寒假作业02 核心建系、求点能力的培养（4知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 核心建系、求点能力的培养 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体. ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心. ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心. （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、垂面模型 已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是垂面模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 底面是三角形载体 1．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的夹角的大小 2．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 3．如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 4．如图，已知斜三棱柱，，，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 题型二 底面是四边形（菱形、梯形等）载体 1．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 5．（25-26高二上·山西太原·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 6．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足    (1)若，证明：平面 (2)若，且平面与平面的夹角为，求 题型三 底面是圆形载体 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 2．（24-25高二上·陕西汉中·期末）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. (1)证明：平面； (2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（23-24高二下·广东河源·月考）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 题型四 棱台图形载体 1．（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面． (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 4．如图，在正四棱台中，.    (1)证明：； (2)若正四棱台的高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的余弦值. 题型五 底面是其他形状载体 1．（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，为中点，面，，，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高二上·广西·月考）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. (1)证明：平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，. (1)证明：平面； (2)若四边形为正方形，且，，为边的中点，，当取何值时，直线与平面所成的角最小. 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）如图，平面四边形中，，，，，，点E，F满足，，将沿对折至，使得． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 题型六 在图形之外建系 1．（25-26高二上·北京朝阳·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)求证：平面； (2)若平面，求平面与平面的夹角的大小. 2．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 1．如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（25-26高二上·河南濮阳·月考）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的最大值. 3．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图，在五棱锥中，平面，，，点F为棱的中点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小． 4．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.    (1)若平面平面，证明：； (2)若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 7．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，是等边三角形．已知，，为线段上一点． (1)若为靠近点的三等分点，求到平面的距离； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（25-26高二上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 9．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 10．（25-26高二上·福建福州·月考）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的体积； (2)若是线段BC的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段BD上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高二上·广东广州·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 13．（24-25高二下·广西·月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值. 14．（25-26高二上·广东阳江·月考）如图，在三棱台中，点，分别为，的中点，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面夹角的余弦值. 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面．    (1)求证：底面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，求平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值． 2．（25-26高二上·海南海口·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC和底面BCD均为正三角形，且，. (1)求证:； (2)已知. （i）若 求二面角的大小： （ii）若直线与平面所成角的正弦值为 求实数的值. 3．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，二面角的余弦值为. (1)证明：平面平面； (2)求线段的长； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（25-26高二上·山东潍坊·月考）在直角三角形中，，，为的中点，将沿翻折至，其中为动点. (1)若平面，证明：平面平面； (2)当二面角的大小为时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求直线与所成角的余弦值； (3)当平面时，若，求平面与平面所成角的余弦值的最小值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 核心建系、求点能力的培养 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体. ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心. ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心. （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、垂面模型 已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是垂面模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 底面是三角形载体 1．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的夹角的大小 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接、，即可证明平面、，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接、， 因为三棱柱是正三棱柱，所以，，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，取. 所以点到平面的距离.    （2）因为平面的一个法向量为， 设二面角的夹角为，显然二面角为锐二面角， 所以，又，所以， 即二面角的夹角为. 2．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 3．如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明 （2）利用线面角的向量法求解即可. 【详解】（1）因为底面，平面 所以，又因为， ，平面， 所以平面. （2）过点作平面的垂直，并以该直线为轴， 以为原点，以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 设与平面所成角为， . 4．如图，已知斜三棱柱，，，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得平面，进而得，结合已知可得平面，进而得，结合已知可证结论； （2）取的中点，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）因为在底面ABC上的射影恰为AC的中点D， 所以平面，又因为平面， 所以，又因为，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，，所以平面． （2）取的中点， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面，平面，所以， 所以四边形是菱形，又因为是的中点， 所以，所以， ， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量． 由（1）可知平面，所以平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 题型二 底面是四边形（菱形、梯形等）载体 1．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角； （2）用空间向量法求线面角：求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值. 【详解】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以， 分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，则， 所以, 点是棱的中点,则， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，设平面的一个法向量是， 则，取得， ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用面面垂直性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系并利用空间向量求得两平面的法向量，即可得出结论. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以； 在中，，，， 所以， 所以，即； 又因为， 所以平面. （2）由（1）知，平面，， 建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示： 则，，， 所以，， 设平面的一个平面法向量， 则，即，所以取； 同理可得，平面的一个法向量； 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面， 再由线面垂直可证面面垂直； （2）如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 4．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 5．（25-26高二上·山西太原·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如下图所示：   为的中点，， 又四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面． （2）当时，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 以为原点，所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设是平面的一个法向量， 则 令，则， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， , 因此平面与平面夹角的余弦值为． 6．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足    (1)若，证明：平面 (2)若，且平面与平面的夹角为，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量再证明，即可得到结果. （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用面面所成角的向量求法即可求出 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，设， ，，设平面的一个法向量， 则即 取 又，，，所以，平面    （2）如图建立空间直角坐标系，设，,所以，故,所以，， 设平面AEF的一个法向量，则即 取又平面的一个法向量， ，求得（负值舍去），所以 题型三 底面是圆形载体 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：由已知得，平面，平面，所以， 因为为底面圆的直径，所以， 因为，平面 所以平面， 又平面，所以. （2）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又因为为的中点，∥，， 所以，且， 所以，且，即四边形为平行四边形，即， 因为面，所以面． 又因为面，所以，即为等腰直角三角形，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以． 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 2．（24-25高二上·陕西汉中·期末）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. (1)证明：平面； (2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面OBP、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：由题知，平面，， 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，，， ，，平面，平面. （2）由题知，， 由（1）可知，为平面的一个法向量，，， 设平面的法向量为，则，， 令，得， 则， 二面角的正弦值为. 3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，   为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2），易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据圆台体积计算圆台的高度，取的中点，的中点就是要找的点，计算，证明中四边形为平行四边形结合三角形中位线，平行的传递性证明结果；（2）以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式计算平面与平面的夹角； 【详解】（1）设圆台的高为， 因为上下底面半径分别为1和2，体积为， 所以，所以. 取的中点，连接，则的中点就是要找的点. 证明如下：因为为下底面圆周上一点，，为的中点， 所以. 在三角形中，因为，分别为，的中点， 所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以. （2）如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， ，，，，所以， 所以，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值为． 5．（23-24高二下·广东河源·月考）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）作出辅助线，得到，，由平行关系得到，得到三角形为等边三角形； （2）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面BCE的法向量，得到线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 题型四 棱台图形载体 1．（24-25高二下·湖北·期中）如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，由此可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得结果. 【详解】（1）在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． （2） 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 2．（23-24高二下·云南红河·期末）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量证明即可； （2）利用空间向量求解二面角即可. 【详解】（1）底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD， 故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，    在四棱台中，，，P为AB的中点， 故, 则, 所以，即， 且平面，平面， 故平面. （2）由（1）知，,, 设平面的法向量为 则 令，解得 设平面的法向量为 则 令，解得 故 故平面与平面的夹角为. 3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面． (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法的思想结合台体体积公式求解； （2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1） 在直角梯形中，因为，所以, 连接,因为， 所以． 因为， 所以． （2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，． 设平面的法向量为， 因为， 所以, 令，得． 设平面的法向量为， 因为， 所以, 令，得． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．如图，在正四棱台中，.    (1)证明：； (2)若正四棱台的高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）连接BD，，设正四棱台的上、下底面的中心分别为，O， 则，O分别为，BD的中点， 连接.因为是正四棱台， 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以. 因为ABCD为正方形，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）设BC，AB的中点分别为F，G，连接OF，OG，易知OG，OF，两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OG，OF，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则取，则，，所以. 设平面α的法向量为， 则取，则，，所以. 设平面α与平面的夹角为θ，则，所以平面α与平面夹角的余弦值为. 题型五 底面是其他形状载体 1．（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，为中点，面，，，，． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用向量法求线面角； （2）设，其中，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）连接，因为，为中点，所以， 又，所以， 又，所以，则， 因为面，所以，所以两两垂直， 以点为原点，以所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为； （2）由（1）可知，， 设，其中， 则， 因为平面，则， 解得， 因此，在棱上不存在点，使得平面. 2．（25-26高二上·广西·月考）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. (1)证明：平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为上靠近的三等分点 【分析】（1）根据题设先得到，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，所以，.. 由于分别是边的中点，所以，故，. 折叠过程中，平面. 所以平面. （2）当平面平面时，由平面平面，平面，， 所以平面，又平面，故， 建立如下图空间直角坐标系， 则. 所以，设则. ，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，而， 设直线与平面的夹角为， 则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 3．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，. (1)证明：平面； (2)若四边形为正方形，且，，为边的中点，，当取何值时，直线与平面所成的角最小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系求解线面角的正弦值结合正弦函数的值域得出正弦值的最小值即可得出最小角. 【详解】（1）因为平面平面，，平面，平面平面 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，且，平面 所以平面. （2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直间直角坐标系. 由，则，，， 可得与轴夹角为，所以， ， ， ，，平面的法向量记为 由得 令，得 即，当时，等号成立， 即时，直线与平面的所成的角取得最小值 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）如图，平面四边形中，，，，，，点E，F满足，，将沿对折至，使得． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件，结合余弦定理求出相应线段长度，得出线线垂直关系，再利用线面垂直判定定理，由线线垂直推出线面垂直； （2）利用已知条件，推出相应垂直关系及线段长度，建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，进而分别求出两平面的法向量，从而求出二面角的正弦值． 【详解】（1），， 又，， ，， ， ，， 为折叠后的，， ，平面，平面，平面． （2），， 平面，平面， 又平面，， ， ， ，即， 又，故可以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 作，是中点，则是中点，， ， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设面与面所成的二面角为，则 ， ，即面与面所成的二面角的正弦值为． 题型六 在图形之外建系 1．（25-26高二上·北京朝阳·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)求证：平面； (2)若平面，求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）由题意，平面，可得，，再根据勾股定理，可证得，根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法，可求得其夹角余弦值，进而可求得夹角的大小. 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以， 又，，所以， 所以， 又，，且平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，平面与平面相交于， 所以， 又由（1）知，，所以， 以为坐标原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 又由（1）得，平面，所以即为平面的法向量， 即平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为（）， 所以， 所以，即平面与平面的夹角为. 2．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得，再计算几何体的体积即可； 【详解】（1） 证明：取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）解：设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，设，， 所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以， 所以，. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． （2）因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 4．如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为． （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）取的中点，连接，由线面垂直得到； （2）（ⅰ）过点作，根据体积公式求解； （ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 则，， 又，平面，平面， 平面，． （2）（ⅰ）由（1）知，又且，平面， 平面，平面，， 又由（1）知：平面，而平面， 平面平面， 过点作，垂足为． 平面平面，平面，平面， 所以与平面所成的角为，即， ，，， 故四棱锥的体积． （ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内， 与平行的线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则，， 又平面ACD的法向量为，， 所以，二面角余弦值为． 1．如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）分别取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，再证四边形为平行四边形，进而得，最后应用线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接，则． 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，．同理，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故，又， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，则，令，得． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 2．（25-26高二上·河南濮阳·月考）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案； （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）设.建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为. （2）设，，，， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则，令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 所以平面与平面夹角的最大值为. 3．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图，在五棱锥中，平面，，，点F为棱的中点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再根据线面垂直判定定理得出平面，进而得出平面即可证明； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的法向量，再应用二面角夹角余弦公式计算求解. 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又，， 又平面，平面， 又面，， 又点F为棱的中点，且，， 又平面，平面，平面， . （2），又中，，，则，， 又平面， 以E为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 由题知，，，，， ，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，，可取， 设平面与平面所成角为θ， ， 又  ， 所以平面与平面所成角为. 4．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析; (2); (3). 【分析】（1）利用空间垂直关系可证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，利用线向量与法向量的数量积为零来证明线面平行即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值即可； （3）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）证明：取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面. （2）由向量，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，E为的中点. (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：先由等腰直角三角形得且，故，再利用“三角形中位线定理”得，运用平行传递性结合线面平行判定定理即可证平面； 法二：取的中点N，的中点M，连接，依次求证和得到即可求证平面； （2）先建立适当空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再由即可计算得线面角的正弦值； 【详解】（1）解法1： 与为等腰直角三角形且， 所以，..    E为的中点，， ，，即， ∴四边形为平行四边形，故， 分别为的中点，，所以， 平面，平面，平面； 解法2： 取的中点N，的中点M，连接， 与为等腰直角三角形且， 由，.. 分别为的中点， ，且. ，， ，∴四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2）平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为，， ，取，. 设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.    (1)若平面平面，证明：； (2)若直线与平面所成线面角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及圆的性质，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，设，进而可得，，坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，列出等式，可求得m，n的值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】（1）由题知，平面平面，平面平面， 因为H为圆周上一点，且NF为直径， 所以，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为x、y、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，    所以，，， 设，则， 所以，，， 设平面的法向量， 则， 所以， 令，则可取法向量， 设直线与平面所成线面角为， 所以 . 所以，解得，或，（舍）， 所以，则. 7．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，是等边三角形．已知，，为线段上一点． (1)若为靠近点的三等分点，求到平面的距离； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求到平面的距离； （2）求出和平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，则， 由，且，可知四边形是平行四边形， 故，又，，由等边三角形的性质可知， 由，平面，平面，可知平面， 所以，， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，由平面可知， 故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 故， 由为靠近点的三等分点，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，可得， 故到平面的距离． （2）由题意得，所以，而，， 设平面MAC的法向量为，则， 即，可取， 设直线PB与平面MAC所成的角为θ， 则， 故直线PB与平面MAC所成角的正弦值为． 8．（25-26高二上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，在中，∵，， ∴， 在中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； （2）设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面，平面， ∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， 设平面与平面所成的角为， ∴． 9．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用向量证明，再根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）利用空间向量，根据二面角的三角函数值求的长. 【详解】（1）由题意得：， 设， 又因为三点共线， .即为中点. 又因为平面平面 平面 （2）由（1）知， 所以与平面所成角即为所求角. 分别取中点，连接. 平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 以为原点，为轴的正方向，如图建系， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 为平面的一个法向量， 又 因为 设与平面所成角为， 所以. （3）设 ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， （舍）或. 所以存在点使得， . 10．（25-26高二上·福建福州·月考）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的体积； (2)若是线段BC的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段BD上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用台体的体积公式求解. （2）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦，再结合换元法求其最大值. 【详解】（1）因为，可得圆台的高， 所以圆台的体积为. （2）取AB中点H，连接A1H，PH，如图， 因为P为BC中点，所以PHAC，， 在等腰梯形中，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （3）延长，交于点O，作直线BO，因为B，O两点分别在平面与平面内， 所以直线BO即为直线，又平面，所以点O即点D， ∵，则， 以直线，，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，所以为的中位线， 则，，，，， 所以，，，， 依题设，则， 设平面QAC的一个法向量为， 则，故可取， 则有： ， 令，则，且， 当时，，此时； 当时， ，当且仅当，即时取等号. 综上，当时，取得最大值为． 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段PC上靠近的三等分点处 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求锐二面角的余弦，即可确定点的位置. 【详解】（1）因为，且为AD的中点，所以. 又因为四边形是边长为2的菱形且， 所以，因为，平面 所以平面，因为平面， 所以，又因为， 所以. （2）由（1）知，平面，且平面. 所以平面平面，且平面平面. 过点作平面的垂线，垂足为，则. 因为，所以. 因为，所以. 以点为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以. 设为上一点，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，得，令， 则，即， 又平面的一个法向量为. 由题意，得，解得. 即当点为线段PC上靠近的三等分点处时，锐二面角的余弦值为. 12．（25-26高二上·广东广州·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 13．（24-25高二下·广西·月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，同理可证，即可得证； （2）设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设，与面所成角为，则，再结合二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）∵底面是正方形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面．∵平面，∴． 同理可得， ∵，，平面，∴平面． （2）由（1）知平面，，∴平面， 又∵面， ∴．∵，，，∴平面， 又平面，∴． ∵为中点，∴． 如图，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则，，则，又． 由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为， 又∵，所以该椭圆，，则， 所以在平面内椭圆轨迹方程为：． 设，， ∴． 又是平面的法向量， 记与面所成角为，则， 又由Q的轨迹方程得． 记，． 该二次函数的对称轴为，∴， 所以与平面所成角正弦值的最小值为 14．（25-26高二上·广东阳江·月考）如图，在三棱台中，点，分别为，的中点，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）由棱台性质知，所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为为中点，所以，，    所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，即， 又因为，，、平面， 所以平面； （2）因为，所以，则， 以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 所示，，，，， ，， ，，，    设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为，； （3）设为平面的法向量， ，， ，令得，， 设，因为点在侧面内，所以存在m、n使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为在侧面内，所以， ， 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， ，， ， 令，，， 设平面与平面所成的二面角为，， 所以平面与平面所成的二面角得余弦值为. 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面．    (1)求证：底面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，求平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过，可证明底面 （2）建立空间正交坐标系，表示出平面法的法向量，利用可解 （3）设，表示出平面的法向量，用法向量表示出二面角的余弦值，找到最小值即可 【详解】（1）证明：因为是的中点，，所以． 在中，，，． 所以，所以，即． 又平面，所以， 又，底面，底面， 所以底面． （2）解：以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立坐标系， 由题可得：，，，，，（且长度相等），． 又平面的一个法向量为，所以． 综上：与平面所成角的正弦值为． （3）设，又，所以， 又，，设平面的法向量为，    所以，即令，则，， 所以，又平面的法向量为． 所以，又． 所以，当时成立，此时与重合． 综上所述：存在点与重合时，使得平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值为． 2．（25-26高二上·海南海口·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC和底面BCD均为正三角形，且，. (1)求证:； (2)已知. （i）若 求二面角的大小： （ii）若直线与平面所成角的正弦值为 求实数的值. 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）构造线面垂直，即可证明线线垂直； （2）（ⅰ）根据等腰三角形的性质，结合二面角平面角的定义，即可求解；（ⅱ）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为和都是等边三角形， 所以，，且，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2）（ⅰ）连结， 因为，， 所以，所以， 所以，， 所以为二面角的平面角， ，，, 中，由余弦定理可知，， 所以 （ⅱ）由（1）可知，，， 所以，则， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，轴过平面，建立空间直角坐标系， ，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则， 所以平面的一个法向量为， , 设直线与平面的夹角为， 则， 解得： 3．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明平面； （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和直线的方向向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可； （3）先利用坐标法求出平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式列出锐二面角余弦表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）证明：取中点O，连接， ∵，∴易知四边形为等腰梯形 ∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点， ∵与相交于点O，∴平面，∴ （2）由（1）知，∵平面平面于， ∴平面，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系 在等腰梯形中，，，如图作，易知， ∴，，，， ∴，， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则，，∴， ∴ 设直线BC与平面所成角为，则. （3）设M为，∴， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则， ∴ ∵，∴设锐二面角的大小为，令 令， 因为，所以，而在内单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为. 此时取最小值为. 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，二面角的余弦值为. (1)证明：平面平面； (2)求线段的长； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）证平面，利用面面垂直的判定定理得证. （2）设，建立空间直角坐标系，表示二面角的余弦值，解出，从而解得的长. （3）用空间向量求线面成角即可. 【详解】（1） 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面. 而平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，和所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示. 因为，则，.设， 所以，则得，所以， ，设平面法向量， 则有， 令，则得，，即. 由题意，可取平面的法向量，由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以，则. （3）因为，，，所以，则， 所以.由（2）得平面法向量， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（25-26高二上·山东潍坊·月考）在直角三角形中，，，为的中点，将沿翻折至，其中为动点. (1)若平面，证明：平面平面； (2)当二面角的大小为时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求直线与所成角的余弦值； (3)当平面时，若，求平面与平面所成角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，然后得到面面垂直； （2）过作平面垂线，从而建立空间直角坐标系，写出点坐标.过中点作平面垂线，则球心在这条线上，设点坐标，由球的半径建立方程，解得球心坐标，从而得到向量，然后利用向量的数量积求得线线角的余弦值； （3）设点坐标，由题意求得点坐标，然后利用空间向量的数量积求平面和平面的法向量，然后由空间向量的数量积求得到面面角的余弦值的表达式，通过换元和判别式法求得余弦值的最小值. 【详解】（1）在直角三角形中， ，，且， 平面时，， 且，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面 （2）过点作直线平面， ∴， 故以点为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知为二面角的平面角，故， ∴， 取中点，过点作平面， ∵，故球心在上， ∴设，则， 故， 即，∴， 故 则， 设直线与所成角为， 则. 直线与所成角的余弦值为. （3）设， ∴， 即，点在平面内 ， 设向量为平面的一个法向量， 则， 令，则， 即， 设向量为平面的一个法向量， 则，设，则， 即， 则， ， 设平面与平面所成角的平面角为， 则 ， 令，，， ∴方程在上有解， 则，即， ∴或（舍去）， 当时，方程为，整理得， ∴， 故当时，取最小值，则取最小值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $