精品解析：河南省濮阳市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且斜率为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 3. 已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 4. 已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 6. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线的左焦点为，的伴生椭圆与在第一象限的交点为，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 8. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. ， C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于，两点（点在第一象限），且，则（ ） A. 的方程为 B. 直线的方程为 C. D. 的面积为 11. 在正项数列中，，且对任意，，数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且是递增数列，则的取值范围为 D. 若，，则（）的最大值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数及其导函数满足，则__________. 13. 已知数列满足，，则__________. 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记是等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最小值. 16. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 17. 记是数列的前项和，已知，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E，F分别为AB，AD的中点，点N在棱PA上，且. （1）求证：平面NEF. （2）球M的球心在棱PC上，点E，F，B，D都在球M的球面上. （i）求球M的表面积； （ii）求二面角的正弦值. 19. 已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. （1）求的方程. （2）过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点且斜率为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【详解】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得出数量积为，计算求值即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得， 故选：A. 3. 已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列前项和公式求出首项，再代入前项和公式计算. 【详解】等比数列前项和公式：，代入，， 则，则. 故选：C 4. 已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求得，利用，即可求得结果. 【详解】因为 ，所以 ， 由题意有 ，即， 可得，即， 解得， 故选：B 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】将原式进行变形化简，根据等比数列的定义进行判断即可. 【详解】数列满足，可得，则有， 所以，又， 根据等比数列的定义可知，数列是首项为2公比为3的等比数列，D选项正确； 所以，，则有，，， ， ，不是等差数列，A选项错误； ，，不是等差数列，B选项错误； ，，不是等比数列，C选项错误. 故选：D. 6. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 7. 若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线的左焦点为，的伴生椭圆与在第一象限的交点为，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义求出双曲线的伴生椭圆的方程,进而联立方程求出点坐标，再求解即可． 【详解】已知双曲线，得，即知， 所以双曲线的左焦点为，离心率， 设双曲线的伴生椭圆的离心率为，则，即， 因为椭圆的左焦点也为，设椭圆的半长轴为，半短轴为， 则，， 所以椭圆的方程为. 联立，解得， 设椭圆与在第一象限的交点为，即， 所以, 故选：B. 8. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，等价于， 由方程，等价于， 则方程的图象为圆心，半径的半圆， 由题意可得直线与半圆存在两个交点， 可作图如下： 当直线与半圆只有一个交点时，圆心到直线的距离为, 令，解得，可得； 令，由，解得或， 将代入，可得，解得，即. 当在与之间（含不含）时，与半圆的交点有两个， 综上可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，A错误； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象， 的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立， 的图象在轴下方，符合题意，C正确； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立， 的图象在轴上方，符合题意，D正确. 故选：BCD 10. 已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于，两点（点在第一象限），且，则（ ） A. 的方程为 B. 直线的方程为 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据动点的条件求出曲线的方程，再结合抛物线的性质求出直线的方程、弦长以及三角形的面积. 【详解】因为动点到点的距离比它到直线的距离小2， 所以动点到点的距离与它到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线. 所以，那么曲线的方程为，A正确； 设，因为， 由抛物线的焦半径公式，可得，对应的. 所以，所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即，B正确； 联立直线的方程与抛物线方程得，，化简得. 解得，所以弦长，C错误； 因为直线的方程为，所以原点到直线的距离为. 所以的面积为，D正确. 故选：ABD. 11. 在正项数列中，，且对任意，，数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且是递增数列，则的取值范围为 D. 若，，则（）的最大值为32 【答案】BD 【解析】 【分析】先通过递推关系构造等比数列求出，再代入的表达式，逐一分析每个选项的正确性. 【详解】选项A：赋值时，求和，代入递推式得：，结合，得方程：，解方程得，因此，所以选项A错误； 选项B：赋值时，推导递推公式得：，整理得比值关系：， 累乘得：，代入和比值关系：， 当时，，选项B正确； 选项C：递增数列需满足对任意的成立，计算： ， 要求对所有成立，即， 计算前几项最小值：，(单调递增)，因此，选项C错误； 选项D：，，（）的最大值，此时， 代入，则， 分析的符号：，故只需，解不等式：，因此，时，其余时， 计算非负项的和：，，， 连续项和的最大值为，选项D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数及其导函数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对求导后将，代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分类变形，可得，由此求出，再求解即可. 【详解】由，用分别替换， 得，， 联立，解得， 所以，联立,得. 由，，得， 所以， 又因为时，代入，得， 所以，故， 故答案为：5. 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】用表示出，结合三角形的存在性判断即可. 【详解】 因为，且， 所以， 又因为， 所以在三角形中， ， 即， 所以， 又因为的最大值为， 所以， 所以， 故离心率的范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记是等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最小值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. （2）将不等式进行化简，进而求得解集，最后求出最值即可. 【小问1详解】 设的公差为，由题可得， 解得，故. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，得， 整理得，解得或， 故的最小值为9. 16. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【小问1详解】 圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. 【小问2详解】 圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 17. 记是数列的前项和，已知，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推法结合求解即可. （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，，所以. 又，所以是首项为1，公比为4的等比数列，所以 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，① 所以，② ①②得， 故. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E，F分别为AB，AD的中点，点N在棱PA上，且. （1）求证：平面NEF. （2）球M的球心在棱PC上，点E，F，B，D都在球M的球面上. （i）求球M的表面积； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接BD，AC，设AC与BD交于点O，与EF交于点G，连接NG. ，F分别是AB，AD的中点，， 又由题意知，所以在中，有. 平面NEF，平面NEF，平面NEF. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）证明，根据线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，（i）利用向量法确定M点位置，求出球半径即可，（ii）根据向量法求二面角的余弦值，再转化为正弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，，，， 则，设，，. ，F，B，D都在球M的球面上，观察图可知E，F关于平面PAC对称，点B，D关于平面PAC对称，只需， 即， 解得，. 设球M的半径为R，则， 故球M的表面积为. （ii）由（i）可得，，. 设平面BMN的法向量为， 令，则， 设平面DMN的一个法向量为， 由，， 则令，则， 所以. ， 故二面角的正弦值为. 19. 已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. （1）求的方程. （2）过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设. 由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）1 【解析】 【分析】（1）根据，，结合，可求的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）（i）方法一：设，直线，将直线的方程与双曲线方程联立，根据为中点，可求的值. 方法二：涉及中点弦的问题，可用“点差法”证明. （ii）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论.当直线斜率存在时，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，表示出，结合二次函数的性质，求最小值即可. 【小问1详解】 设E的半焦距为.由题知，， ，， ，， 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $