专题01 函数与变量（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题01 函数与变量 目录 A题型建模・专项突破 题型一、变量与常量 1 题型二、函数的概念 1 题型三、函数的自变量与函数值 2 题型四、列函数关系式表示简单的实际问题 2 题型五、用表格表示函数 2 题型六、用函数关系式表示函数 3 题型七、用图象表示函数 4 题型八、函数与实际问题的应用 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、变量与常量 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个过程．在该变化过程中，变量是 ． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ，常量是 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 题型二、函数的概念 4．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级·全国·专题练习）判断正误：若y是x的函数，则函数图象可以同时过和两个点（ ）（填“×”或“√”） 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是 （填序号）． 题型三、函数的自变量与函数值 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 题型四、列函数关系式表示简单的实际问题 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）下表是一次实验中测得的弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的几组对应值． 所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 18 20 22 24 26 28 (1)表格反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ． (2)用含x的代数式来表示弹簧的长度y为 ；在弹簧的弹性限度内，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 kg． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 题型五、用表格表示函数 13．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 14．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 题型六、用函数关系式表示函数 16．（2026八年级下·全国·专题练习）关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 17．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 题型七、用图象表示函数 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 20．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）： ． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）： ． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）： ． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）： ． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 题型八、函数与实际问题的应用 22．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 23．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（23-24七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 1．（25-26九年级上·安徽·期末）【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 2．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材．探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定： 1．从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 电子存单1 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1  总费用：32元 电子存单2 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1  总费用：44元 电子存单3 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1  总费用：62元 问题解决 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y（元）关于杨梅重量x（千克）之间的函数关系式． 任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 3．（2023·北京·模拟预测）阅读下面材料：若与意义相同，也就是说，与的表示法相同．给出一个不等式，并将解集表达在一个数轴上，我们规定（和都是不等式的解）： 解集 对应区间 函数在有意义，若在上单调递增，在上单调递减（y随x的增大而增大，我们称为单调递增，反之则为单调递减），则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或） 对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值．试验原理为：“对任意的都在的区间，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”． 我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）． (1)若，，求此试验的预计误差； (2)如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）． (3)选取、都在的区间，且，可以确定含峰区间为或．在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明） 4．（2023·河北·模拟预测）如图，匀速运行的传送带上有块薄木板（厚度不计）从向传送，同时有只小蚂蚁在上匀速往返爬行．发现当点与点重合时，小蚂蚁在处，当点与点重合时，小蚂蚁恰好完成的爬行过程．已知，，传送带运行的速度为．从点与点重合开始，设传送带运行的时间为间的距离为．    (1)小蚂蚁匀速爬行的速度为__________； (2)当时，求与间的函数关系式； (3)当时，求的值． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数与变量 目录 A题型建模・专项突破 题型一、变量与常量 1 题型二、函数的概念 2 题型三、函数的自变量与函数值 3 题型四、列函数关系式表示简单的实际问题 5 题型五、用表格表示函数 6 题型六、用函数关系式表示函数 8 题型七、用图象表示函数 9 题型八、函数与实际问题的应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、变量与常量 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个过程．在该变化过程中，变量是 ． 【答案】时间和冰的厚度 【分析】根据变量的定义，在变化过程中，时间和冰的厚度都在变化，因此都是变量． 本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在冰的厚度随时间变化的过程中，时间不断变化，冰的厚度也随之变化， ∴变量是时间和冰的厚度． 故答案为：时间和冰的厚度． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ，常量是 ． 【答案】 v，t 1000 【分析】本题考查了函数的定义，正确理解变量是指可以取不同值的量，常量是指固定不变的量，即可解题． 【详解】解：在平均速度公式中，时间t变化时，速度v也随之变化，故v和t都是变量，而距离1000米是固定值，故是常量． 故答案为：v，t；1000． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【答案】 时间和路程 路程 时间 时间 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中，变量有时间和路程，我们可以把路程看成是时间的函数，时间叫做自变量． 故答案为：时间和路程，路程，时间，时间． 题型二、函数的概念 4．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数中对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是关键． 根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 5．（2026九年级·全国·专题练习）判断正误：若y是x的函数，则函数图象可以同时过和两个点（ ）（填“×”或“√”） 【答案】× 【分析】本题考查了函数的定义．根据函数的定义，一个自变量x的值只能对应唯一的因变量y的值．点和有相同的x坐标但不同的y坐标，因此函数图象不能同时过这两个点． 【详解】解：根据函数的定义，一个自变量x的值只能对应唯一的因变量y的值． 点和有相同的x坐标但不同的y坐标，分别为2和3． 这与函数的定义矛盾．因此，该命题是错误的． 故答案为：×． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是 （填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 题型三、函数的自变量与函数值 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题的关键在于明确分式有意义的条件． 函数的分母不能为零，可得求解的值即可． 【详解】解：∵分母， ∴，解得． ∴自变量的取值范围是． 故选：D． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【答案】(1)， (2) (3)腰长为7.5 【分析】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解； （3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：代入到，则， ∴底边的长为4； （3）解：代入，得， 解得， ∴腰长为7.5． 题型四、列函数关系式表示简单的实际问题 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，根据乘车费用包括起步价和超过2公里部分的费用，列出关系式即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：， 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）下表是一次实验中测得的弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的几组对应值． 所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 18 20 22 24 26 28 (1)表格反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ． (2)用含x的代数式来表示弹簧的长度y为 ；在弹簧的弹性限度内，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 kg． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式． （1）根据表格标注的内容结合自变量和因变量的概念解答即可； （2）由表格可知，物体每增加，弹簧长度增加，据此即可写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式；把代入关系式计算即可求出所挂物体的质量． 【详解】（1）解：上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量． （2）解：∵物体每增加，弹簧长度增加，且弹簧的初始长度为， ∴； 当时，， 解得：，即所挂物体的质量为． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，总费用由成人票费用和学生票费用组成，成人票费用为元，学生票费用为20元，因此与的函数关系式为． 本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，成人游客名，每张成人票50元，故成人票费用为元； 学生游客1名，每张学生票20元，故学生票费用为20元． 总费用为成人票费用与学生票费用之和，因此． 故答案为：． 题型五、用表格表示函数 13．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 14．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 题型六、用函数关系式表示函数 16．（2026八年级下·全国·专题练习）关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了变量与常量的定义，掌握变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量是解题的关键． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在球的体积公式 中， 和 的值随球的大小变化而变化，是变量； 和 的值固定不变，是常量，选项B正确． 故选：B． 17．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 【答案】(1)常量：6；自变量：t；因变量：n． (2)常量：0.58；自变量：x；因变量：y 【分析】本题考查了常量、自变量与因变量的概念，掌握常量是固定不变的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． （1）（2）根据常量、自变量、因变量的定义，分别判断每个关系式中对应的量． 【详解】（1）解：在关系式中： ∵是固定不变的量， ∴常量是； ∵时间是主动变化的量， ∴自变量是； ∵旋转的角度随时间的变化而变化， ∴因变量是． （2）解：在关系式中： ∵是固定不变的电价， ∴常量是 ； ∵用电量是主动变化的量， ∴自变量是； ∵应交电费随用电量的变化而变化， ∴因变量是． 题型七、用图象表示函数 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 20．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）： ． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）： ． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）： ． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）： ． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 题型八、函数与实际问题的应用 22．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 23．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 24．（23-24七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 1．（25-26九年级上·安徽·期末）【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】(1)图见解析； (2)托盘中砝码的质量为 (3)托盘应该向左移动 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． （2）解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； （3）解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 2．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材．探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定： 1．从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 电子存单1 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1  总费用：32元 电子存单2 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1  总费用：44元 电子存单3 托寄物：杨梅  包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1  总费用：62元 问题解决 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y（元）关于杨梅重量x（千克）之间的函数关系式． 任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【答案】（1）；（2）元；（3）小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【分析】（1）根据寄送12千克花费44元列出方程求出m的值，进而求出y关于x的函数关系式即可； （2）分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到答案； （3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n，推出当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式，则，求出最大值为9，进而推出最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，计算出8件不超过的寄送方式的总花费为元，寄送的总花费为元，寄送的总花费为元，由于，则一件超过的寄送的杨梅数量是，即可得到小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴， ∴； （2）当元， 若单件寄送，则需寄费元， 若分两件寄送，则需寄费元， 若分三件寄送，则需寄费元， ∵， ∴寄送杨梅的最省费用为元； （3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n， 当时，， 当时，， ∴当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱， 设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式， 由题意得，， 解得， 又∵时正整数， ∴最大值为9， ∴还剩下元， ∵的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送， ∵8件不超过的寄送的寄费为元，，，， ∴一件超过的寄送的杨梅数量是， ∴小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023·北京·模拟预测）阅读下面材料：若与意义相同，也就是说，与的表示法相同．给出一个不等式，并将解集表达在一个数轴上，我们规定（和都是不等式的解）： 解集 对应区间 函数在有意义，若在上单调递增，在上单调递减（y随x的增大而增大，我们称为单调递增，反之则为单调递减），则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或） 对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值．试验原理为：“对任意的都在的区间，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”． 我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）． (1)若，，求此试验的预计误差； (2)如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）． (3)选取、都在的区间，且，可以确定含峰区间为或．在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明） 【答案】(1) (2)时，预计误差达到最小，证明见解析 (3) 【分析】本题考查新定义情况下的函数性质的研究： （1）直接代入公式计算预计误差； （2）通过分析不同情况下的误差最小值，确定和的最优位置； （3）根据给定条件分含峰区间为或两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由已知， ； （2）解：要使预计误差最小，需保证最小， 通过对称性分析， 当时，三部分长度相等，此时． 证明：分两种情况讨论点的位置， ①当时，如图所示， 如果， 那么； 如果， 那么； ②当时， 则． 综上，时，． 同理得时，． ∴当时，才能使这个试验方案的预计误差达到最小； （3）解：①当时， 若含峰区间为，在内取，根据（2）中讨论可知，预计误差最小为该区间长度的，故的最小值为； 若含峰区间为时， ∵该区间长度为，其最大值为1， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为； ②当时， 若含峰区间为，在内取，根据（2）中讨论可知，预计误差最小为该区间长度的，故的最小值为； 若含峰区间为时， ∵该区间长度为，其最大值为1， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为； 综上，当和时预计误差的最小值分别为． 4．（2023·河北·模拟预测）如图，匀速运行的传送带上有块薄木板（厚度不计）从向传送，同时有只小蚂蚁在上匀速往返爬行．发现当点与点重合时，小蚂蚁在处，当点与点重合时，小蚂蚁恰好完成的爬行过程．已知，，传送带运行的速度为．从点与点重合开始，设传送带运行的时间为间的距离为．    (1)小蚂蚁匀速爬行的速度为__________； (2)当时，求与间的函数关系式； (3)当时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或或 【分析】（1）根据时间相等关系列出方程即可求解； （2）分及两种情况分别求解即可； （3）分三种情况：、及，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小蚂蚁爬行的时间与木块运动的时间相等， 设小蚂蚁爬行的速度为，则：， 解得：， 经检验它是方程的解， 即小蚂蚁爬行的速度为； 故答案为：1； （2）解：当时， 点P从，此时，， ∴； 当时，点P从，此时，， ； 综上，； （3）解：当时，，则， ∵， ∴， ∴； 当时，，则， ∵， ∴， ∴； 当时，点P从， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，x的值为或或． 【点睛】本题属于动点问题，考查了函数解析式，一元一次方程，分式方程，路程、速度、时间的关系等知识，关键是正确理解题意，注意分类讨论思想的应用． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $