专题9.4 用坐标表示平移（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦“用坐标表示平移”核心知识点，先系统梳理点的平移规律（左右平移横变纵不变、上下平移纵变横不变，附“横加减右加左减、纵加减上加下减”巧记口诀），再延伸至图形平移（通过关键点平移实现），最后学习根据坐标变化反推平移方向与距离，构建从点到图形、正向到逆向的完整学习支架。 该资料亮点显著，以口诀化语言（如“左右平移横加减”）培养抽象能力与符号意识，即学即练（如已知平移后坐标求原坐标）和变式训练（如图形平移作图）发展推理意识，课中助力教师分层教学，课后通过综合练习题帮助学生巩固规律应用，有效提升空间观念与应用意识。

专题9.4 用坐标表示平移 教学目标 1. 掌握坐标在坐标系中平移的变化规律，能够熟练根据规律求出平移前后的坐标，也能根据坐标的前后变化判断坐标的平移。 2. 能够熟练地根据点的平移得到图形的平移。 教学重难点 1. 重点 （1）用坐标来表示点或图形的平移； （2）根据平移前后的坐标变化确定点或图形的平移情况。 2. 难点 （1）求平移前的点的坐标（易错）； （2）根据平移规律求及其平移前后的坐标变化求值。 知识点01 坐标系中点的平移 1. 点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 ，横坐标进行 。向右平移时 ，向左平移时 。即左右平移m各单位后得到 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 ，纵坐标进行 。向上平移时 ，向下平移时 。即上下平移m各单位后得到 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是　 　 ． 【即学即练2】 2．已知某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4），则该点平移前坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣4，7） C．（2，2） D．（2，7） 【即学即练3】 3．将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣6，0） C．（0，6） D．（5，0） 【即学即练4】 4．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 　 　 ． 知识点02 坐标系中图形的平移 1. 图形的平移： 图形平移时，把图形的关键点按照点的平移进行平移，然后把平移后的点按照原图形连接。因为图形是整体平移，所以图形上的每一个点都遵循同一个平移规律。 【即学即练1】 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 【即学即练2】 6．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段CD，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 【即学即练3】 7．在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示． （1）直接写出点A，A′的坐标． （2）若点M（m，4﹣n）是△ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为（2m﹣8，n﹣2）．求m和n的值． 知识点03 从图形上的点的坐标变化判断平移 1. 从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 平移了a个单位长度得到；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 平移了a个单位长度得到。 【即学即练1】 8．已知点P（﹣3，5）平移后得到点Q（3，﹣2），则点P的平移情况是（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度 B．先向右平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度 C．先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度 D．先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度 【即学即练2】 9．在平面直角坐标系中，若将点平移M（a﹣2，b+3）到点P（a，b）的位置，则下列平移的方法正确的是（　　） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 题型01 求平移后的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，将点（1，2）向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，5） 【变式1】将点A（1，﹣4）先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到点A′，则A'的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣7，3） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣6） 【变式2】已知平面直角坐标系中一点A（﹣1，2），若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（　　） A．（4，1） B．（4，3） C．（﹣4，1） D．（﹣4，3） 【变式3】在平面直角坐标系中，直线l经过M（﹣1，2），N（1，﹣1）两点．现将直线l平移，使点M到达点（1，﹣2）处，则点N到达的点是（　　） A．（3，﹣5） B．（3，3） C．（﹣1，﹣5） D．（﹣1，3） 题型02 求平移前的点的坐标 【典例1】将△ABC向右平移5个单位，向上平移6个单位后A点的坐标为（4，7），则平移前A点的坐标为（　　） A．（9，13） B．（﹣1，1） C．（﹣1，13） D．（9，1） 【变式1】已知△ABC的一个顶点A的坐标为（a，b），将△ABC沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【变式2】在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣3，2）的对应点为A′（1，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（6，1），则点B的坐标为（　　） A．（2，6） B．（10，﹣4） C．（2，﹣4） D．（10，6） 【变式3】将点P（3m﹣1，m+2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣5，0） B．（﹣10，0） C．（﹣5，﹣1） D．（﹣10，﹣1） 题型03 判断点或图形的平移情况 【典例1】已知点M（﹣2，4）平移后得到点N（6，﹣3），则点M的平移情况是（　　） A．先向左平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度 B．先向右平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度 C．先向右平移8个单位长度，再向上平移7个单位长度 D．先向左平移8个单位长度，再向上平移7个单位长度 【变式1】将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【变式2】若一个四边形的其中一点P（x，y）在平移的过程中，坐标变化为P′（x+3，y），则该四边形的平移情况是（　　） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【变式3】如果将平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，那么下列平移方法中正确的是 （　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 题型04 利用平移规律作图及其求值 【典例1】若点（3，b）向右平移2个单位长度后得到点（a+1，4），则a，b的值分别为（　　） A．a＝2，b＝2 B．a＝4，b＝4 C．a＝4，b＝2 D．a＝2，b＝4 【变式1】在直角坐标系中，已知点A（m，n），B（n，m），若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则k＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A′B′的位置，则（2a+b）2025的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【变式3】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）填空：点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 【变式4】如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与A′点，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标；B（　 　 ，　 　 ）；B′（　 　 ，　 　 ）； （2）若点M（a﹣1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按如图方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值． 1．在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣2，﹣1） C．（4，﹣1） D．（﹣2，3） 2．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 3．在直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，5），B（3，2），C（0，1），将△ABC平移得到△A'B'C'，点A、B、C分别对应A'、B'、C'，若点A'（1，4），则点C′的坐标（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（2，0） D．（5，1） 4．对于点A（2，m）与点B（2，m﹣5），下列说法不正确的是（　　） A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B B．A、B两点的距离为5 C．点A到y轴的距离为2 D．直线AB与x轴平行 5．如图，点A，B的坐标分别为（3，2），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点E的坐标为（6，0），则点D的坐标是（　　） A．（5，2） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3） 6．如图，平面直角坐标系内有一条线段AB，A（3，0），B（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，3），B（2，1）．现将线段AB平移，使平移后线段AB的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（　　） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．② C．③ D．①③ 8．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若点A，C的坐标分别为（﹣2，4），（﹣1，1），平移后点A1，C1的坐标分别为（m，5），（2，n），则m+n的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．平面直角坐标系中，将点P（a2，2）沿着y轴向上平移（a2+1）个单位后得到Q点，则下列结论：①Q点的坐标为（a2，a2+3）；②线段PQ的长为（a2+1）个单位长度；③线段PQ所在的直线与x轴垂直；④点M（a2，a2+2）可能在线段PQ上；⑤点N（a2，4）一定在线段PQ上．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．将点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′坐标 　 　 ． 11．点A（1，2）向左平移1个单位长度得到点B（a，2），则a＝ 　 　 ． 12．象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”如图“帥”位于点（1，0），“馬”位于点（2，3），则“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉）的话可以走到（3，1），平移过程是　 　 ． 13．△ABC在经过某次平移后，某点A（﹣1，2）的对应点为A1（2，﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d），则a+b﹣c﹣d的值为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OB＝2OA，点P（m，m+1）在△ABC的内部，将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合，若将△ABC按同样方式平移，则点B的对应点B′的坐标是　 　 ． 15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）． （1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标； （2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′． （1）分别写出点A，A′的坐标：A　 　 ，A′　 　 ； （2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （3）若点M（m，2n）是三角形ABC内部一点，经过相同的平移后对应点M′的坐标为（2n，2m），求m和n的值． 17．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1.5），则它的“3阶派生点”的坐标为　 　 ． （2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点P1，点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 18．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1． （1）分别求m的平方根和3n的平方根． （2）设4m+3n+2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q（t，t2﹣2），请指出点Q是怎样由点P平移得到的？ 19．（1）探究： ①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3． ②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为：　 　 ． 若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝　 　 （用含m、n的式子表示）． （2）应用： 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F． ①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝　 　 ； ②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 用坐标表示平移 教学目标 1. 掌握坐标在坐标系中平移的变化规律，能够熟练根据规律求出平移前后的坐标，也能根据坐标的前后变化判断坐标的平移。 2. 能够熟练地根据点的平移得到图形的平移。 教学重难点 1. 重点 （1）用坐标来表示点或图形的平移； （2）根据平移前后的坐标变化确定点或图形的平移情况。 2. 难点 （1）求平移前的点的坐标（易错）； （2）根据平移规律求及其平移前后的坐标变化求值。 知识点01 坐标系中点的平移 1. 点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。即左右平移m各单位后得到 。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。即上下平移m各单位后得到 。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是　（0，﹣1）　 ． 【答案】（0，﹣1）． 【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是（3﹣3，1﹣2），即（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 【即学即练2】 2．已知某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4），则该点平移前坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣4，7） C．（2，2） D．（2，7） 【答案】A 【解答】解：∵某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4）， ∴﹣1﹣3＝﹣4，4﹣3＝1， ∴平移前坐标是（﹣4，1）． 故选：A． 【即学即练3】 3．将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣6，0） C．（0，6） D．（5，0） 【答案】B 【解答】解：∵将点Q（m+2，m+3）向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为（m+2﹣3，m+3+2）， 由点P正好落在x轴上知m+5＝0， 解得m＝﹣5， 则m﹣1＝﹣6， ∴点P坐标为（﹣6，0）， 故选：B． 【即学即练4】 4．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 　（3，﹣2）　 ． 【答案】（3，﹣2）． 【解答】解：点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3）， ∵A′在y轴上， ∴m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴A（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 知识点02 坐标系中图形的平移 1. 图形的平移： 图形平移时，把图形的关键点按照点的平移进行平移，然后把平移后的点按照原图形连接。因为图形是整体平移，所以图形上的每一个点都遵循同一个平移规律。 【即学即练1】 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求： （2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）； （3）△ABC的面积． 【即学即练2】 6．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段CD，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：∵点B（﹣4，3）的对应点D的坐标为D（3，1）， ∴平移规律为向右平移7个单位，再向下平移2个单位， ∴A（﹣6，0）的对应点C的坐标为（1，﹣2）． 故选：D． 【即学即练3】 7．在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示． （1）直接写出点A，A′的坐标． （2）若点M（m，4﹣n）是△ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为（2m﹣8，n﹣2）．求m和n的值． 【答案】（1）点A坐标为（1，0），点A′的坐标为（﹣4，4）； （2）m＝3，n＝5． 【解答】解：（1）由所给平面直角坐标系可知， 点A坐标为（1，0），点A′的坐标为（﹣4，4）； （2）因为点M（m，4﹣n）是△ABC内部一点，且平移后对应点M′的坐标为（2m﹣8，n﹣2）， 所以m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣2， 解得m＝3，n＝5． 知识点03 从图形上的点的坐标变化判断平移 1. 从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 向左（或向右） 平移了a个单位长度得到；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形 向上（或向下） 平移了a个单位长度得到。 【即学即练1】 8．已知点P（﹣3，5）平移后得到点Q（3，﹣2），则点P的平移情况是（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度 B．先向右平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度 C．先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度 D．先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度 【答案】D 【解答】解：由点P（﹣3，5）平移后得到点Q（﹣3+6，5﹣7），即（3，﹣2）， 知点P的平移情况是：先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度， 故选：D． 【即学即练2】 9．在平面直角坐标系中，若将点平移M（a﹣2，b+3）到点P（a，b）的位置，则下列平移的方法正确的是（　　） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为a﹣2+2＝a，b+3﹣3＝b， 所以将点M先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可到点P的位置． 故选：B． 题型01 求平移后的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，将点（1，2）向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，5） 【答案】A 【解答】解：将点（1，2）向右平移3个单位长度，纵坐标保持2不变，横坐标变为1+3＝4， 因此，平移后的点坐标为（4，2）， 故选：A． 【变式1】将点A（1，﹣4）先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到点A′，则A'的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣7，3） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣6） 【答案】C 【解答】解：由题意可得： 1﹣3＝﹣2，﹣4+2＝﹣2 ∴点A′的坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：C． 【变式2】已知平面直角坐标系中一点A（﹣1，2），若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（　　） A．（4，1） B．（4，3） C．（﹣4，1） D．（﹣4，3） 【答案】A 【解答】解：已知平面直角坐标系中一点A（﹣1，2），若将点A向下平移，再向右平移，得到的点的横坐标大于﹣1，纵坐标小于2， 故符合题意的只有点（4，1）． 故选：A． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线l经过M（﹣1，2），N（1，﹣1）两点．现将直线l平移，使点M到达点（1，﹣2）处，则点N到达的点是（　　） A．（3，﹣5） B．（3，3） C．（﹣1，﹣5） D．（﹣1，3） 【答案】A 【解答】解：点N（1，﹣1）经过平移后到达的点的坐标是（3，﹣5）； 故选：A． 题型02 求平移前的点的坐标 【典例1】将△ABC向右平移5个单位，向上平移6个单位后A点的坐标为（4，7），则平移前A点的坐标为（　　） A．（9，13） B．（﹣1，1） C．（﹣1，13） D．（9，1） 【答案】B 【解答】解：设平移前A点的坐标为（x，y）． 由题意，得x+5＝4，y+6＝7， 解得x＝﹣1，y＝1． 所以平移前A点的坐标为（﹣1，1）． 故选：B． 【变式1】已知△ABC的一个顶点A的坐标为（a，b），将△ABC沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【答案】C 【解答】解：∵点A（a，b）沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后得（a﹣2，b+3）， 又∵平移后恰好落在原点上， ∴a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴平移前点A的坐标是（2，﹣3）． 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣3，2）的对应点为A′（1，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（6，1），则点B的坐标为（　　） A．（2，6） B．（10，﹣4） C．（2，﹣4） D．（10，6） 【答案】A 【解答】解：由条件可知：线段A′B′是由线段AB经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点B′的坐标为（6，1）， ∴点B的坐标为（6﹣4，1+5），即（2，6）． 故选：A． 【变式3】将点P（3m﹣1，m+2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（﹣5，0） B．（﹣10，0） C．（﹣5，﹣1） D．（﹣10，﹣1） 【答案】D 【解答】解：由题意得，Q（3m﹣1，m+3）， ∵点Q在x轴上， ∴m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴3m﹣1＝﹣10，m+2＝﹣1， ∴P（﹣10，﹣1）， 故选：D． 题型03 判断点或图形的平移情况 【典例1】已知点M（﹣2，4）平移后得到点N（6，﹣3），则点M的平移情况是（　　） A．先向左平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度 B．先向右平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度 C．先向右平移8个单位长度，再向上平移7个单位长度 D．先向左平移8个单位长度，再向上平移7个单位长度 【答案】B 【解答】解：∵点M（﹣2，4）平移后得到点N（6，﹣3），﹣2+8＝﹣6，4﹣7＝﹣3， ∴点M的平移情况是：先向右平移8个单位长度，再向下平移7个单位长度． 故选：B． 【变式1】将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【答案】C 【解答】解：由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度， 故选：C． 【变式2】若一个四边形的其中一点P（x，y）在平移的过程中，坐标变化为P′（x+3，y），则该四边形的平移情况是（　　） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【答案】B 【解答】解：∵P（x，y），P′（x+3，y）， 则该四边形向右平移3个单位得到新的四边形． 故选：B． 【变式3】如果将平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，那么下列平移方法中正确的是 （　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 【答案】C 【解答】解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置， ∴向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的． 故选：C． 题型04 利用平移规律作图及其求值 【典例1】若点（3，b）向右平移2个单位长度后得到点（a+1，4），则a，b的值分别为（　　） A．a＝2，b＝2 B．a＝4，b＝4 C．a＝4，b＝2 D．a＝2，b＝4 【答案】B 【解答】解：∵点（3，b）向右平移2个单位长度后，得到点（a+1，4），点（3，b）向右平移2个单位长度后新点为（3+2，b），即（5，b）， 又∵平移后得到点（a+1，4）， ∴5＝a+1，b＝4， 解得a＝4，b＝4， 故选：B． 【变式1】在直角坐标系中，已知点A（m，n），B（n，m），若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则k＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵点A（m，n），B（n，m），若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合， ∴m+3＝n，n﹣k＝m， ∴k＝3． 故选：A． 【变式2】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A′B′的位置，则（2a+b）2025的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2， ∴点A（﹣1，0），B（0，2）， ∵A′（2，a），B′（b，1）， ∴点A向右平移3个单位到达点A′，点B向下平移1个单位到达点B′， ∴线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段A′B′的位置， ∴a＝﹣1，b＝3， ∴（2a+b）2025＝（﹣2+3）2025＝1． 故选：B． 【变式3】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）填空：点A的坐标是 　（2，﹣1）　 ，点B的坐标是 　（4，3）　 ； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）； 故答案为（2，﹣1），（4，3）； （2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）； （3）△ABC的面积＝3×42×43×13×1＝5． 【变式4】如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与A′点，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标；B（　2　 ，　1　 ）；B′（　﹣1　 ，　﹣2　 ）； （2）若点M（a﹣1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按如图方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值． 【答案】（1）2；1；﹣1；﹣2； （2）a＝3，b＝4． 【解答】解：（1）由题意得，B（2，1），B′（﹣1，﹣2）， 故答案为：2；1；﹣1；﹣2； （2）∵B（2，1），B′（﹣1，﹣2）， ∴△ABC向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′， ∵点M（a﹣1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按如图方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，4﹣b）， ∴a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b， ∴a＝3，b＝4． 1．在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣2，﹣1） C．（4，﹣1） D．（﹣2，3） 【答案】B 【解答】解：点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后点的横坐标为2﹣4＝﹣2；纵坐标为1﹣2＝﹣1；即新点的坐标为（﹣2，﹣1），故选B． 2．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后的对应点为A′（5，2）， 则5﹣2＝3，2﹣（﹣1）＝3． 因为点B坐标为（﹣3，4）， 则﹣3+3＝0，4+3＝7， 所以点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标为（0，7）． 故选：A． 3．在直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，5），B（3，2），C（0，1），将△ABC平移得到△A'B'C'，点A、B、C分别对应A'、B'、C'，若点A'（1，4），则点C′的坐标（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（2，0） D．（5，1） 【答案】C 【解答】解：∵A（﹣1，5）向右平移2个单位，向下平移1个单位得到A′（1，4）， ∴C（0，1）右平移2个单位，向下平移1个单位得到C′（2，0）， 故选：C． 4．对于点A（2，m）与点B（2，m﹣5），下列说法不正确的是（　　） A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B B．A、B两点的距离为5 C．点A到y轴的距离为2 D．直线AB与x轴平行 【答案】D 【解答】解：∵点A（2，m）与点B（2，m﹣5）， ∴将点A向下平移5个单位长度可得到点B，A、B两点的距离为5，点A到y轴的距离为2，直线AB与y轴平行． 故ABC正确，D错误． 故选：D． 5．如图，点A，B的坐标分别为（3，2），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点E的坐标为（6，0），则点D的坐标是（　　） A．（5，2） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3） 【答案】A 【解答】解：由条件可知点A和点D是对应点，点B和点E是对应点， ∴点B向右平移2个单位长度得到E， ∴点A（3，2）向右平移2个单位长度为：D（5，2）， 故选：A． 6．如图，平面直角坐标系内有一条线段AB，A（3，0），B（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由平移特征可知点A横坐标从3变为4，右平移了4﹣3＝1个单位． 点B纵坐标从1变为3，向上平移了3﹣1＝2个单位． ∵线段AB，整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移2个单位，b＝0+2＝2． B点向右平移1个单位，a＝0+1＝1． ∴a+b＝1+2＝3． 故选：C． 7．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，3），B（2，1）．现将线段AB平移，使平移后线段AB的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（　　） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．② C．③ D．①③ 【答案】D 【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（1，3），B（2，1）， ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则A（0，2），B（1，0），则平移后线段AB的两个端点均在坐标轴上． ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则A（﹣1，1），B（0，﹣1），则平移后线段AB的两个端点不都在坐标轴上． ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则A（﹣1，0），B（0，﹣2），则平移后线段AB的两个端点均在坐标轴上． 故选D． 8．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若点A，C的坐标分别为（﹣2，4），（﹣1，1），平移后点A1，C1的坐标分别为（m，5），（2，n），则m+n的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣2，4），（﹣1，1），平移后点A1，C1的坐标分别为（m，5），（2，n）， ∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1， ∴m＝﹣2+3＝1，n＝1+1＝2， ∴m+n＝1+2＝3． 故选：D． 9．平面直角坐标系中，将点P（a2，2）沿着y轴向上平移（a2+1）个单位后得到Q点，则下列结论：①Q点的坐标为（a2，a2+3）；②线段PQ的长为（a2+1）个单位长度；③线段PQ所在的直线与x轴垂直；④点M（a2，a2+2）可能在线段PQ上；⑤点N（a2，4）一定在线段PQ上．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：将点P（a2，2）沿着y轴向上平移（a2+1）个单位后得到Q点， ①Q点的坐标为（a2，2+a2+1）即（a2，a2+3）； ②线段PQ的长为（a2+1）个单位长度； ③线段PQ所在的直线与x轴垂直； ④由2≤a2+2＜a2+3，得点M（a2，a2+2）在线段PQ上； ⑤由当a＝0时a2+3＜4，得点N（a2，4）不一定在线段PQ上． 其中正确的结论有①②③④， 故选：C． 10．将点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′坐标 　（﹣5，3）　 ． 【答案】（﹣5，3）． 【解答】解：∵A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位得到点A′， ∴﹣3﹣2＝﹣5，﹣1+4＝3， ∴点A′的坐标是（﹣5，3）， 故答案为：（﹣5，3）． 11．点A（1，2）向左平移1个单位长度得到点B（a，2），则a＝ 　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：∵点A（1，2）向左平移1个单位长度得到的点的坐标为（0，2）， ∴a＝0． 故答案为：0． 12．象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”如图“帥”位于点（1，0），“馬”位于点（2，3），则“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉）的话可以走到（3，1），平移过程是　向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度　 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 【解答】解：“馬”位于点（2，3），若“馬”要“将军”可以走到（3，1），则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 13．△ABC在经过某次平移后，某点A（﹣1，2）的对应点为A1（2，﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d），则a+b﹣c﹣d的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由A（﹣1，2）平移后对应点A1的坐标为（2，﹣3）知，先向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所以c＝a+3，d＝b﹣5， 即a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5， 所以a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2． 故答案为：2． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OB＝2OA，点P（m，m+1）在△ABC的内部，将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合，若将△ABC按同样方式平移，则点B的对应点B′的坐标是　（0，1）　 ． 【答案】（0，1）． 【解答】解：由题知， 因为点P坐标为（m，m+1），且将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合， 所以m+1＝3， 解得m＝2， 则点P坐标为（2，3）， 所以点A坐标为（2，0）． 又因为OB＝2OA， 所以OB＝2×2＝4， 则点B坐标为（0，4）， 所以将点B向下平移3个单位长度后，所得点B′的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3a﹣13，a﹣3）． （1）若点P位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标； （2）若将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点P的坐标． 【答案】（1）（﹣1，1）； （2）（5，3）． 【解答】解：（1）∵点P位于第二象限， ∴3a﹣13＜0，a﹣3＞0， ， ∵横、纵坐标都是整数， ∴a＝4， ∴P的坐标为（﹣1，1）； （2）将点P向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 （3a﹣13+3，a﹣3+5）， ∵（3a﹣13+3，a﹣3+5）横纵坐标相等， ∴3a﹣13+3＝a﹣3+5， ∴a＝6， ∴点P的坐标为（5，3）． 16．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′． （1）分别写出点A，A′的坐标：A　（﹣4，4）　 ，A′　（0，﹣2）　 ； （2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； （3）若点M（m，2n）是三角形ABC内部一点，经过相同的平移后对应点M′的坐标为（2n，2m），求m和n的值． 【答案】（1）（﹣4，4），（0，﹣2）； （2）三角形A′B'C′是由三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到的； （3）． 【解答】解：（1）观察图象可知A（﹣4，4），A′（0，﹣2）； 故答案为：（﹣4，4），（0，﹣2）； （2）三角形A′B'C′是由三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到的； （3）由题意，， 解得，． 17．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1.5），则它的“3阶派生点”的坐标为　（2，14）　 ． （2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点P1，点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 【答案】（1）（2，14）； （2）点P2的坐标为或（0，﹣15）． 【解答】解：（1）由题意得，若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为（3×（﹣1）+5，﹣1+3×5），即（2，14）， 故答案为：（2，14）； （2）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点P1， ∴点P1的坐标为（c﹣1，2c）， ∵﹣4（c﹣1）+2c＝﹣2c+4，（c﹣1）+（﹣4）×2c＝﹣7c﹣1， ∴点P1的“﹣4阶派生点”P2的坐标为（﹣2c+4，﹣7c﹣1）， 分两种情况讨论： ①当点P2在x轴上时，﹣7c﹣1＝0， 解得， 则， ∴点P2的坐标为． ②当点P2在y轴上时，﹣2c+4＝0， 解得c＝2， 则﹣7c﹣1＝﹣15， ∴点P2的坐标为（0，﹣15）． 综上所述，点P2的坐标为或（0，﹣15）． 18．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1． （1）分别求m的平方根和3n的平方根． （2）设4m+3n+2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q（t，t2﹣2），请指出点Q是怎样由点P平移得到的？ 【答案】（1）m的平方根为±2，3n的平方根为±3； （2）点Q（3，7）可以看作点P（1，﹣3）先向右平移2个单位，在向上平移10个单位所得到的． 【解答】解：（1）∵点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1， ∴2m﹣7＝1，n﹣6＝﹣3， 解得m＝4，n＝3， ∴m的平方根为±±2，3n的平方根为±±3； （2）当m＝4，n＝3时，4m+3n+2＝4×4+3×3+2＝27， 4m+3n+2的立方根t3， 当t＝3时，t2﹣2＝9﹣2＝7， ∴点Q（3，7）， ∵点P（1，﹣3）， ∴点Q（3，7）可以看作点P（1，﹣3）先向右平移2个单位，在向上平移10个单位所得到的． 19．（1）探究： ①如图1，数轴上线段AB的长度可以表示为：AB＝|2﹣（﹣1）|＝3． ②y轴上的两点P（0，﹣2）、Q（0，3），则线段PQ的长度为：　5　 ． 若y轴上有两点M（0，m）、N（0，n），则线段MN的长度可以表示为：MN＝　|m﹣n|　 （用含m、n的式子表示）． （2）应用： 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6）、B（﹣6，0）、C（﹣1，5），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，点A、B、C的对应点分别是D、E、F． ①如图2，画出平移后的△DEF，并直接写出△ABC的面积S△ABC＝　7.5　 ； ②平移后，若线段EF恰好经过y轴上一点M（0，1），在y轴上是否存在点N，使S△EFN＝S△ABC？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5，|m﹣n|； （2）①7.5； ②N（0，4）或（0，﹣2）． 【解答】解：（1）②∵P（0，﹣2）、Q（0，3）， ∴线段PQ的长度＝|﹣2﹣3|＝5． ∵M（0，m）、N（0，n）， ∴MN＝|m﹣n|（用含m、n的式子表示）． 故答案为：5，|m﹣n|； （2）①如图，△DEF即为所求，S△ABC＝5×66×31×25×5＝7.5； 故答案为：7.5； ②设N（0，t），则有|t﹣1|×5＝7.5，解得，t＝4或﹣2， ∴N（0，4）或（0，﹣2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $