专题01 空间向量及其运算寒假强化专练-2026年高二数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 专题01 空间向量及其运算 一、知识回顾： 1．空间向量的线性运算 （1）加法：； （2）减法：. （3）数乘运算： 当时,; 当时,; 当时,. 2.共面向量定理 （1）向量不共线，则向量与向量共面存在实数对，使. （2）四点共面（其中不共线）且． 3.空间向量的数量积：．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 6.向量长度：若，则. 7.两个向量夹角：设，则 二、考点聚焦： 地 城 考点01 空间向量的线性运算 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西河池·期末)在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接， 所以．故选：A． 2．(25-26高二上·广西来宾·期中)在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意知，因为，所以，则.故选：B 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，因为，所以.故选：A 2．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   【答案】． 【详解】因为、分别是棱、的中点，且， 所以 .故答案为：. 3．(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意，得.故选：C. 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为.故选：C. 5．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故答案为：144. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·南宁·期末)在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，.故选：B     2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 .故选：D 3．(24-25高二下·安徽天一大联考·)已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，.故选：C. 4．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】，当且仅当与重合时，等号成立，故的最小值为12.故选：D 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 【经典例题】 1．已知点，，若，则点的坐标是 . 【答案】 【详解】由点，，得，则，所以点的坐标是. 故答案为： 2．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以，则.故选：B 3．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知点，所以.故选：B. 4．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,故向量在向量上的投影向量为，故选：D 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西百色·期末)已知，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 3．(24-25高二上·广西部分名校·)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，，所以向量在向量上的投影向量是，故选：D 4．(25-26高二上·广西百色·期末)在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴，∴，令，得.故选：B. 5．已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为:． 6．(23-24高二下·江苏江都中学·)已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】/ 【详解】由题设，，则，，令，则，所以，则，故，所以， 故当时，取得最小值，此时坐标为.故答案为： 【巩固练习】 1．(25-26高二上·桂林·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，.故选：B. 2．(23-24高二上·广西桂林·期末)在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为. 故选：C. 3．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【详解】由题意，,,,,,∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；设平面的法向量为， 则, 由，得，令得，则正确;设平面的法向量为，则，由，得，令得，则不正确.故选：. 4．(24-25高二上·广西名校联盟·期中) (多选)已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】，A正确；，，，B错误；由得，C正确；在方向上的投影向量为，D错误.故选：AC. 地 城 考点03 平行、垂直向量的判定与求参 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西崇左·期末)已知空间向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由向量，，且，得，解得，所以.故选：B 2．(20-21高二上·北京中关村中学·期中)已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】由向量，，且，得，则，则.故选：C 【变式训练】 1．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】向量，，由，得，解得，所以.故选：C 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知向量，若，则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以，解得.故答案为：2 3．(25-26高二上·吉林·期末)已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 【答案】A 【详解】因为空间向量与共线，显然，所以，解得，，所以.故选:A. 4．(25-26高二上·新疆喀什·期中)设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为.因为、、三点共线，所以.所以.故选：D 【巩固练习】 1．(23-24高二上·甘肃武威古浪县第一中学·期中)已知点，，，若直线，则 ． 【答案】2 【详解】因为，，所以，又，所以，又，所以，解得，故．故答案为：2 2．(25-26高二上·湖南长沙名校联合体·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（    ） A．2 B．-2 C． D．6 【答案】A 【详解】因为，所以，故选：A 3．(25-26高二上·河北保定部分高中·)设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B． C．4 D．10 【答案】B 【详解】因为，所以，则，解得．故选：B. 地 城 考点04 共面向量判定与求参 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西南宁“4N”联盟学校·期中) (多选)已知向量，若共面，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得， 即，则，解得.故选：BC. 2．(25-26高二上·福建南平松溪一中·期中) (多选)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】对于A，假设共面，则存在不全为0的实数，使得，因为为空间的一个基底，所以，该方程组无解，假设不成立，所以不共面，能构成空间的一个基底，所以A符合题意；对于B，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，该式显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底.对于C，假设共面，则存在不全为0的实数，使得，则，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，所以C不符合题意；对于D，若共面，则存在不全为0的实数，使得，则，该方程组无解，所以不共面，能构成空间的一个基底，所以D符合题意.故选：ABD. 【变式训练】 1．(25-26高二上·广东广州八十九中学·期中)，，，若、、共面，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、、共面，不妨设，即， 所以，解得.故选：D. 2．已知，若四点共面，则 . 【答案】/ 【详解】由四点共面可知存在实数m，n，使得，即，则有，解得故答案为： 3．(25-26高二·高二重点1空间向量的运算·期中)已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，，所以，，，因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得，所以，所以，解得．故选：B 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；对B，因为，所以共面，故B正确；对C，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；对D，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；故选：B. 5． (多选)若是空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以向量共面，则不是空间的一个基底．因为构成空间的一个基底，所以向量不共面，设，则无解，所以不共面，则是空间的一个基底．因为构成空间的一个基底，所以向量不共面，设，则,无解， 所以不共面，所以是空间的一个基底．因为，所以共面，则不是空间的一个基底．故选：BC 6．(17-18高二上·内蒙古乌兰察布北京八中分校·期末)已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时，，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且，即，解得.故选：D 7．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则，由在所在平面内，得，所以.故选：B 8．(25-26高二上·河南多校·)三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ． 【答案】/1.5 【详解】  点为的重心，，为的中点， ，，，， ，四点共面，，， ，当且仅当时取等号．故答案为：． 【巩固练习】 1．(25-26高二上·河北邢台威县·期中)已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，，共面，又向量不共线，即存在唯一实数对，使得，所以，所以，解得,故选：C 2．(25-26高一上·山东枣庄·期中)已知，若四点共面，则实数 ． 【答案】 【详解】四点共面，向量可由线性表示，即存在实数，使得，，解得，．故答案为：． 3．(25-26高二上·广东仲元中学·期中)已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】依题意得，因为四点共面，所以共面，所以存在实数使得，即，所以，解得.故选：D. 5．(25-26高二上·陕西榆林府谷县府谷中学·期中)设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，、、共面，设，即， 即，解得.故选：C. 6．(25-26高二上·河南多校·期中)在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接并延长交于，因为是的重心，所以为的中点，所以，，所以，所以.故选：B. 7．(25-26高二上·云南怒江傈僳族兰坪白族普米族自治县·期中)在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，因为，所以，又在四棱柱中，有，且，所以，即，所以，，，四点共面，所以，解得.故选：C. 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(22-23高二上·河南洛阳强基联盟大联考·)已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【详解】（1），， 若，则， 即，，，解得. （2），， 若，则， 即，化简可得，解得或. 2．(25-26高二上·云南玉溪第三中学·月考)如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示；(2)求． 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴．∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以， 所以． 3．(25-26高二上·河北保定部分高中·)已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 【详解】（1）因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． （2）由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 4．(24-25高二上·安徽天一大联考·)已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【详解】（1）由题可得：， ， 因为，所以，即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即，于是有 所以，即的值为. 【变式训练】 1．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即，所以，解得， 所以实数k的值为－1. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则，故. （2）， 所以. 因此，向量与夹角的余弦值为. 3．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)在平行六面体中，，，，设，，．   (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； 【详解】（1），，，，，，， 又，，， ． （2），，，， 又， ． 4．(25-26高二上·广西崇左·期末)在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 【详解】（1）在正四面体中，， 所以. （2）依题意，，， 所以 . 【巩固练习】 1．(22-23高二上·新疆巴音郭楞蒙古第一中学·月考)已知向量，，，求：(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由，得 （2） （3） 4．(20-21高二·山东师范大学附属中学·月考)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且. （1）设，，，试用、、表示； （2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长. 【详解】（1）由，，， 由向量加法的平行四边形法则可得， 因此，； （2）为四棱柱的中心，即为线段的中点. 由已知条件得，，，，. 由（1）得， 则 . 所以的长为，所以的长为. 三、达标检测 1．(25-26高二上·福建泉州第五中学·期中)若不是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不是空间的一组基底，所以共面，则存在实数使得，则，可得方程组，解得.故选：B 2．(25-26高二上·福建莆田第二十五中学·期中)已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 . 【答案】5 【详解】因为，，三个向量共面，所以设，即，所以，解得，故答案为：5. 3．(多选)在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，则（   ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为90° 【答案】BCD 【详解】在平行六面体中，由，得该平行六面体底面是边长为1的正方形，且，对于A，由，得，A错误；对于B，由，得，B正确； 对于C，，， 则，C正确；对于D，，又，则，即，因此直线与所成的角为，D正确.故选：BCD 4．(多选)如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【详解】由题意，，，对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因为，即，所以长为，故B正确；对于选项C：因为，且，可得，可得，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；对于选项D：因为，且，则， 所以，故D正确；故选：ABD. 5．(23-24高二上·江苏苏南八校·) (多选)已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】BC 【详解】对于A：，则，A错误；对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确；对于C：，，又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确；对于D：在上的投影向量的模为，D错误.故选：BC. 6．(25-26高二上·桂林·期末) (多选)已知空间中的两点，，则（   ） A． B．线段AB的中点坐标为 C．点A到x轴的距离为 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【详解】由题意得：，，故A正确；线段的中点为，故B正确；点到轴的距离为，故C正确； 由为直线的一个方向向量，因为，所以与不共线，所以不是直线的一个方向向量，故D错误；故选：ABC. 7．(22-23高二上·河北定州·期末)在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.①根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；故命题①正确．②由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面；故命题②正确．③对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，若，，，四点共面，则，，，，方程组无解，故，，，四点不共面；故命题③错误．④若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底；故命题④错误．⑤因为，所以向量共面，不能够成空间的一个基底，故命题⑤错误．真命题有2个.故选：C 8．(25-26高二上·福建厦门熹海高级中学·期中)已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【详解】（1）已知，． 设，则，则有，解得，即，则.故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得，即， 解得，故的值为. 9．(25-26高二上·四川凉山州西昌·期中)已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）由， 得，可得. （2）因为，所以. 即，解得. 10．(25-26高二上·广东东莞众美中学·月考)如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：   (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 【详解】（1）由题意可知：，，，. 所以，，. （2）， . 11．(22-23高二上·浙江湖州三贤联盟·期中)如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示；(2)求；(3)求的长． 【详解】（1） . （2）因为，由（1）知， 所以 . （3） . 12．(25-26高二上·河南九师联盟·)如图，在正三棱柱中，是的中点.  (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 13．(25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中)已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 试卷第1页，共3页 22 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 专题01空间向量及其运算 一、知识回顾： 1.空间向量的线性运算 (1)加法：a+b=OA+AB=OB: (2)减法：a-b=04A-0C=C4. (3)数乘运算： 当1>0时，a=OA=P0; 0 →A 当1<0时，a=2OA=MW: PAA>0之0 当=0时，a=0. N←AiA<M 2.共面向量定理 (1)向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面台存在实数对(x,y),使p=xa+yb (2)四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）台OP=xOC+yOA+OB且x+y+二=1. 3.空间向量的数量积：ab=ab1cos<a,b>,规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设=(a4,4,a),b=(b,b2,b),则 运算 坐标表示 加法 a+b=(a+b,a2+b2:4+b) 减法 a-b=(a1-b,a2-b2,a4-b3) 数乘 =(2a,a2,1a),∈R 数量积 a.b=ab+a,b2十a,b 5.两个向量的平行与垂直： a=(a,a,a),b=(6,b,b) 4=2b1 平行(a万) abb≠0)台a=b一4，=b,(2eR) 4=b 垂直(a⊥b) a⊥b⊙a-b=0⊙ab+a,b,+a,b=0(a,b均非零向量) 6.向量长度：若a-a,a,a,),则1aa==Va2+a2+a 127 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 7.两个向量夹角：设a-(a,4,a)b=,b),则cos<aba而G+G+GG+G+ a.b ab,ab,ab; 二、考点聚焦： 目目 考点01 空间向量的线性运算 【经典例题】 1.(25-26高二上·广西河池期末)在三棱柱ABC-A,B,C中，设AB=a,AC=b,A4=c,N为B,C的中 点，则AN=() La+lb+c B. 1 2+2 a+b+c C.a+-b+d 11b-c 2 D.a+ 【答案】A 【详解】如图，取BC的中点M,连接AM,MN, 所以aW=M+N-(A+AC+AM-4+-c,故选： 2 2.(25-26高二上·广西来宾期中)在四面体OABC中，点M满足4OA=5OM,N为BC的中点，若 MN=xOA+yOB+OC,5x+y+=() A.3 B.-3 C.4 D.-4 【答案】B 【详1由题意知w=M0+0N=专o1+o8+0c)=含010B+0c,因为 41 @士O8+E0C,所以ty方长则5x+y+z=3,故选D 【变式训练】 1.(25-26高二上·广西来宾第八中学期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂 直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，己知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,若AB=ā， AD=b,AP=c,且PE=BC,P为CD的中点，则En=() 2/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 A. 3a+4-4c 3· 555 4b+-c 1055 555 【答案】A 【详解】因为PE=1EC,所以PC=5PE,因为PC=PA+AC=-AP+AB+AD,所以 EF=F-PE-c+P0专Pc=Pc4D-A-AD-A+A0)4D-A网 -4D+B+AD=a+-故选：A 10 10 55 2.(24-25高二上广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，己知E、F分别是四面体ABCD的棱AD、BC 的中点，点G在线段EF上，且EG=2GF,设向量AB=a,AC=b,AD=c,则AG=(用 {a,b,c}表示) G D(… 1-1,1- 【答案】a+b+二c. 36 【详解】因为E、F分别是棱AD、BC的中点，且EG=2GF, 所以AG=A服+G=号4D+=号4D+引a+AC+GF) 3 a++c赦答案为+6+ 3a 3 6 336 3.(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O 是对角线AC,BD的交点用基底{AB,AD,AP表示PO,正确的是() A.AP-T4B-T4D B.AP-1 AB-AD C.4B+1AD-AP D.AB-AD-AP 2 2 【答案】C 【详解】如图，由题意，得P0=A0-AP-4C-AP-(a+A0)-AP-AB+AD-AP故选：C D 4.(25-26高二上广西来宾期中)如图，在长方体ABCD-ABCD中，0是AD的中点，AB=BC=2, 3/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 AA,=√3，则向量A,C在向量AO上的投影向量为( 240 A. B. 1 AO C. 40 2 【答案】C 【详解】如图，连接AC,CO,取AO的中点B,连接CE.易得AC=AC, 则所求的投影向量为AC在AO上的投影向量，易得 AC=V22+2=2W2,C0=V22+(V3)+1=22, 则CB1A0,A迟=40，所以4C在A6上的投影向量为兮40故适：C 5.(24-25高二上广西名校联盟·期中)已知M,E,F均为圆柱OO2表面上的动点，直线EF经过圆柱 OO的中心O,OO2=24,圆柱OO的底面圆的半径为5，则ME.MF的最大值为 【答案】144 【详解】因为E.M=(MO+OE)(M0+OF)=(M0+OE)(M0-OE)=Mo'-OE°，又因为o为圆柱 0,0,的中心，且M,B,F均为圆柱0O,表面上的动点，则M⊙≤52+122=169，当且仅当M为底面圆 周上时，等号成立，且⊙E≥52-25，当且仅当E为过0且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得 02 ME.MF=MO-OE≤169-25=144，所以ME.MF的最大值144.故答案为：144 【巩固练习】 1.(25-26高二上·南宁.期末)在三棱锥O-ABC中，点M是BC的中点，点N在线段OM上，且 0N-0M.用aA,O,c表示AW,则AW等于() A.-)B.-c.-.- 【答案】B 【详解】如图，AW=ON-0A=OM-O1=}OB+BM-01 4/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 =0B-04+BC=0B-0A+0C-oB=-0A+oB+oc故选：B 63 66 66 2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示， 已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,且PE=二PC,若AB=a,AD=b,AP=c,则BE= D 51 A. 5a-16+5c B.3a+16-56 C.3a-16-36 44 4 4 441 444 D.a++ 4 4 【答案】D 【详解1BE=BP+P=AP-AB+子PC=AP-AB+(ac-Ad)=AP-AB+(B+AD-AP) =eaa+6-小-子+子微通D 3.(24-25高二下·安徽天一大联考)己知在三棱锥O-ABC中，D是棱OA上靠近点A的三等分点，B为 棱BC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c,则DE=() A. 0+n0--0-+D.+- 322 322 【答案】C 【详解】根据题意，D8=0E-0D-OB+00)0A=4+b+)c 3a+ b+二c.故选：C 3 2 4.(24-25高二上广西部分名校)如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱O0的轴截面，M为上底面圆O 内一点，则MA·MB的最小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【详解】MA-MB=(M0+O,A-(M0+O,B)=MO°-0A=M0-22≥4-22=12，当且仅当M与0 重合时，等号成立，故MAMB的最小值为12故选：D 5/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 目目 考点02 空间向量运算的坐标表示 【经典例题】 1.已知点A(1,2,2),B(1,3,4),若AP=2AB,则点P的坐标是 【答案】(1,4,6) 【详解】由点A(1,2,2),B(1,3,4),得AB=(0,1,2),则AP=2AB=(0,2,4),所以点P的坐标是(，4,6). 故答案为：(1,4,6) 2.(25-26高二上广西来宾第八中学期中)已知空间中三点A(0,0,0),B(-1,-2,2),C(0,3,2),则 AB.BC-24C)=() A.7 B.-7 C.9 D.-9 【答案】B 【详解】因为A8=(1,-2,2),BC=1,5,0),AC=(o,3,2),所以BC-2AC=(（1,-1,-4),则 AB.(BC-2AC)=-1+2-8=-7.故选：B 3.4,25高=三上广西费百河-武鸣病中期中钓已知点4(2-10，B1-1-),向量a=（2,求向 量BA与a夹角的余弦值() A.-√2 B. 2 c. D. 2 【答案】B 【详解】由题可知点BA=(L01),所以co(BAa Ma √ 2故选：B 4.(25-26高二上·广西软州期末)已知向量a=(1,0,-2),b=(1,2,2),则向量a在向量6上的投影向量的坐标 为() B.(0,1,3) c引 【答案】D 【详解】b=P+22+22=3,à.b=1+0-4=-3,故向量a在向量6上的投影向量为 a.BB-38 b(1 2 5万333(333 故选：D 【变式训练】 1.(25-26高二上广西百色·期末)已知a=1,0,1),则川a=() 6/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 A.3 B.2 C.5 D.√ 【答案】D 【详解】|d=VP+0+12=√2.故选：D. 2.(24-25高二上广西玉林六校期中)已知a=(1,0,-1),b=(21,1),则3a+b=一 【答案】(5,1，-2) 【详解】因为ā=(1,0，-1)，b=(2,1,1),所以3ā+b=3(1,0,-1)+(2,1,1)=(5,1,-2)故答案为：(5,1，-2) 3.(24-25高二上广西部分名校)已知空间向量a=(0,3,2),b=(-1,2,-1),则向量ā在向量6上的投影向 量是() B. 242 24_2 333 C.（-2,4,4) 333 【答案】D 【详解】由已知可得a.b=6-2=4, 团=V+4+1=√6，所以向量a在向量方上的投影向量是 ab b 2, 24 同33 一b= 故选：D 4.(25-26高二上·广西百色·期末)在平面ABC中，AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),则平面ABC的一个法向 量n=() A.1,1,1) B.(1,1,0) C.(0,1,1) D.(1,0,1) 【答案】B n.AB=0 【详解】设平面ABC的一个法向量为=（化，y,z）,则 n.BC=0' x+y=00,=0,令 -x+y+=0 x=y=1,得n=(1,1,0).故选：B. 5.已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(2+1,4,3),若AB,AC的夹角为锐角，则1的取值范围为 【答案】(-2,4)U(4,+∞) 【详解】AB=(2,1,1),AC=(1,2,2),AB,AC的夹角为锐角，.AB·AC=21+2+2>0,且不能同向 共线.解得九>-2,2≠4.则1的取值范围为(-2,4)儿U(4,+∞).故答案为：(-2,4)U(4,+∞) 6.(23-24高二下.江苏江都中学)已知点O0,0,0),A(1,2,2),B(2,1,1),P(1,0,2),点0在直线0P上 运动，当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标是 【答案】(0)09018 9 7/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 【详解】由题设，OP=4,0,2),则O2=OP=(2,0,2),1eR,令2(x,y,=),则O0=(x,y,-),所以 x=元，y=0,==21,则Q(2,0,2),故QA=1-元，2,2-22)，QB=(2-,1,1-2)，所以 e4.25=1-0-2)+2+21-1-2)=2-3+2+2+222-32+)=52-92+6=5(2-9y+39 1020 故当=9时，D4Q5取得最小值，此时Q坐标为(2,0，？.故答案为：(20号 9 9 。9 10 1051 1051 【巩固练习】 1.(25-26高二上桂林期末)已知向量a=（-1,-3,2),b=(1,0,2),则a+6=() A.(0,2,4) B.(0,-3,4) C.（-2,-3,0 D.(0,3,4) 【答案】B 【详解】a=（-1-3,2),b=(1,0,2),.a+b=(0,-3,4)故选：B. 2.(23-24高二上·广西桂林期末)在空间直角坐标系O-xz中，点(1,1,2)到坐标原点O的距离为() A.√ B.5 C.√6 D.1 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系0-xz中，点(1,1,2)到坐标原点0的距离为V1-0)2+(1-0)2+(2-0)2=√6 故选：C 3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A,BCD是棱长为1的正方体，给出下列结论中， 正确的是() A.直线BD的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD的一个方向向量为(2,2,2) C.平面BCD的一个法向量为A,1,1) D.平面B,CD的一个法向量为(1,1,1) 【答案】AC 【详解】由题意，B(1,0,0),B(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D（0,1,1),BD=（-1,1,1),∴向量(2,2,2) n-cB=0 为直线BD的一个方向向量，故A正确，B不正确：设平面B,CD的法向量为N=(x,y,Z),则 n.CD=0 由CB1=(0,-1,1),CD=（-1,0,1)得 x+:-0,令x=1得1=L,1),则C正确：设平面，CD的法向量为 -y+==0 8/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 园00由c国=0-1,0=(100得{t00,◆6=1期m=01.则 m.CB =0 m=(a,b,c),则{ D不正确故选：AC 4.(2425高二上·广西名校联盟期中)（多选）已知空间向量a=(（-2,-4,4),b=(3,-4,0),c=(1,2,-2), 则() A.a+b=(1,-8,4) B.3= C.a∥c D.6在c方向上的投影向量为-° 【答案】AC 【详解】ā+b=(-2,-4,4)+(3,-4,0)=(1,-8,4),A正确：bl=9+16=5,G=V1+4+4=3, .c 5=3b,B错误；由a=-2c得a/1c,C正确；6在c方向上的投影向量为 P·cs 9 错误故选：AC 目目 考点03 平行、垂直向量的判定与求参 【经典例题】 1.(25-26高二上广西崇左期末)已知空间向量a=(m,n,8),b=(-2,1,-4),且a/b,则m十n=() A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】B 【详群由响量2=6似28，b三(2山-0，且ab:得2片号，解得m=4n=2,所议m+1上卫 故选：B 2.(20-21高二上北京中关村中学期中)已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,1),且a上五，那么=（) A.v10 B.23 C.11 D.5 【答案】C 【详解】由向量a=(-1,2,1),b=(3,x,1),且aLb,得-1×3+2x+1x1=0,则x=1,则 =V3+1+1=i.故选：C 【变式训练】 1.设x,y∈R,向量a=(1,x,y),b=(2,-4,2),a/6,则x-y=() A.-7 B.-5 C.-3 D.1 【答案】C 9/27 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 【详解】向量ā=(Lx,以，b=(2,-4,2),由a/5,得}青台，解得x=-2,y=1,所以x-y=-3.故 选：C 2.(25-26高二上·广西柳州第一中学期中)已知向量a=（x,1,-2),b=(2,2,3),若a⊥b,则x=、 【答案】2 【详解】因为ā1b,所以2x+2-6=0,解得x=2.故答案为：2 3.(25-26高二上·吉林期末)已知空间向量ā=(1，-1，y)与b=（-2,x,4)共线，则y+x=() A.0 B.6 C.-4 D.4 【答案】A 【联解)因为空间向量a-山》与b=(2x4)共线，显然x0,所以专=光解得x=2 y=-2,所以y+x=0.故选：A 4.(25-26高二上·新疆喀什·期中)设g,e,是空间两个不共线的非零向量，己知AB=2e,+e2, BC=e+3e,,DC=22-e2,且A、B、D三点共线，则实数k的值为（） A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【答案】D 【详解】因为BD=BC+cD=BC-DC=(e+32)-（2e-e2)=-e+4e,.因为A、8、D三点共线，所以 AB/1BD.所以2×4-（-1)×k=0→k=-8.故选：D 【巩固练习】 1.(23-24高二上·甘肃武威古浪县第一中学期中)已知点A(-1,1,1),B(0,2,3),CD=(a-1,b+1,2),若 直线AB/1CD,则a-b=一· 【答案】2 【详解】因为A(-1,1,1),B(0,2,3),所以AB=(1,1,2),又AB/1CD,所以AB∥CD,又 CD=a-16+12,所以1-子解得a-20=0,放a-=2.故答案为：2 2.(25-26高二上湖南长沙名校联合体·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，B的法向量分别为 n=(2,a,3)2=(1,-1,b),若a⊥B,则a-3b=() A.2 B.-2 c D.6 【答案】A 【详解】因为d⊥B,所以乃·m2=2-a+3弘=0→a-3b=2,故选：A 10/27专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 专题01空间向量及其运算 一、知识回顾： 1.空间向量的线性运算 (1)加法：a+b=OA+AB=OB: (2)减法：a-b=04A-0C=C4. (3)数乘运算： 当1>0时，a=OA=P0; 0 →A 当1<0时，a=2OA=MW: PAA>0之0 当=0时，a=0. N←AiA<M 2.共面向量定理 (1)向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面台存在实数对(x,y),使p=xa+yb (2)四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）台OP=xOC+yOA+OB且x+y+二=1. 3.空间向量的数量积：ab=ab1cos<a,b>,规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设=(a4,4,a),b=(b,b2,b),则 运算 坐标表示 加法 a+b=(a+b,a2+b2:4+b) 减法 a-b=(a1-b,a2-b2,a4-b3) 数乘 =(2a,a2,1a),∈R 数量积 a.b=ab+a,b2十a,b 5.两个向量的平行与垂直： a=(a,a,a),b=(6,b,b) 4=2b1 平行(a万) abb≠0→a=b台a2=b(∈R) 4=b 垂直(a⊥b) a⊥b⊙a-b=0⊙ab+a,b,+a,b=0(a,b均非零向量) 6.向量长度：若a-a,a,a,),则1aa==Va2+a2+a 1/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 7.两个向量夹角：设a-(a,4,a)b=,b),则cos<aba而G+G+GG+G+因 a.b ab,ab,ab; 二、考点聚焦： 目目 考点01 空间向量的线性运算 【经典例题】 1.(25-26高二上广西河池期末)在三棱柱ABC-A,B,C中，设AB=a,AC=b,AA=c，N为B,C的中 点，则AN=() A.gi-hsd n. 1 a+b+c C.a+-b+d 1+1i-c 2 D.2a+20 2.(25-26高二上·广西来宾·期中)在四面体OABC中，点M满足4OA=5OM,N为BC的中点，若 W=xOA+yOB+=OC,则5x+y+二=() A.3 B.-3 C.4 D.-4 【变式训练】 1.(25-26高二上·广西来宾第八中学期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂 直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,若AB=ā， AD=i,AP=c,且Pi=BC,F为CD的中点，则EF=() B 3· 4b+5 4 -a+ 55 5 5 5 2/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 2.(2425高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，己知E、F分别是四面体ABCD的棱AD、BC 的中点，点G在线段EF上，且EG=2GF,设向量AB=a,AC=b,AD=c,则AG=(用 {a,b,c}表示) 3.(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O 是对角线AC,BD的交点.用基底{AB,AD,AP表示PO,正确的是() A.D号4DB.AP-4B-ADc4B+4D-aDD.西}4D-0 2 2 2 4.(25-26高二上广西来宾期中)如图，在长方体ABCD-ABC1D中，0是AD的中点，AB=BC=2, A4=√5，则向量AC在向量AO上的投影向量为( A.240 B.二AO 3 C.二AO D. 5.(24-25高二上·广西名校联盟期中)已知M,E,F均为圆柱OO2表面上的动点，直线EF经过圆柱 OO2的中心O,OO2=24,圆柱O02的底面圆的半径为5，则M瓜.MF的最大值为 3/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 【巩固练习】 1.(25-26高二上·南宁.期末)在三棱锥O-ABC中，点M是BC的中点，点N在线段OM上，且 ON=oM.用aA,OB,oC表示AN,则AN等于() A.-)B.-i c.oo-Oi D.- 6 2 2 2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示， 已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA1平面ABCD,且PB=PC,若AB=a,AD=b,AP=G,则BE 4 D A. S.1b+二CB.S 40-4 n.++ 3 3.(24-25高二下·安徽天一大联考)己知在三棱锥O-ABC中，D是棱OA上靠近点A的三等分点，B为 棱BC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c,则DE=() A. a+号b+cB.a-16-1e 1,1 -a- C.-2a+1641 22 3a-2b-2c a+26+2D.+5+ 322 4.(24-25高二上·广西部分名校·)如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱OO的轴截面，M为上底面圆O 内一点，则MA·MB的最小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 目目 考点02 空间向量运算的坐标表示 【经典例题】 1.已知点A(1,2,2),B(1,3,4),若AP=2AB,则点P的坐标是一 2.(25-26高二上广西来宾第八中学期中)已知空间中三点A(0,0,0),B(-1,-2,2),C(0,3,2),则 AB·BC-2AC=() A.7 B.-7 C.9 D.-9 4/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 3.425高=上广西费百河一武鸣高中期中)已知点42-10)，81-1-，向量a-（可，求向 量BA与a夹角的余弦值() A.-√2 B. 2 c.3 D.② 2 4.(25-26高二上广西钦州·期末)已知向量a=(1,0,-2),6=(1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标 为() 4店引 B.(0,1,3) 【变式训练】 1.(25-26高二上·广西百色·期末)已知a=1,0,1),则1a=() A.3 B.2 C.5 D.√互 2.(24-25高二上广西玉林六校期中)已知ā=(1,0，-1)，b=(21,1),则3a+6=一 3.(24-25高二上广西部分名校)已知空间向量1=(0,3,2)，b=（-1,2,-1),则向量a在向量6上的投影向 量是() B C.（-2,4,4) 242 333 5/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 4.(25-26高二上·广西百色·期末)在平面ABC中，AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),则平面ABC的一个法向 量n=() A.1,1,1) B.(1,1,0) C.(0,1,1) D.(1,0,1) 5.已知点A(L,2,1),B(3,3,2),C(2+L,4,3),若AB,AC的夹角为锐角，则1的取值范围为 6.(23-24高二下江苏江都中学)已知点O0,0,0),A(1,2,2),B(2,1,1),P(1,0,2),点0在直线0P上 运动，当QAQB取得最小值时，点Q的坐标是 【巩固练习】 1.(25-26高二上·桂林期末)已知向量a=（-1,-3,2),b=(1,0,2),则a+b=() A.(0,2,4) B.(0,-3,4) C.（-2,-3,0 D.(0,3,4) 2.(23-24高二上·广西桂林期末)在空间直角坐标系O-xz中，点(1,1,2)到坐标原点O的距离为() A.√2 B.√5 C.6 D.V11 3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-AB,CD,是棱长为1的正方体，给出下列结论中， 正确的是() 40 A.直线BD的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD的一个方向向量为(2,2,2) C.平面BCD的一个法向量为1,1,1) D.平面BCD的一个法向量为1,1,1) 6/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 4.(24-25高二上广西名校联盟期中)（多选）己知空间向量=(-2，-4,4)，b=(3,-4,0),c=(1,2,-2), 则() A.a+b=(1,-8,4) B.3=5l C.alle D.石在C方向上的投影向量为-含 目目 考点03 平行、垂直向量的判定与求参 【经典例题】 1.(25-26高二上广西崇左期末)已知空间向量a=(m,n,8),b=(-2,1,-4),且a/b,则m十n=() A.1 B.2 C.-2 D.-1 2.(20-21高二上北京中关村中学期中)已知向量a=(-1,2,),b=(3,x,1),且ā1b,那么5=() A.10 B.23 C.11 D.5 【变式训练】 1.设x,y∈R,向量a=(1,x,y),b=(2,-4,2),a∥b,则x-y=() A.-7 B.-5 C.-3 D.1 2.(25-26高二上广西柳州第-中学期中)已知向量a=(化，1，-2)，b=(2,2,3),若a上b,则x=一· 3.(25-26高二上吉林·期末)己知空间向量ā=(1，-1，y)与b=(（-2,x,4)共线，则y+x=() A.0 B.6 C.-4 D.4 7/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 4.(25-26高二上·新疆喀什期中)设g,e,是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e+ke, BC=g+3e,DC=22-e2,且A、B、D三点共线，则实数k的值为() A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【巩固练习】 1.(23-24高二上·甘肃武威古浪县第一中学期中)已知点A(-1,1,1),B(0,2,3),CD=(a-1,b+1,2),若 直线AB/ICD,则a-b=· 2.(25-26高二上·湖南长沙名校联合体·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，B的法向量分别为 n=(2,a3),2=(1,-1,b),若uLB,则a-3b=() A.2 B.-2 D.6 3.(25-26高二上·河北保定部分高中)设直线1的一个方向向量为m=(3,-1,-5),平面α的一个法向量为 n=(-6,2,t),若l11a,则t=() A.-10 B.-4 C.4 D.10 目目 考点04 共面向量判定与求参 【经典例题】 1.(25-26高二上广西南宁4"联盟学校期中)（多选）已知向量ā=(1x,2),b=(0,3,2),c=(（1,0,0),若 a,b,c共面，则x的值可以是() A.-2 B.-5 C.5 D.2 2.(25-26高二上福建南平松溪一中期中)（多选）若{a,b,©}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空 间的一个基底的是() A.a+b,c,a-b B.a,26,b-c C.a+b+c,a+2b,c-b D.a-b+c,b+c,a-c 8/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.(25-26高二上广东广州八十九中学期中)a=(1,1,2),b=(0,1,-1),c=(-3,5,k),若a、6、c共 面，则实数k为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知AB=(2,-3,0)4C=1,0,D,AD=(0,2,刀，若A,B,C,D四点共面，则2=一 3.(25-26高二高二重点1空间向量的运算期中)已知空间中点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3), D(1,1,入)，若A,B,C,D四点共面，则实数1的值为() A月 B.-3 2 c. D.3 2 4.(25-26高二上广西来宾·期中)已知空间向量a,b,c不共面，则与向量a+b,a-c共面的向量为() A.a B.b+c C.b-c D.a+b+c 5.(多选)若{a,b,c}是空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是() A.a+b,b+c,a-c)B.a+2b,a-b,c)C.a,a+b,a-2c)D.a+c,b-c,a+b) 6.(17-18高二上内蒙古乌兰察布北京八中分校期末)已知a=(2,-1,3),b=（-1,4,-2),c=(7,5,2),若 ā，6，c三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数1的值为() A.0 B.5 C.9 D.65 1 9/16 专题01空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 7.己知P在△ABC所在平面内，O为空间中任一点，若AP=xOA+ B oC,则x=() 4 5 1 19 19 A. C. D. 20 B.、1 20 20 20 8.(25-26高二上河南多校)三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的 平面分别交PA,PB,PC于点A',B',C',且PA=xPA,PB=yPB,PC=-PC,且x>0,y>0,Z>0,则 1+上+的最小值为一 x v Z 【巩固练习】 1.(25-26高二上·河北邢台威县期中)已知a=(2,1,0),b=(0,12),c=(2,2,m)，若a,b,c共面，则 m=(） A.0 B.1 C.2 D.-1 2.(25-26高一上山东枣庄·期中)已知AB=(2,-1,3),AC=(-1,1,-2),AD=(0,1,2),若A,B,C,D四点共 面，则实数见=一 3.(25-26高二上广东仲元中学期中)已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面， 则x为() A.8 B.9 C.10 D.11 5.(25-26高二上陕西榆林府谷县府谷中学期中)设空间向量e1=(1,1,0),e2=(2,4,),e2=(2,3,1).若 只、e2、e,不能构成空间的一个基底，则实数2=() A.0 B.√2 C.2 D.1 6.(25-26高二上·河南多校·期中)在四面体ABCD中，G是△ACD的重心.记AB=a,AC=b,AD=c,若 BG=xa+yb+zc,x+y+=() A B.- c D. 2 3 3 10/16专题01 空间向量及其运算 高二数学寒假强化训练导学案 专题01 空间向量及其运算 一、知识回顾： 1．空间向量的线性运算 （1）加法：； （2）减法：. （3）数乘运算： 当时,; 当时,; 当时,. 2.共面向量定理 （1）向量不共线，则向量与向量共面存在实数对，使. （2）四点共面（其中不共线）且． 3.空间向量的数量积：．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 6.向量长度：若，则. 7.两个向量夹角：设，则 二、考点聚焦： 地 城 考点01 空间向量的线性运算 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西河池·期末)在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广西来宾·期中)在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   3．(24-25高二下·山东菏泽鄄城县第一中学·开学考)在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【巩固练习】 1．(25-26高二上·南宁·期末)在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·安徽天一大联考·)已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 【经典例题】 1．已知点，，若，则点的坐标是 . 2．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 3．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西百色·期末)已知，则（   ） A．3 B．2 C． D． 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知，则 . 3．(24-25高二上·广西部分名校·)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西百色·期末)在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 5．已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 6．(23-24高二下·江苏江都中学·)已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【巩固练习】 1．(25-26高二上·桂林·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·广西桂林·期末)在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 4．(24-25高二上·广西名校联盟·期中) (多选)已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 地 城 考点03 平行、垂直向量的判定与求参 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西崇左·期末)已知空间向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．(20-21高二上·北京中关村中学·期中)已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【变式训练】 1．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知向量，若，则 ． 3．(25-26高二上·吉林·期末)已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 4．(25-26高二上·新疆喀什·期中)设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(23-24高二上·甘肃武威古浪县第一中学·期中)已知点，，，若直线，则 ． 2．(25-26高二上·湖南长沙名校联合体·月考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（    ） A．2 B．-2 C． D．6 3．(25-26高二上·河北保定部分高中·)设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B． C．4 D．10 地 城 考点04 共面向量判定与求参 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西南宁“4N”联盟学校·期中) (多选)已知向量，若共面，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 2．(25-26高二上·福建南平松溪一中·期中) (多选)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1．(25-26高二上·广东广州八十九中学·期中)，，，若、、共面，则实数为（   ） A． B． C． D． 2．已知，若四点共面，则 . 3．(25-26高二·高二重点1空间向量的运算·期中)已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西来宾·期中)已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 5．(多选)若是空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（   ） A． B． C． D． 6．(17-18高二上·内蒙古乌兰察布北京八中分校·期末)已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 7．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高二上·河南多校·)三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ． 【巩固练习】 1．(25-26高二上·河北邢台威县·期中)已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．(25-26高一上·山东枣庄·期中)已知，若四点共面，则实数 ． 3．(25-26高二上·广东仲元中学·期中)已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．(25-26高二上·陕西榆林府谷县府谷中学·期中)设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·河南多校·期中)在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高二上·云南怒江傈僳族兰坪白族普米族自治县·期中)在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(22-23高二上·河南洛阳强基联盟大联考·)已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 2．(25-26高二上·云南玉溪第三中学·月考)如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示；(2)求． 3．(25-26高二上·河北保定部分高中·)已知空间中三点． (1)若，求a的值； (2)若与的夹角为，求a的值. 4．(24-25高二上·安徽天一大联考·)已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【变式训练】 1．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 3．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)在平行六面体中，，，，设，，．   (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示. 4．(25-26高二上·广西崇左·期末)在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 【巩固练习】 1．(22-23高二上·新疆巴音郭楞蒙古第一中学·月考)已知向量，，，求：(1)；(2)；(3). 4．(20-21高二·山东师范大学附属中学·月考)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且. （1）设，，，试用、、表示； （2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长. 三、达标检测 1．(25-26高二上·福建泉州第五中学·期中)若不是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·福建莆田第二十五中学·期中)已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 . 3．(多选)在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，则（   ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为90° 4．(多选)如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 5．(23-24高二上·江苏苏南八校·) (多选)已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 6．(25-26高二上·桂林·期末) (多选)已知空间中的两点，，则（   ） A． B．线段AB的中点坐标为 C．点A到x轴的距离为 D．直线的一个方向向量为 7．(22-23高二上·河北定州·期末)在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．(25-26高二上·福建厦门熹海高级中学·期中)已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 9．(25-26高二上·四川凉山州西昌·期中)已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 10．(25-26高二上·广东东莞众美中学·月考)如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：   (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 11．(22-23高二上·浙江湖州三贤联盟·期中)如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示；(2)求；(3)求的长． 12．(25-26高二上·河南九师联盟·)如图，在正三棱柱中，是的中点.  (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 13．(25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中)已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 试卷第1页，共3页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $