素养拓展06 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版必修第二册

素养拓展06 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 知识点1：最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 知识点2：截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 5、正方体中的基本截面类型 知识点3：轨迹问题 1、立体几何中的轨迹问题常用的解决策略 （1）交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等. （2）平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 【题型一：路径最短问题】 1．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 3．（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面展开图可得最短距离. 【详解】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周， 则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大倍， 如图所示， 则展开图是以为底，为高的矩形， 则最短路径即为其对角线长为， 故选：D. 4．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 5．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 【题型二：截面的形状及交线问题】 1．平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 2．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】利用平面的性质，直接画出过E，F，G的平面，即可判断其形状. 【详解】 如图示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I,则形成一个五边形EFIGH. 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽·月考）（多选题）用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类讨论截面的情况分别得出截面形状判断各个选项即可. 【详解】对于A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于D：截面的形状不可能是等腰梯形． 故选：ABC. 4．（多选题）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．正方体 【答案】ACD 【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解. 【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形， 三棱锥平行于底面的截面是三角形， 正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形, 故选：ACD 5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①② 【分析】用平面截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解. 【详解】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①② 6．在棱长为3的正方体中．点在棱上，且，记过点的平面与侧面的交线为．且，则的长为 ． 【答案】 【分析】作出过的平面，由此确定的位置，进而求得的长. 【详解】连接，由于，所以四边形是平行四边形， 所以，过作，交于，则， 所以四点共面，故即直线， 由于，所以， 所以. 故答案为：    7．（24-25高一下·广东·期中）甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为 【答案】 【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连结，， 则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得． 所以在等腰三角形中，． 故答案为：. 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为 边形；该多边形的周长为 【答案】 五 【分析】过点在平面内作，分别交，的延长线于两点，，连接，分别交，于，，连接各平面上的交点，即可得到平面与正方体各表面的交线所围成多边形；通过三角形相似以及勾股定理可以求出五边形各边边长，即可求出该多边形的周长. 【详解】如图，连接，，，过点在平面内作，分别交，的延长线于，，连接，分别交，于，，连接，，，，所以五边形为平面与正方体各表面的交线所围成多边形， 过点作，过点作，所以， 由正方体，知， 因为，，所以， 所以为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点， 所以，因为，所以根据勾股定理可得：， 因为，为对角线，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形，所以， 同理，又因为，，所以， 所以与相似，因为，所以， 所以，同理与相似，所以， 所以，所以根据勾股定理可得：，， 所以五边形周长为. 故答案为：五；. 【题型三：截面的周长、面积问题】 1．（24-25高一下·福建福州·期中）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间那部分的多面体是一个高为2的三棱台，且，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出上下底面面积，利用棱台体积公式进行求解. 【详解】由题，， 所以该三棱台的体积为. 故选：B 2．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 4．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 6．如图，正方体的棱长为4，， 分别为棱，的中点，过，，作正方体的截面，则截面多边形的周长是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平面性质作出截面图形，然后利用勾股定理求出各个边长，即可得解. 【详解】取的中点为T，取的中点为S，取上靠近D的四等分点为M， 取上靠近的四等分点为G，取上靠近的三等分点为N， 连接. 如图 由正方体性质可知，在中，分别为的中点， 所以，所以，故四点共面， 在正方形中，且，所以为平行四边形， 所以，由正方体性质可知， 在中，分别为的三等分点，所以，所以， 故四点共面， 所以五边形为所求的截面多边形. 易知，，，，， 故，，，，. 所以截面五边形的周长为. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 【题型四：轨迹问题】 1．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 【答案】B 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解. 【详解】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 3．已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】动点的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的表面的交线，计算得到答案. 【详解】由题意可知，动点的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的表面的交线. 如图所示： 在正方体中，， 又平面且，所以平面， 因为平面，所以. 又在正方体中，， 又平面且，所以平面， 因为平面，所以. 又因为，由平面且， 所以平面. 于是点P的轨迹长度为不包含点的的周长， 即周长等于. 故选：D. 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 故选：D. 5．在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案. 【详解】由于平面，点是矩形内的动点， 则平面，所以， 又直线与平面所成角为即， 所以，即是直线与平面所成角， 又，，， 则，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在矩形内的部分， 设圆与分别交于两点， 则，， 所以，则， 所以点的轨迹长为. 故选：B. 6．（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 7．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱的中点，点为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点，则点的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AE，AF，分别交，于点P，Q，由题意得点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ，通过几何知识得到，，故，进而求得线段PQ的长度. 【详解】连接AE，AF，分别交，于点P，Q，连接. 因为点M在线段EF上运动，故AM在平面AEF内， 又因为线AM与平面交于点N， 故点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ， 在，，中，可得， ，F分别为棱AC，的中点，故≌，， ，，即， ，，， 同理，，故，且， 故选：B. 1．（24-25高一下·天津河西·月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 2．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决. 【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 3．已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 4．（24-25高二上·广东广州·月考）在三棱柱中，平面，，，，点为底面内动点，且，则点的轨迹长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】又为底面内动点，且，连接， 因为平面，平面，所以，    所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B. 5．如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度. 【详解】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角， 连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，故为直线BP与上底面所成角， 则， 因为，所以， 故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的， 故轨迹长度为.    故选：B 6．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 7．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段，利用余弦定理即可求解，过作的垂线，垂足为，由题意得到为上坡路段，为下坡路段，计算即可. 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    由题可得该扇形半径，弧长为，故圆心角， 最短路线即为扇形中的直线段，由余弦定理可得：；， 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，故为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，故为下坡路段，下坡路段长， 故选：D 8．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中截面EFG可得，进而可判断点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，轨迹长度即可求解. 【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，    由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 9．（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，，连接，，，，， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，平面，平面，可得平面， 且，，平面，故平面平面. 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，长为. 故选：B. 10．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，可证得平面，求出和，利用勾股定理表示，得到点的轨迹，即可求解. 【详解】 设平面，连接，，，， 因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，则为正三角形的中心， 则，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 即，， 因为，即， 因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆， 所以点的轨迹长度是. 故选：. 11．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 12．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 13．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（    ） A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形， 【答案】B 【分析】根据题意作出截面可判断截面形状，得出截面与侧面的棱相交，并计算出其位置即可求得交线长. 【详解】设中点为，连接，是中点，底面， 连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌， 则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R， ∽，则，所以，， 连接交于G，所以∽，即， 其中，故，又，则， ， 所以截面与侧面的交线为， 延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K， 连接交于I，所以截面为六边形， 故选：B. 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到与BD1垂直的平面，从而得到点P的轨迹即为该面与长方体的交线，即可由三角形面积公式求解. 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 15．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系求出截面面积，利用不等式的基本性质求解. 【详解】取的中点，连接、， 可知点、到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为，，，、平面，所以平面， 且平面，则， 设，，，，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：，， 因为，所以，， 则，所以． 故选：A. 16．（24-25高一下·河北邯郸·期中）（多选题）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．正四棱锥 D．正方体 【答案】BCD 【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解. 【详解】用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等，不可能出现矩形， 用一个平行于底面的平面去截正四棱锥得到的截面为正方形（也是矩形），故C正确， 用一个平面去截圆柱，正方体，截面的形状都有可能是矩形. 故选：BCD 17．（多选题）如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（   ）      A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，连接，可证得平面，从而，A选项正确；对于B选项，根据几何体特征，三棱锥的体积和三棱锥的体积相等，根据三棱锥体积公式即可求解；对于C选项，根据题意，可得动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，进而可求得其轨迹长度；对于D选项，作图可得，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，根据几何体特征，分别求得，，，相加即可得其周长. 【详解】对于A选项，连接，在正方体中，平面， 又平面，所以， 又为正方形对角线，所以， 又为平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B选项，在正方体中，平面， 即平面，所以三棱锥的体积， 又，， 所以，故B正确； 对于C选项，点在底面内（包含边界）运动，且满足，所以动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，所以其轨迹的长度为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，，并延长与的延长线交于点， 则过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面， 因为正方体的棱长为1，分别为的中点， 所以可得，，， 所以四边形的周长为，故D正确.      故选：ABD 18．（多选题）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】AD 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C错误，D项正确； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：AD. 19．（24-25高一下·福建莆田·期末）（多选题）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，取中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面即为梯形并求出该梯形面积即可判断；对于B，设点到平面的距离为d，则由即可求解判断；对于C，分别取四等分点，且，可得平面平面即可得点的轨迹，进而得解；对于D，在平面内过E作交于点，过此时的点F作分别交于，求证平面即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度. 【详解】对于A，当时，由题可知此时点在棱中点上， 取中点，连接，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以由可唯一确定一个平面， 所以平面截该正方体所得的截面即为梯形， 因为， 所以平面截该正方体所得的截面梯形的面积为，故A正确； 对于B，当时，由题可知此时点在棱中点上，设点到平面的距离为d， 则由即，故B错误； 对于C，当即，分别取四等分点， 且，连接，则，且， 由A可知，所以，则由可唯一确定一个平面， 又在平面外，平面，所以平面， 由正方体性质可知且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 所以，因为在平面外，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点F的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，由正方体结构性质可知平面， 因为平面，所以， 在平面内过E作交于点， 则此时，所以与相似， 所以，过此时的点F作分别交于， 则且即， 因为，平面，所以平面， 因为，所以动点F的轨迹为线段，所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 20．如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为. 故答案为：. 21．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 素养拓展06立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题 0 析教材学知识 ☑知识点1：最短路径问题 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线 展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解 ☑知识点2：截面问题 1、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (⑤)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 2、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面。 ②此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线. ③此平面与几何体的棱（或面）的交集（交点）叫做实截点 ④此平面与几何体的棱（或面的延长线的交点叫做虚截点。 ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3、作截面的具体步骤 (1)找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面 4、作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交 线的过程。 (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线 的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上本题如下图是EF(这类型的关键)： 2.“第三点”是在外棱上，如C,注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处， 只要在棱上就可以， 方法一：相交法，做法如下图 方法二：平行线法，做法如下图 5、正方体中的基本截面类型 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 锐角三角形 等腰三角形 等边三角形 梯形 平行四边形 (1) (2) (3) (4 (5 菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形 (6) () (8 (9) 00 ☑知识点3：轨迹问题 1、立体几何中的轨迹问题常用的解决策略 (1)交轨法：运动的点同时在两个空间几何体上，如平面与圆雉、圆柱、球相交，球与球相交，等等 (2)平面化：把空间几何关系转化到同一平面内，进而探究平面内的轨迹问题，使问题更易解决.空间问题平面 化也是解决立体几何题目的一般性思路 02 练题型强知识 mmmmmmmmmmm 【题型一：路径最短问题】 1.(25-26高一上·甘肃定西·开学考试)如图，圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃 食，要爬行的最短路程为()（取3） A.10cm B.14cm C.20cm D.无法确定 2.(23-24高一下山东青岛·期末)如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥 侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为() A.5 B.3 C.2W3 D.35 3.(24-25高一下·福建福州期中)己知正三棱柱ABC-A,B,C的底面边长为2，高为5，一质点从A点出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线长为() 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.√6 B.10 C.55 D.13 4.(24-25高一下·广东湛江·期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=4,AB=2√2.从A拉一条细绳 绕过侧棱PB,PC,PD回到A点，则细绳的最短长度为() P A B A.22+2万 B.2V7+2 C.3√7 D.82 5.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O,O2,在轴截面ABCD中， AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到点D所经过的最短路程 为() D A.3cm B.4cm C.42 cm D.3v2 cm 【题型二：截面的形状及交线问题】 1.平面截正方体所得的截面不可能是() A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，E,F,G分别是棱AB,BC,DD的中点，过E,F,G三点的平 面与正方体各个面所得交线围成的图形是() 4/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A G D B A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.(24-25高一下·安徽月考)（多选题）用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状可能是() A. B C D 4.(多选题)用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是() A.圆锥 B.圆柱 C.棱锥 D.正方体 5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是一·（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形 6.在棱长为3的正方体ABCD-AB,C,D1中，点E在棱A,A上，且A,A=3A,E,记过点D,C,E的平面与侧 面ABBA4的交线为I.且I∩AB=F,则EF的长为■ 7.(24-25高一下·广东·期中)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 ABCD处，碳原子位于正四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长为1，则平面OAB和平面OCD位于 正四面体内部的交线长度为 D C 8.(24-25高一下·云南曲靖·期末)在边长为12的正方体ABCD-A,B,CD,中，M,N分别为线段D,C, DA上的点，且满足DM=8,DN=8,平面BNM与正方体各表面的交线所围成多边形为边形： 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 该多边形的周长为 【题型三：截面的周长、面积问题】 1.(24-25高一下·福建福州·期中)用一个平行于正三棱锥S-ABC底面的平面去截该棱锥，底面与截面之 间那部分的多面体是一个高为2的三棱台ABC-A,B,C,且AB=4A,B,=4,则该三棱台的体积为() A.17V5 B.75 C.175 D.21V5 6 2 2 2 2.(23-24高一下·安徽宣城期末)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，B,P=2PC,D,Q=3QC1, 过B,P,Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为() D o c B D B A.35 B.15√5 C.15V15 D.321 3.(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)如图，在正四面体木块"-ABC中，点P在△VAC内，过点P将木块锯 开，且使截面平行于直线'A,BC,若截面的周长为4，则正四面体P-ABC的表面积为() B---------- A.4V5 B.35 C.4w2 D.2 4.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面，若平面a/平面 PCD,则平面截正四棱锥P-ABCD的截面面积为() A.⑤ B.5f5 C.2V3 D.215 4 8 5.(24-25高一下江西南昌期末)如图，在棱长为√2的正方体ABCD-A'B'CD'中，点E、F、G分别是 棱A'B、B'C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于() 6/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B D C F E A. 3w5 B.2√5 C.55 D.32 2 2 2 6.如图，正方体ABCD-A,BCD的棱长为4，P,Q分别为棱AB,DD,的中点，过P,Q,B作正方体 的截面，则截面多边形的周长是() A P B C D C A.5+25+42 B.10+45+13 C.10+25+V13 D, 25+9√5+2√13 3 7.(24-25高一下·江苏连云港期末)己知正四面体.P-ABC的所有棱长均为5，D,E,F分别为棱PA, PB,PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为() A B. 2π 3 C.n D.2π 【题型四：轨迹问题】 1.(24-25高一下·北京通州期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=BC=4,AA=2,点P,Q 分别为BC,CD的中点，点M为长方形ADD,A,内一动点（含边界），若直线QMII平面APC,则点M的 轨迹长度为() D i A D B A.2 B.5 C.22 D.√o 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高一下·甘肃白银·期末)柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”柱子 在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、 束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为 ABC-A,B,C,其底面边长是3，侧棱长是12√5，M为AC的中点，N是侧面BCCB,上一点，且MN∥平 面ABC,,则点N的轨迹长为() N B M C A.27 B. 27 C.12 D.6 2 3.已知正方体ABCD-A,B,CD,棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A,C,则点P的轨迹长 度为() D A B D C A.2 B.2√2 C.4 D.3√2 4.(23-24高一下江苏南京·期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长是2，点P是棱AD的中点，Q是正 方体表面上的一动点，PQ上A,C,则动点Q的轨迹长度是() A.3 B.5 C.32 D.6N2 5.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点M是矩形ABCD内的动点，PA=6,AB=3,AD=4.直 线PM与平面ABCD所成角为60，则点M的轨迹长度为() A.3π B.23m D.2 2 3 c 6.(24-25高-下江西月考)己知三棱锥A-BCD的棱长均为2，点P在△8CD内，且AP-2 3 ,则点P 的轨迹的长度() A.3 B.2π C. D.元 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25高一下·浙江温州期末)已知正三棱柱ABC-A,BC,的棱长均为1，E,F,G,H分别为棱 BB,CC,AB,AC的中点，点M为线段EF上的动点，直线AM与平面A,GH交于点N,则点N的轨迹长度 是() B. 2-5 c. D. 03 串知识识框架 题型一：路径最短问题 题型二：截面的形状及交线问题 立体几何中的路径最 短、截面、轨迹问题 题型三：截面的周长、 面积问题 题型四：轨迹问题 04过关测稳提升 1.（24-25高一下天津河西月考)如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm,高为2cm,4B,CD分别是 两底面的直径，AD,BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的 长度是()cm.(结果保留根式) D BK------- 25 A. B.2W5 C.22 D.4 3 2.(24-25高一下山西·月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是() A.正方形 B.梯形 C.等边三角形 D.钝角三角形 3.已知正方体ABCD-A,B,CD,棱长为2，E为棱BB,的中点，则经过A,D,E三点的正方体的截面面积为() B.3W2 C.33 2 D 4.(24-25高二上广东广州月考)在三棱柱ABC-A,BC,中，AA,⊥平面ABC,AB=AC=2, 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBAC=120°，AA,=1,点P为底面ABC内动点，且AP=V2,则点P的轨迹长是() A B. 3 c智 D.2π 5.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点P为正方形A,B,C,D,内的动点，满足直线BP与下底面ABCD 所成角为60°的点P的轨迹长度为() D C A B B A.3 B. 3 C.5 D.3 6 2 6.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，若K为棱AB的中点，过A,C,K三点作正方体的截 面，则截面的周长为(). D K B B A.2V5+3√2 B.6 C.2W2+35 D.V5+2V2+3 下福建福州期末)如图，圆锥底面半径为}，母线PA=2,点B为PA的中点， A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为() B A.25,2v7 3 B.5, C.25,27 3 D.V5,27 7 8.已知正方体ABCD-A,B,C,D,E,F,G分别为棱AB,CC,CD的中点，若平面EFG截该正方体的 10/14