精品解析：山东聊城市2025-2026学年第一学期期末学业水平检测九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂黑相应数字． 2．选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 2. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 今年十一国庆期间上映电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 13. 如图，是的外接圆，，则__________． 14. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的万人．求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率． 19. 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在西北方向上，测得A在北偏东方向上，又测得A，C之间的距离为100米，则A与B之间的距离是多少米（结果保留根号形式）． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 22. 民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． （1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； （3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 23. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂黑相应数字． 2．选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程， 选项A：含未知数x和y，不符合①； 选项B：方程 中未知数次数为1，不符合②； 选项C：化简 ，得 ，即 ，满足①②③； 选项D：方程 为分式方程，不符合③， 故选：C． 2. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意：，米， 故， 故选：D． 3. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 详解】解：根据题意可得： ， 故选：C． 4. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， 故选：D． 6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的交点问题，反比例函数的中心对称性，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与不等式问题是解题的关键．先根据反比例函数的中心对称性求得点B的横坐标为1，再根据，结合图形，即可判断答案． 【详解】解：反比例函数是以点O为对称中心的中心对称图形， 点B与点A关于原点对称， 点A的横坐标为， 点B的横坐标为1， 由图象可知，当时，x的取值范围是或． 故选：D． 7. 如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵， 为的直径，即， ∵玉佩的形状是扇形， ∴， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 9. 如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出的长度是关键．设则纵坐标也为点坐标为则根据三角形的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设，则纵坐标也为， 中点， 的横坐标为， 点坐标为， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． ①根据函数图象的开口方向即可判断a的符号；②根据对称轴以及抛物线与y轴的交点位置可判断b与c的符号；③将点代入抛物线即可，④根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∵，则， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，即， ∴，故②错误； ③∵抛物线经过点， ∴，即，故③正确； ④∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， ∴时，y随x的增大而减小，即④正确； 综上，正确的共有3个． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 13. 如图，是的外接圆，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，圆周角定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 14. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实根的条件和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义以及根的判别式求解即可. 【详解】解：一元二次方程 有实根， 则 ，即 ，判别式 。 令 ，得 ，解得 则且, 故答案为：且. 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，特殊角的三角函数值，运算乘方以及零次幂，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程，即可作答． （2）运用因式分解法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， 【小问2详解】 解：∵ ∴， 则， ∴或， ∴，． 18. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的万人．求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，结合从2023年的20万人增加到2025年的万人，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，不符合题意，舍去；，符合题意． 答：该市这两年参加健身运动人数的年均增长率为． 19. 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在西北方向上，测得A在北偏东方向上，又测得A，C之间的距离为100米，则A与B之间的距离是多少米（结果保留根号形式）． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形． 过点作于点，在中，求出、的值，然后在中求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ， 由勾股定理，得， 在中， ， 米， 则米， 即、之间的距离为米． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作于，过作于，设，首先根据题意求出，，，，然后利用代入求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于，过作于， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的面积为6． 【小问3详解】 由图象可得， 当或时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数结合综合题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 22. 民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． （1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； （3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）保护网（线段）的长度至少为9米； （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解； （2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解； （3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解； 【小问1详解】 解：过点F作轴于，过点E作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点F的坐标为， ∵，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线y轴交于点， ∴设抛物线表达式为， 将点和点代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵平行于x轴，点N的坐标为， ∴点M纵坐标为， 当时，代入抛物线解析式得， 解得：（舍去），， ∴，即保护网（线段）的长度至少为9米； 【小问3详解】 解：由（1）知：，，， ∵发射点F不变， ∴抛物线一定经过， ∴当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， 当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， ∵抛物线必经过平台， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，理解题意是关键． 23. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $