精品解析：河南郑州中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题

河南郑州中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题 注意事项： 本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题58分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 偶函数 D. 奇函数 4. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若是函数的零点，则属于区间（ ）． A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ） A. B. C. D. 7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A B. C D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是1 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 奇函数 C. 以6为周期 D. 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 13. 函数（，）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为______． 14. 若函数，其中[a]表示不超过的最大整数.则的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. （1）计算：； （2）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，其中，求的值. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值． （2）若，求的值． 18. 已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）记关于的不等式的解集为 （i）求集合； （ii）若函数在集合内有且仅有1个零点，求实数m取值范围． 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明： （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，恒有，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题 注意事项： 本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题58分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据交集的定义求解. 【详解】由集合，， 所以，故C正确. 故选：C. 2. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系. 【详解】当，，则， 当时，，. ∴“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 偶函数 D. 奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数定义可求得其解析式，即可判断其单调性和奇偶性. 【详解】由题意得,得,即幂函数, 则函数在时单调递增,A错误，B正确. 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数,C，D错误. 故选：B 4. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小. 【详解】， ，， 则. 故选：A 5. 若是函数的零点，则属于区间（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意是函数的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可. 【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得， 所以，即． 又为上的减函数， 由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点． 故选：C． 6. 若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集M，再确定0,2与集合M关系，即得结果. 【详解】由解得，即，又 ，，所以，.选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求范围，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得时，，即； 时，；， . 故选：A. 8. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程至少有两个不同的交点，结合图象得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 关于x的方程至少有两个不等的实根， 即关于x的方程至少有两个不同的交点， 所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以，解得． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是1 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，错误. 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系以及平方关系计算可得A正确，结合角所在象限可得，联立解方程组可求得正弦、余弦值可判断BCD. 详解】易知， 可得，A正确； 由，得，所以， 所以，C正确； 联立，解得，则，B正确； ，D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 以6为周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过赋值法求出及多个函数值，判断函数的奇偶性；通过计算周期内的函数值确定周期；利用周期性计算求和结果，进而判断各选项的正确性. 【详解】令，得（），得，选项A正确. 令，得，即，是偶函数，选项B错误. 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得， 以此类推，可知在整数点上是以6为周期的周期函数， 下面严格说明周期为6，由题设可得， 进而可得， 所以， 所以是以为周期的函数，选项C正确. 一个周期内和为； 余3， 故，选项D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 13. 函数（，）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用五点法来研究振幅，周期，利用代入最高点可求，即可求解函数解析式. 【详解】由图可得：，，可得， 即，代入点，可得， 因为，所以， 即， 故答案为： 14. 若函数，其中[a]表示不超过的最大整数.则的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义以及对数函数定义域，利用换元法根据对数函数单调性计算可得结果. 【详解】已知函数， 令，则，， ，而， 随的增大而增大，则， 因此，函数值域为 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据集合的运算即可求出答案； （2）由题意得，列不等式组求解即可得到答案. 【小问1详解】 解不等式得，即， 故， 不等式即，解得， 故， 所以， ，则. 【小问2详解】 因为，可得， 又 则，解得， 所以实数的取值范围. 16. （1）计算：； （2）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，其中，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)利用指数、根式、零次幂和三角函数的基本性质化简计算. (2)先由单位圆上的点求出和的值，再用诱导公式化简表达式后代入计算. 【详解】（1） （2）因为点在单位圆上，所以，得，又，故，即，，； 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值． （2）若，求的值． 【答案】（1）最小正周期为，最大值为2，最小值为；（2）． 【解析】 【分析】（1）化简得，即得函数的最小正周期，再利用三角函数的图象和性质求出函数的最值得解； （2）由得，，再利用得解. 【详解】（1）由， 得 ， 所以函数的最小正周期为． 因为， 所以， 所以函数在上的最大值为2，最小值为． （2）因为， 所以． 又， 所以， 所以． 所以 ． 18. 已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）记关于的不等式的解集为 （i）求集合； （ii）若函数在集合内有且仅有1个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入即可求出答案； （2）（i）将代入不等式化简得，解关于的一元二次不等式求出，解指数不等式即可求出答案；（ii）方法一：分为和两种情况，在讨论时，再分为和两种情况，分别求解即可得到答案；方法二：由题意得在内有且只有一个根，设，，转化为直线与函数图象有且仅有一个交点，作出函数的图象，根据图象即可求出答案. 【小问1详解】 函数的图象过点， 所以，即， 则， 则，则， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 代入不等式，得， 即， 即，解得， 所以，故. （ii）法一： 当时，， 令得：，解得：， ∴当时，在内恰有一个零点， 当时，， ①若，即，则函数的图象与轴交于点， 是内的唯一零点，符合题意， ②若，即， 则i．，解得， ii.当，即时，，解得：， 是内的唯一零点， iii.当时，即时，，解得：， 是内的唯一零点， 综上可得，的取值范围是. 法二：由， 不是方程的根， ， 设，由知， 于是函数在集合内有且仅有1个零点， 等价于关于t方程在上有且仅有1个实数根， 即直线与函数图象有且仅有一个交点， 作图象： 于是知或， 即或， 故满足条件的实数m的取值范围为. 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明： （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，恒有，求实数k的取值范围． 【答案】（1）函数不是“伴随函数”，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）取，利用“伴随函数”的定义判断即得. （2）利用“伴随函数”的定义推得，再利用指数运算推理得证. （3）按分类，利用“伴随函数”的定义求出，再利用基本不等式求出的最小值，然后参变量分离，借助二次函数的值域求出范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，取，则， 此时不存在，使得， 所以函数不是“伴随函数”. 【小问2详解】 由函数在定义域上为伴随函数，则存在，使得， 由于函数在定义域上单调递增，故， 若，则， 依题意，存在，使得，矛盾， 因此，，则， 所以. 【小问3详解】 若，则当时，，此时不存在， 使得，即函数不“伴随函数”，因此， 函数在上单调递增， 则， 由“伴随函数”定义，得，则，， 当时，，， 当且仅当，即时取等号， 由，恒有，得， 即对恒成立，由，得， 则，因此， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $