC1=2BC,则直线AB,与直线BC1所成角的余弦 值为() A.-5 B.、V5 C.v5 D.5 3 5 5 3 3.Q425高二下-山东菏泽郢城县第一中学开学考)如图，二面角a-1-P的大小为2，AB是棱1上两 3 点，AC⊥1，BD⊥1，且AB=3,AC=2,BD=5,则CD= 4.如图，三棱柱OAB-OAB,中，平面OBB,O⊥平面OAB,且∠O,OB=60°，∠AOB=90°，OB=OO=2 ,OA=√3，求异面直线AB与OA所成角的余弦值() B.3 1 c.7 9/23 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 5.在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为线段SB上的一点，且SB=3DB,C是AB的中点， 2SO=AB=6,则直线SA与直线CD所成角的余弦值为() A.5 B.37 c. D. V119 3 14 14 14 目目 考点04 线面角的向量求法 【经典例题】 1.(2425高二上广西百色平果铝城中学·期末)已知两平面的法向量分别为=(0,1,0)，n=(0,1,1),则两 平面所成的二面角为 2.(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，在棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直， OA=1,OB=2,OC=3,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为() δ A.2v10 3 D. 3v5 7 B.月 c.7 7 【变式训练】 1.(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)0.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到在 空间直角坐标系O-z中，己知向量m=(a,b,c),点P(x,y,zo),若平面x经过点，且以m为法向 量，点P(x,y,z)是平面内的任意一点，则平面x的方程为a(x-x)+b(y-)+c(2-。)=0”.现已知平面 的方程为x-y+-+1=0,直线1是平面x-y+2=0与平面2x-二+1=0的交线，且直线1的方向向量为 n=(u,y,),则直线1与平面“所成角的正弦值为 10/23专题02 空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 专题02 空间向量的应用 一、知识回顾： 1.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 3.点面距：平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.则点到平面的距离. 4.两条直线所成角：，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 12.线面所成角：直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 5.面面角：于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则. 二、考点聚焦： 地 城 考点01 空间位置关系的向量证明 【经典例题】 1．(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(25-26高二上·福建南安侨光中学、晋江侨声中学·)九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 2．(17-18高二上·辽宁·期末)若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1 4．(24-25高二上·河南开封·期末)如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 5．(24-25高二上·北京密云区·期末)如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．  D．   【巩固练习】 1．(24-25高二上·北京怀柔区·期末)已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 2．(21-22高二上·浙江杭州第四中学吴山校区·期末)已知平面法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交但不垂直 D．以上都不对 3．若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 4．(21-22高二上·浙江台州书生中学·月考)点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 空间距离向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广东惠州惠城区惠州中学·期中)已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 2．(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）   A． B． C． D． 3．(25-26高二上·福建·期中)在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为 . 【变式训练】 1．(25-26高二上·江西赣州·期中)在三棱柱中，的外心为,则的长为 . 2．(25-26高二上·河北邢台宁晋县金太阳联考·月考)点到平面的距离是 . 3．(24-25高二下·福建龙岩·期中)如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 6．(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西南宁·期末)在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 2．(21-22高二上·重庆第十八中学·月考)如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．(24-25高二上·广西南宁第九中学·月考)已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 6．(25-26高二·北海·期末)在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 地 城 考点03 线线角的向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．(21-22高二上·广东佛山第一中学·期中)长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·山东日照第一中学·)如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．   【变式训练】 1．(25-26高二·贵州黔南州·期末)在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广西河池·期末)在所有棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 ． 3．在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)2．如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 【巩固练习】 1．(25-26高二·新疆昌吉州·期末)在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 4．如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 5．在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 线面角的向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 2．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)0．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)3．已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 3．如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 4．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）   A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1．(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．(25-26高二上·四川达州·)在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广东广州·期末)在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）   A． B． C． D． 4．(21-22高一下·福建南平·期末)如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 二面角的向量求法 【经典例题】 1．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）   A．1 B． C． D． 2．如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为 . 2．(25-26高二上·福建福州第一中学·)已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 3．(25-26高二上·上海交通大学附属中学·期末)如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .   4．(25-26高二上·山西晋中·期中)已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为 . 【巩固练习】 1．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 . 2．(25-26高二上·新疆疏附县·期中)如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．   地 城 考点06 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)在平行六面体中，，，，设，，．   (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，点是的中点，平面，，，点、分别是线段、的中点．   (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式训练】 1．(25-26高二上·河北保定部分高中·)已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)如图，在四棱锥中，，为的中点，．   (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 3．(25-26高二·北海·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点F在棱上，直线与平面交于点E.   (1)证明：； (2)若F为中点，求与平面所成角的正弦值. 4．(25-26高三上·甘肃兰州第五十八中学教育集团·)如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 5．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．   (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是的中点. (1)证明：平面. (2)若直线与底面所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值. 2．(25-26高三上·广东深圳外国语学校·月考)如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的余弦值. 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.   (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 4．(24-25高二上·四川绵阳·月考)如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 三、达标检测 1．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 2．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 3．已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知点，则平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 8．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 9．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 10．已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 11．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 ． 12．正三棱台，底面ABC与侧面所成角为，则棱与底面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（多选）已知正四棱柱的底面边长为2，，点在棱上，点在棱上，则以下说法正确的是（    ） A．若为中点，存在点， B．若为中点，存在点，平面 C．若，分别为，的中点，则与平面所成的角的余弦值为 D．若，分别为，的中点，则到平面的距离为 15．（多选）已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（多选）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）   A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的正弦值为 17．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 18．如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 19．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)如图，和所在平面垂直，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的大小； (3)求平面和平面的夹角的余弦值. 20．(25-26高二上·浙江·月考)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．   (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 试卷第1页，共3页 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 专题02空间向量的应用 一、知识回顾： 1.空间中的线，面平行：直线，2的方向向量分别为a,b,平面，B的法向量分别为，m,则 线线平行 4Ill2ab=a=b(∈R) 线面平行 1la&台a⊥n9an=0 面面平行 all B enll men=Am 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为a=(a,b,C),直线l2的方向向量为b=(a2,b,c2),平面0 的法向量n=(x,,二)，平面B的法向量为m=(x2,2,2),则 线线垂直 1⊥g2a.b=04,+b,b,+cc2=0 a =Ax 线面垂直 hLa eallnea=inb=Ay c Az1 面面垂直 aLBenmm=0=0 3.点面距：平面的法向量为n,A是平面0内的定点，P是平面外一点.则点P到平面0的距离 PO=AP. n月APn|Ap:nl n n n 4.两条直线所成角：a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b为所成的 AC·BD 角为8，则cos0=cos<AC,BD> AC BD l2.线面所成角：直线l的方向向量为a,平面0的法向量为u,直线与平面所成的角为9，则有 sinθ=cos<a,u> (注意此公式中最后的形式是：sinB) 5.面面角：PA⊥a于A,PB⊥B于B,平面PAB交I于E,则∠AEB为二面角o-I-B的平面角， ∠AEB+∠APB=180若%%分别为面Q,B的法向量，则cos<,乃>：% nn 设二面角为0，则c0s日根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正）， 则c0s8c0s<,n2>;若二面角为顿二面角（取负），则c0s8=-|c0s<h,n2> 1/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 二、考点聚焦： 目目 者点01 空间位置关系的向量证明 【经典例题】 1.(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知a,b是两条不同的直线，x,B是两个不同的平面，若 a⊥B,b⊥B,则a1a”是“a1b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若u⊥B,b⊥B,则bcu或b∥a,当a⊥a时，则ab,所以a⊥b,充分性成立； 当aLb时，即a⊥时，a和a可能平行，可能相交，也可能线在面内，必要性不成立. 故“a⊥u”是“aLb”的充分不必要条件.故选：A 2.(25-26高二上·福建南安侨光中学、晋江侨声中学·)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面 为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是正方形，E,F分别为PD,PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O, PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=() A专 B.3 C D. 3 【答案】D 【详解】，PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,.PA⊥AB,PA⊥AD,又底面ABCD是正方形， ∴.AB上AD,则PA,AB,AD两两垂直，以点A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,二轴的 正方向建立空间直角坐标系，由PA=AB=2,E,F分别为PD,PB的中点，则O(1,1,0),C(2,2,0), E(0,1,1),F(1,0,1),EF=(（1,-1,0),EC=（2,1,-1),设平面EFC的法向量为m=(x,y,z）,则 BCm=2x+y-:=0'令x=1,得m=(1,3,设G(0,0a),则oG=(1,-1a),0G/平面8rC, EF.m=x-y=0 ,则0Gm=0,即-1x1-1x1+3a=0,解得a=号 3 故选D 2/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.(24-25高二下·上海宝山区·期末)己知平面x的法向量为n=(1,2,-1),AB=(2,4-2),则直线AB和平面 a的位置关系是() A.AB⊥a B.AB∥a C.ABCa D.AB与&相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，AB=21,则AB/n,则AB⊥a.故选：A 2.(17-18高二上·辽宁·期末)若直线m的方向向量为a,平面的法向量为，则能使m/1α的是() A.a=(1,0,0),4=（-2,0,0) B.a=(1,-1,3),u=(0,3,1) C.a=(0,2,1),u=（-1,0,1) D.a=(1,3,5),4=(1,0,1) 【答案】B 【详解】若m//a,则aL,则a=0.对于A,a=-2,不满足条件：对于B,a=0-3+3=0, 满足条件：对于C,al=1,不满足条件：对于D,a=6,不满足条件.故选：B. 3.给出以下命题，其中正确的是() A,直线1的方向向量为ā-0-山，2)，直线m的方向向量为6-(21-》 则1与m垂直 B.直线1的方向向量为ā=(0,1，-1)，平面u的法向量为1=(1，-1，-1)，则1L C.平面、B的法向量分别为2=(0,1,3)，2=(1,0,2)，则a∥B D.平面a经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(14,t)是平面a的法向量， 则什1 【答案】A 【详解】对于A,,ab=2-1-1=0,aLb,.l与m垂直，A正确：对于B,,a与n不共线， ∴.直线1不垂直平面a,B错误：对于C,,与n2不共线，.平面a与平面B不平行，C错误： 对于D.48山，，).8c-(1,3.0.由AB-u0,8C-1+30.解得 4 3, t},D错误故选： 4.(24-25高二上·河南开封期末)如图，在平行六面体ABCD-ABCD,中，AB=AD=A4=1, 3/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 D ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,则下列直线与平面BDDB1垂直的是() A.AC B.AC, C.AC D.AD 【答案】C 【详解】设AB=a,AD=b,A4=c,则{a,b,c}为空间所有向量的一个基底，且AC=a+b-c, BD=b-ā，BB=c,因为AB=AD=AA=1,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,所以 云-B-c-1,a6=5d=6a=克，4CBD=a+b-小6-=0， AC·BB,=(ā+b-Cc=0,.AC⊥BD,AC⊥BB,,又BD∩BB=B,BD,BB,C平面BDDB, ∴.AC⊥平面BDDB,.故选C 5,(2425高二上·北京密云区期末)如图，下列各正方体中，O为下底面中心，P为其所在棱的中点， M,N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是() M 0. 【答案】A 【详解】对于选项A,建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2 根据正方体的性质以及点的位置，可得N(2,2,2),M(0,0,2),P(0,2,1),O(1,1,0) MNW=(2,2,0),OP=(-1,1,1),W.0P=2×(-1)+2×1+0×1=-2+2=0. 因为MN.OP=0,根据向量垂直的性质可知MN⊥OP,即满足MW⊥OP,故A正确 24 对于选项B,建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2 根据正方体的性质以及点的位置，可得N(0,2,2),M(2,2,0),P(2,1,2),O1,1,0) N=(-2,0,2),OP=1,0,2),MN.OP=-2×1+0×0+2×2=2≠0.则N与OP不垂直.故B错误. 4/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 对于选项C,建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 0 根据正方体的性质以及点的位置，可得N(0,0,2),M(2,0,0),P(0,0,1),O1,1,0).MN=(-2,0,2), OP=(-1,-1,1).则MN.OP=-2×(-1)+0×(-1)+2×1=4≠0.则MN与OP不垂直.故C错误. 对于选项D,建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 根据正方体的性质以及点的位置，可得N(0,0,2),M(2,2,0),P(2,2,1),O11,0).N=(-2,-2,2), OP=(1,1,1),则MNOP=-2×1+(-2)×1+2×1=-2≠0.则MN与OP不垂直.故D错误 故选：A 【巩固练习】 1.(24-25高二上·北京怀柔区·期末)已知直线1的一个方向向量为=(-2,1,3)，直线12的一个方向向量为 =(2,-1,t),若l∥g2,则t值为() A.-3 B.1 C. 5 D. 3 3 5 【答案】A 【详解】因为直线l的一个方向向量为=（-2,1,3)，直线2的一个方向向量为m=(2,-1,t),1∥12， 所以m/i,设m=i,则2=-22，-1=见，t=32,所以=-1，t=-3.故选：A. 2.(21-22高二上·浙江杭州第四中学吴山校区·期末)已知平面P法向量为m=(3,1,-5),直线1的方向向量 为n=(-6,-2,10),则() A.1与B平行 B.1与B垂直 C.1与B相交但不垂直 D.以上都不对 【答案】B 【详解】因为m=(3,1-5),n=(-6,-2,10),所以n=-2m,所以1与B垂直.故选：B 3.若，B表示不同的平面，平面x的一个法向量为1=1,2,1)，平面B的一个法向量为 5/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 v2=(-2,-4,-2),则平面a与平面B（) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 【答案】A 【详解】对于平面x的一个法向量为=1,2,1)，平面B的一个法向量为2=(-2，-4，-2)，因为 光，所以2平行又a,P表示不同的平面，所以平面c“与平面B平行.故 4.(21-22高二上浙江台州书生中学·月考)点M是棱长为3的正方体ABCD-ABCD中棱AB的中点， CN=2NC,动点P在正方形AADD(包括边界)内运动，且PB∥面DMN,则PC的长度范围为 () A.[13,19] C.[25,19] D. 【答案】B 3 依题意M3,0 ,N(0,3,2),设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),则 DM-x+3 s0 ,故可设 .DN=3y+2z=0 =(1,-2,3),设P(x,0,z),0≤x≤3,0≤=≤3，B(3,3,3),B,P=(x-3,-3,z-3),由于PB∥平面DMN,所 以nB,P=x-3+6+3z-9=x+3z-6=0,则x=6-3z,0≤6-3z≤3,1≤z≤2，C(0,3,0), PC=V2+9+z2=《(6-3z)+z2+9=V10z2-36z+45.函数y=10z2-36z+45的开口向上，对称轴为 =治-818，所以=10：36c+51到上懂减，在8到上通城 0×-36×1+45=,V10×2-36×2+45=B,0×1.8-36×18+45_35,所以2e长度的 2 D A 33 取值范围是 ,19 故选：B P -7 D- A M 目目 者点02 空间距离向量求法 【经典例题】 1.(2425高二上广东惠州惠城区惠州中学期中)已知直线1经过点4(2,31)，且元=(N2,0,√2)是1的方 向向量，则点P4,3,2到1的距离为一 6/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 【答案】 2 【详解】PA=(（-2,0,-1),故pA=V5,cos(PA,)= PA·n_3W10 PA 10， 设直线PA与直线1所成的角为0， 则cos0=0 2,故sin0=i0 10 10 六点24,32到直线1的距离d=2网m0=V5×0_2 102 故答案为： 2 2.(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末)如图，在平行六面体ABCD-ABCD,中，以顶点A为端点的三 D 条棱长均为6，∠AAB=∠AAD=60°，DA⊥AB,则BD的长为() D A A.6√6 B.6N5 C.63 D.6√2 【答案】C 【详解】由题意可得BD=AD-AB+DD,，以顶点A为端点的三条棱长均为6，∠AAB=∠AAD=60°， DALB得A--D0=6,AD-AB=0D丽=6x6x号18A0Dn=6x6x18,则： BD=(AD-AB+DD)=VAD'+AB'+DD,'-2AD.AB-24B.DD+2AD.DD =√36+36+36-0-36+36=6√3.故选：C 3.(25-26高二上·福建：期中)在三棱锥P-ABC中，若PC=2PA=2PB=2,PA⊥PB,∠APC=∠BPC=60°， 则点C到平面PAB的距离为一 【答案】√2 【详解】以P为坐标原点，PA所在直线为x轴，PB所在直线为”轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,0),A1,0,0),B(0,1,0).设点C(x,y,=),则PA=(1,0,0),PB=(0,10),PC=(x,y,-),因为 ∠Ac=∠arc=60,所以PAPc-Pcco60,解得x=PC-1同理PB-c-P四Pccos60, 即=PC-1由PG-F++-2,解得：=反，故点C到平面AB的距离为5故答案为：万 【变式训练】 1.(25-26高二上江西赣州：期中)在三棱柱ABC-4B,C中，A4=V2,AC=22,AB=3,∠8A4=∠BAC= 4 7/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 ∠CAA4= △1BC的外心为0，则40的长为一 元 【答案】6 【详期】设0-+c,由题查40AB=46,404C-4C则 AO.AB=-AB=xAB+yAB.AC 9r+6y= 1 ,得 ,因为40=44+a0=41+4B+号4C, 1 6x+8y=4 y= 4 m以4-4+}4c-++644Aa+4c+西ac- 故答案为： 2 2.(25-26高二上·河北邢台宁晋县金太阳联考·月考)点（-3,5，-7)到平面0xy的距离是 【答案】7 【详解】由题意可知点（-3,5，-7到平面Oxy的距离d=-7=7.故答案为：7 3.(24-25高二下·福建龙岩·期中)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是菱形， ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,AB=AA=2,则点B1到平面ABD的距离为( A.6 B.3 c.26 D.3V5 3 4 3 4 【答案】C 【详解】连接AC,设AC∩BD=O,连接AO,由△AAB≌△AAD,得AB=AD,所以AO⊥BD, 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD,又因为AO∩AC=O,且AO,AC在平面AOA内，所以 BD平面4QA,在△4QA中，A0=40=F,4A=2,所以os∠A0A=}如图，以点0为坐标原 点建立室间直角坐标系，剥4小5.0o0叫。45025 B(0,10),D(0,-1,0),B 故丽=-a2.049a29m-（5129 设平面ABD的法向量为n=(x,y,二)，则有 8/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 DB.ni=2y=0 04分=5+26-0令：=1，得=(25.01，所以点8到平面48D的距离d: 8月_26故 5=0 风3 3 D 选：C 4.(2425高二上·广西“贵百河一武鸣高中.期中)如图 在直三棱柱ABC-A'B'C'中， ∠ABC=90°，AB=BC=BB'=1,E、F分别为A'B',AB的中点，则直线FC到平面AEC'的距离为() A.② B. V6 C.-V6 2 6 D.-3 6 2 【答案】B 【详解】在直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，如图所示，以B'为原点建立空间直角坐标系， 因为AB=BC=BB=1,E、F分别为AB,AB的中点，则A(O1,1),B(0,0,1), C'(1,0.0), 所以4-(02-c-1号0A-（020 设平面AEC'的法向量为 1 iAE=0 y-z=0 i=(x,少z),则 (n.Bc=o'即 1 ,取=-1，则y=2,x=1,所以=(1,2，-1)是平面 x--y=0 21 A8C的一个法向量，又因为AF=0,-0,所以点F到平面ABC'的距离为 2 AF.列l0+(-1)+0_6 因为在直三棱柱ABC-A'B'C'中，E、F分别为AB,AB的中点，则EF/1CC √6 6 且EF=CC',所以四边形EFCC'是平行四边形，所以CF/1C'E,又C"EC平面AEC',CF丈平面 AEC',所以CF∥平面AEC',则点F到平面AEC'的距离即为直线FC到平面AEC'的距离.故选：B. 5.(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，平面AB,C与平面 AC,D间的距离是 9/48 专题02空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 【答案】 3 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD、AA所在直线分别为x、y、二轴建立如下图所示的空间直角 坐标系，则A(0,0,0)、B(1,0,1)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A(0,0,1)、C(1,1,1),设平面AB,C的法向量为 m=(,4,),AB,=(1,0,1),AC=(1,10),由 mC-+-0取=山，可得m=-1-少，设平 mAB,=x+3=0 面ACD的法向量为n=(x2y2,32),DA=(0,-1,1),DC1=(1,0,1),由 DG=%+00取g=-1, n.DA=-y2+z2=0 可得n=(1,-1,-1),因为m=n,平面AB,C与平面AC,D不重合，故平面ABC∥平面ACD, AD=(0,1,0),所以，平面AB,C与平面ACD间的距离为d= AD·m13 丁店故答案为： 3 D 6.(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M为棱CD的中 点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为() A司 B. 8π C.π D. 4π 9 3 【答案】B 【详解】球心O为正方体中心，半径R=1,以D为原点，DA,DC,DD分别为x,y,二轴建立空间直角坐标 系，如图A(2,0,0),C(0,2,0),M(0,1,2),O(1,1,1),则AC=(-2,2,0),AM=(-2,1,2),AO=(-1,1,1),设平面 ACn=0.「-2x+2y=0 ACM的一个法向量为i=(:,y,=), AMn=01-2x+y+25=0’令x=2,则y=2.=1,所以 a=2.2,则0到平面4C的距离为：=O.21号，截面圆半径=-”=1-号8所 n 3 以截面面积S=m2=8 9，故选B 10/48专题02 空间向量的应用 高二数学寒假强化训练导学案 专题02 空间向量的应用 一、知识回顾： 1.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 3.点面距：平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.则点到平面的距离. 4.两条直线所成角：，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 12.线面所成角：直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 5.面面角：于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则. 二、考点聚焦： 地 城 考点01 空间位置关系的向量证明 【经典例题】 1．(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，则或．当时，则，所以，充分性成立； 当时，即时，和可能平行，可能相交，也可能线在面内，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件．故选：A 2．(25-26高二上·福建南安侨光中学、晋江侨声中学·)九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵平面，平面，∴，，又底面是正方形， ∴，则两两垂直，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由，，分别为，的中点，则，设平面的法向量为，则，令，得，设，则，∵平面，∴，则，即，解得，故．故选D． 【变式训练】 1．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则.故选：A 2．(17-18高二上·辽宁·期末)若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】若，则，则.对于A，，不满足条件；对于B，，满足条件；对于C，，不满足条件；对于D，，不满足条件.故选：B. 3．给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1 【答案】A 【详解】对于A，∵，∴，∴l与m垂直，A正确；对于B，∵与不共线， ∴直线l不垂直平面α，B错误；对于C，∵与不共线，∴平面α与平面β不平行，C错误； 对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D错误.故选：A. 4．(24-25高二上·河南开封·期末)如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ， ， ，则 为空间所有向量的一个基底，且 ， ， ，因为 ， ，所以 ， ， ， ， ，又 ，平面， 平面 .故选C 5．(24-25高二上·北京密云区·期末)如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】A 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.   根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.   根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，   根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，.，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，   根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，.，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·北京怀柔区·期末)已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设，则，所以，.故选：A. 2．(21-22高二上·浙江杭州第四中学吴山校区·期末)已知平面法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交但不垂直 D．以上都不对 【答案】B 【详解】因为，，所以，所以与垂直.故选：B 3．若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】A 【详解】对于平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，所以平行.又表示不同的平面，所以平面与平面平行.故选：A 4．(21-22高二上·浙江台州书生中学·月考)点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 依题意，设平面的法向量为，则，故可设，设，，,，由于平面，所以，则，，，.函数的开口向上，对称轴为，所以在上递减，在上递增.，，，所以长度的取值范围是.故选：B 地 城 考点02 空间距离向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广东惠州惠城区惠州中学·期中)已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】，故，，设直线与直线所成的角为，则，故，点到直线的距离， 故答案为：. 2．(25-26高二上·广西贵港部分高中·期末)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得，，则：.故选：C 3．(25-26高二上·福建·期中)在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设点，则，，，因为，所以，解得.同理，即.由，解得，故点到平面的距离为.故答案为： 【变式训练】 1．(25-26高二上·江西赣州·期中)在三棱柱中，的外心为,则的长为 . 【答案】 【详解】设,由题意,则 ,得,得,因为, 所以. 故答案为：. 2．(25-26高二上·河北邢台宁晋县金太阳联考·月考)点到平面的距离是 . 【答案】7 【详解】由题意可知点到平面的距离.故答案为：7 3．(24-25高二下·福建龙岩·期中)如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，设，连接，由，得，所以， 因为底面是菱形，所以，又因为，且，在平面内，所以平面，在中，，，所以，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，，设平面的法向量为，则有，令，得，所以点到平面的距离.故选：C. 4．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点，则，，，，，所以，，，  设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选：B. 5．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，平面与平面不重合，故平面平面，，所以，平面与平面间的距离为.故答案为：. 6．(25-26高二上·贵州贵阳第一中学·月考)已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球心O为正方体中心，半径，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图,则，，设平面ACM的一个法向量为，，令，则，所以，则O到平面AMC的距离为：，截面圆半径，所以截面面积，故选:B. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西南宁·期末)在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】如下图，，所以 ，所以.故选：C. 2．(21-22高二上·重庆第十八中学·月考)如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题平行六面体中，M为AC与BD的交点，，，，，所以.故选：B 3．(24-25高二上·广西南宁第九中学·月考)已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是：.故选：B. 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，则，且，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为，故选：C. 5．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以，所以在上的投影向量的长度为：，所以到直线的距离为.故选：C.   6．(25-26高二·北海·期末)在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】，，，，，， 根据三角形面积公式，设平面的法向量为，则，即，令，则，故平面的法向量为，又，则，故点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.故选：C. 地 城 考点03 线线角的向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，，可得，，，设异面直线与所成的角为，则，又因为，所以，即直线与的夹角为.故选：B. 2．(21-22高二上·广东佛山第一中学·期中)长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，所以.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A. 3．(25-26高二上·山东日照第一中学·)如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．   【答案】/ 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以，设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为．因为，，，，所以，所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2，如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，  则有，，，，由此可得，，设异面直线与所成的角为，则．故答案为： 【变式训练】 1．(25-26高二·贵州黔南州·期末)在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．  设正方体的棱长为1．由分别是的中点，可得，所以．由向量夹角公式，得，因此直线与所成角的余弦值为．故选：B 2．(25-26高二上·广西河池·期末)在所有棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，则，.设异面直线，所成的角为，则.故答案为：. 3．在三棱柱中，如图所示，侧棱底面，点是的中点，是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在直三棱柱中，，所以易得两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，又点分别是的中点，所以，，故，设与所成的角为，则．所以与所成角的余弦值为． 故选：B．. 4．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)2．如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】连接，，，故， 又，故 ，故， 则， 所以直线与所成角的余弦值为，故答案为：. 【巩固练习】 1．(25-26高二·新疆昌吉州·期末)在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则， 所以，故选：B. 2．在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直三棱柱中，，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，  则、、、，所以，，，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：C. 3．(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【答案】 【详解】由二面角的平面角定义知，所以. 由，得.因为，所以，所以.故答案为：. 4．如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设所求的角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选C 5．在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，所以.如图：以为原点，OC，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，因为为线段SB的一点，且，所以，所以，设直线与直线所成的角为， 则.故选：B 地 城 考点04 线面角的向量求法 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 【答案】45°或135° 【详解】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.故答案为：45°或135° 2．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)0．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量，的方向向量为，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：. 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)3．已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，则，设平面BEF的法向量为，则即令，则，所以，解得，即．故答案为：1. 3．如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．   因为，所以，故．设为平面的一个法向量， 则，令，得．设直线与平面，所成的角为，则，故选：A． 4．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）   A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，  设，则 ，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得.故选：D. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·江苏启东中学·期中)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】若，则，则，即，∴.故选：A. 2．(25-26高二上·四川达州·)在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在直三棱柱中，可得平面，因为，所以，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，因为E为的中点，所以由中点坐标公式得，则，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，故，设与平面所成角为，则，故D正确.故选：D 3．(24-25高二上·广东广州·期末)在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为，则，则， 设平面的法向量为，则，可取，所以，因直线与平面所成角的余弦值为，故直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得.故正四棱柱的体积为，故选：B. 4．(21-22高一下·福建南平·期末)如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为.则，，，，，.所以，，，．设平面的法向量为，则令，则，，可得.又，设直线与平面所成的角为，则，从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大．故选：C 地 城 考点05 二面角的向量求法 【经典例题】 1．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）   A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．  则，，，，，，可得，，设平面的法向量，则，令，则，可得，平面的法向量，设平面与平面所成角为，则，可得，所以.故选：C． 2．如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，， 因为，则， 即，解得，且，则， 所以平面与平面的夹角为.故选：C. 【变式训练】 1．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为 . 【答案】/ 【详解】设平面与平面所成角为，由平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角为，故答案为：. 2．(25-26高二上·福建福州第一中学·)已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设正方体棱长为2，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又平面的法向量可取， 所以平面与平面夹角的余弦值为：. 3．(25-26高二上·上海交通大学附属中学·期末)如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .   【答案】 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则，所以，若平面的一个法向量为，   所以，取，则，而是平面的一个法向量，所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.故答案为 4．(25-26高二上·山西晋中·期中)已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】如图，作，垂足为，作，垂足为，因，则，在中，由三角形面积相等得，，同理可得， ，则.由图知，，则，因，则有，解得，故，即平面与平面的夹角的余弦值为.故答案为：. 【巩固练习】 1．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 . 【答案】 【详解】取的中点，因为底面是边长为2的菱形，且，由余弦定理得，所以,则，即得， 如图所示，分别以、、为x，y，z轴建立坐标系，则，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，，则，令，则，即可得，因为为平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，,，所以二面角的正切值是．故答案为： 2．(25-26高二上·新疆疏附县·期中)如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．   【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，因为，所以，又因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，所以，所以二面角的余弦值为.故答案为：. 地 城 考点06 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)在平行六面体中，，，，设，，．   (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1），，，，，，， 又，，， ． （2），，，， 又， ． （3）， ， ，． 异面直线与所成角的余弦值为． 2．如图，在四棱锥中，点是的中点，平面，，，点、分别是线段、的中点．   (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）因为，所以， 因为，点是的中点，所以， 则四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，   设，则， 因为点、分别是线段、的中点，所以，则， 又平面的法向量为，则，则， 又平面，所以平面； （2）因为，所以， 设平面的法向量为，则，令，则， 则，则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角的余弦值为. 【变式训练】 1．(25-26高二上·河北保定部分高中·)已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 【详解】（1）因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． （2）由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以，解得或． 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)如图，在四棱锥中，，为的中点，．   (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）因为， 则，，即，， 且平面，可得平面， 且，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，   则，可得， 由题意可知：平面的法向量可取，则，可知， 且平面，所以平面. （2）由（1）可得：，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 设二面角的平面角为，则， 可得，所以二面角的正弦值为. 3．(25-26高二·北海·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点F在棱上，直线与平面交于点E.   (1)证明：； (2)若F为中点，求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）底面是边长为2的正方形，， 又平面，平面，平面， 平面，平面平面，. （2）平面，底面是边长为2的正方形，两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，   ，， 又F为中点，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 设与平面所成角为，则， 故与平面所成角的正弦值为. 4．(25-26高三上·甘肃兰州第五十八中学教育集团·)如图1，在高为的直三棱柱中，为棱的中点，沿平面切割后得到四棱锥，如图分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）分别为棱的中点，， 又平面，平面，所以平面. （2）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 因为，为中点，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （3）如图所示： 以为原点，为轴，为轴，过且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系 在中，因为直三棱柱的高为，所以，且, 因此，所以，由那么， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为,则, 所以直线与平面所成角的正弦值. 5．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．   (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，则折叠后， 又，平面，所以平面， 平面，所以，又，，故以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，     因为，故，由几何关系可知， 故， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，则平面的法向量为， .设与平面所成角的大小为， 则，又，所以， 所以与平面所成角的大小为； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为. 在空间直角坐标系中，， 设，则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 若平面与平面夹角的余弦值为. 则满足， 化简得，解得（舍去）或，即， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面夹角的余弦值为. 此时的长度为. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是的中点. (1)证明：平面. (2)若直线与底面所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在矩形中，因为，，是的中点， 所以，,所以. 因为底面是矩形，所以，所以，从而. 因为平面，平面，所以. 又，且都在平面内，所以上平面. （2）因为平面，所以为直线与底面所成的角， 则，因为，所以. 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，得，则. 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．(25-26高三上·广东深圳外国语学校·月考)如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 分别是与的中点，，， 又，，，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面， 又为等腰直角三角形，则两两垂直， 故以所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，，令，得， 设直线与平面所成角为，则， ，即直线与平面所成角的余弦值为. 3．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.   (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）是边上的高，，， ，平面， 平面，， 又，平面； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直平面为轴， 建立如图空间直角坐标系，   ，，则， ， 设平面与平面的一个法向量分别为， 故，不妨取，同理可求：， 设平面与平面夹角为，， 即平面与平面夹角的余弦值为. 4．(24-25高二上·四川绵阳·月考)如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以，，又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， ，所以，所以. （2）设平面的一个法向量， 因为，，所以，即， 令，则，，所以，又， 设直线BD与平面BEF所成角，则. （3）假设存在，设，则， 所以，   设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，，所以，      由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 解得或（舍），所以存在点，使得满足要求，此时，即. 三、达标检测 1．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当时，即时，取到等号，所以，故A，B，D错误.故选C. 2．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以.故选:A. 3．已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，又因为平面的一个法向量为， 若平面，则，则，解得故选：D. 4．已知点，则平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据已知有，，设，因为，，所以，设，则，，所以.故选：A 5．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意，，因为平面的一个法向量，所以， 所以，解得.故选：A 6．在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以，，所以，，所以点C到直线的距离为.故选：D. 7．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B 8．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A， ，则 ，则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ，则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ，则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ，则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 9．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以点到直线的距离为．故答案为：. 10．已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，则，设平面SCD的一个法向量为，则，令，故是平面SCD的一个法向量．   故答案为：（答案不唯一） 11．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【详解】取，，则，， 所以点到直线的距离为．故答案为：. 12．正三棱台，底面ABC与侧面所成角为，则棱与底面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱台上、下底面中心分别为，则底面，记棱台的高为，底面边长为，取为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则中点在轴负方向，，中点，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量.又底面的法向量为，所以，解得.设棱与底面所成角为，因为，所以.故选：B.   13．（多选）设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，由，为不同的直线，可知，且，则，故A错误； 对于B项，若，则且，又为不同的直线，所以，故B正确； 对于C项，若，则且，又，所以，故C正确； 对于D项，若，则，所以，故D正确. 故选：BCD 14．（多选）已知正四棱柱的底面边长为2，，点在棱上，点在棱上，则以下说法正确的是（    ） A．若为中点，存在点， B．若为中点，存在点，平面 C．若，分别为，的中点，则与平面所成的角的余弦值为 D．若，分别为，的中点，则到平面的距离为 【答案】BCD 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则. 对于A，为中点，，设，,则，若，则，解得（舍），所以A不正确. 对于B，为中点，由正四棱柱的性质可得，平面，平面，所以平面，即当在处时，满足题意，所以B正确. 对于C，，分别为，的中点，，，易知平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，所以，所以，所以C正确. 对于D，由上面可知，，; 设平面的一个法向量为，则，，令，得； 因为，平面，所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离，点到平面的距离，所以D正确. 故选：BCD. 15．（多选）已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若，则，故A正确；若，则或在内，故B错；若，则，故C错；若，则，故D正确.故选：AD. 16．（多选）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）   A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的正弦值为 【答案】BC 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，，对于A，，，故， 故，即直线和所成的角为，故A错误；对于B，易得四面体为正四面体，则，故B正确；对于C，，，，设平面的法向量为，则有，令，则，故点到平面的距离，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC. 17．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，得.因为，所以，又平面，所以平面，A正确；因为，所以，所以平面，B正确；易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误； 点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 18．(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·)如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，，故， 又因为，,所以，即， 又因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可得平面，又因为所以， 所以可建立空间直角坐标系如图所示. 则，，，，故，， 设平面的一个法向量为，则，取得，则， 又因为，所以, 设直线与平面的夹角为，则，所以. 19．如图，和所在平面垂直，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的大小； (3)求平面和平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）作于点，连接，因为和所在平面垂直， 平面平面，所以，. 因为,，所以， 所以，又平面， 所以平面，平面，所以. （2）由（1）知，平面， 平面， 所以即为与平面所成角，易得,，所以与平面所成角为. （3）以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示： 则, 设平面的法向量，则， 令，则，，平面的法向量， 则，所以平面和平面的夹角的余弦值为. 20．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．   (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【详解】（1）因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. （2）因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，   则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 试卷第1页，共3页 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $