第16章 函数及其图象（复习讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理函数知识体系，将变量与函数、一次函数、反比例函数等核心内容按“知识点-重点归纳-常见易错点”结构呈现，用对比方式明确函数三要素、图象性质等重难点，清晰展现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础巩固到能力提升覆盖17类题型，如函数概念判断、实际问题建模等，通过典型例题培养抽象能力和模型意识。易错点分析结合具体错误案例，引导学生用数学思维纠错，支持不同层次学生提升，助力教师实施精准教学。

第七章 相交线与平行线（复习讲义） 1 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数的定义及三要素； 2 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法； 3 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律； 4 能根据实际情境或已知条件确定一次函数的表达式； 5 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置与、的关系，利用性质解决问题； 6 能运用一次函数解决实际问题中的方案选择、最值、行程等问题； 7 掌握反比例函数的有关基础概念，能够区分反比例与正比例函数的形式差异． 8 要熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析进行函数值的大小比较和变化趋势． 9 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题． 10 熟练运用待定系数法求函数解析式的方法步骤 11 掌握联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小． 12 能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题． 知识点 重点归纳 常见易错点 变量与函数 1. 变量:在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；常量：取值始终保持不变的量. 2. 如果在一个变化过程中，有两个变量如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则x是自变量，y是因变量，称y是x的函数. 3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法. 1. 混淆自变量与因变量 典型错误：学生在解决实际问题时，常常不能正确区分自变量和因变量，如"小明的身高与年龄的关系"中，学生可能将身高作为自变量，年龄作为因变量。 原因分析：学生对"自变量是独立变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量"这一概念理解不深。 2. 忽略函数定义的"唯一性"条件 典型错误：学生认为只要是两个变量之间的关系就是函数，如"一个圆的周长与半径的关系"是函数，但"一个圆的面积与直径的关系"不是函数。 原因分析：学生对函数定义"对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应"理解不透彻。 3. 忽视自变量的取值范围 典型错误：在求函数关系式时，忽略实际问题中的自变量取值限制。如"矩形的长与宽的关系"中，学生可能认为x可取任意正数，而忽略了矩形长和宽都为正数的限制。 原因分析：学生没有养成"函数关系式必须符合实际意义"的思维习惯。 函数的图象 4.平面中点的位置：可以用一对有序实数来确定. 5.建立平面直角坐标系：①画两条互相垂直且具有公共原点的数轴；②x轴或横轴：水平的数轴；③y轴或纵轴：竖直的数轴；④原点：两条数轴的公共的原点. 6.点的坐标：形式（x,y）；横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上对应的数；纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上对应的数. 7.四个象限：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限. 8.函数图象：函数的图象由平面直角坐标系中一系列的点组成的，图象上每一个点的坐标（x，y）表示函数的一对对应值. 9.描点法画图象：列表、描点、连线. 典型错误：学生认为函数图象必须是连续的曲线，如"某学校每天的出勤人数"的图象是连续的，而实际上应该是离散的点。 原因分析：学生对函数图象可以是连续的，也可以是离散的这一概念理解不全面。 一次函数 10.一次函数概念：形如y=kx+b，其中k，b是常数，k≠0； 11.正比例函数概念：形如y=kx，k是常数且k≠0. 12.一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，常找函数与坐标轴的交点，即可画出.令x=0，则y=b;令y=0，则x= ，即两点坐标为；正比例函数图象：正比例函数的图象是经过原点的一条直线，除了原点，再找一个点即可画出. 13.一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数的图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数的图象从左到右下降；b>0，图象与y轴交点在y轴的正半轴；b<0，图象与y轴交点在y轴的负半轴；b=0,图象经过原点. 14. 待定系数法求表达式：①设表达式y=kx+b；②代入两点坐标；③解关于k,b的方程（组）. 典型错误：学生在使用待定系数法求函数表达式时，设错函数形式或解方程组出错。 原因分析：学生对"设函数形式→代入已知点→解方程组"的步骤掌握不牢固。 反比例函数 15.反比例函数概念：形如（k是常数且k≠0）；自变量的范围是：x≠0，因此函数图象不是一条连续的线. 16.反比例函数的图象：函数图象有两支，称为双曲线. 17.反比例函数的性质：若k>0，则函数图象在一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，y随x的增大而减小；若k<0，则函数图象在二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，y随x的增大而增大.注意，对于反比例函数的性质，必须要区分所在象限，不能说k>0时，y随x的增大而减小. 典型错误：学生认为"反比例函数中，y随x的增大而减小"，而忽略了"在每个象限内"这一重要前提。 原因分析：学生没有理解反比例函数的性质需要在"每个象限内"讨论。 实践与探索 18.函数与方程：①直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解；②一次函数的解析式y = kx+b(k≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y = kx+b(k≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y = kx+b(k≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个；③两个一次函数图象交点的坐标即为联立两函数对应方程的解. 19.函数与不等式：解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 典型错误：学生无法理解"两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解"。 原因分析：学生对函数与方程的关系理解不深。 2. 一次函数与一元一次不等式的关系理解错误 典型错误：学生无法正确理解"y>0时，x的取值范围"与"函数图象在x轴上方的区域"之间的关系。 原因分析：学生对函数值与自变量取值范围的对应关系理解不清。 3. 实际问题中函数关系的建立错误 典型错误：在解决实际问题时，学生不能正确建立函数关系式，如"匀速运动问题"中，将路程与时间的函数关系写成s=vt，而忽略了s=vt+b（如果初始位置不是原点）。 原因分析：学生缺乏从实际问题中抽象出数学模型的能力。 题型一 函数的概念 【例1】在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是 ．（填序号） 【变式1-1】某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 故选：C． 【变式1-2】下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   题型二 函数的解析式 【例2】已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【变式2-1】为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【变式2-2】如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 题型三 自变量取值范围 【例3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【变式3-2】函数中自变量的取值范围为 ． 题型四 平面直角坐标系 【例4】如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知的两个顶点的坐标分别为和． (1)请补全原有的直角坐标系； (2)画出关于轴对称的，其中点、、的对应点分别为、、，写出点的坐标． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 题型五 从函数图像获取信息 【例5】一台自动测温记录仪记录的图象如图所示，其中T（）反映了某地冬季某天的气温，t（h）表示时间．下列说法错误的是（   ） A．图象反映是T关于t的函数关系 B．从0时至14时，气温随时间的增长而上升 C．14时气温最高，为 D．从14时至24时，气温随时间的增长而下降 【变式5-1】北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列各题： (1)潮高是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 【变式5-2】如图是甲乙两车分别从A、B两地相向开出，所行驶路程和花费时间统计图． (1)甲车的速度是______千米/小时． (2)乙车开出去几小时两车相遇？ (3)两车相距多少千米？ 题型六 一次函数的概念 【例6】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型七 一次函数与正比例函数的解析式 【例7】已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 【变式7-1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【变式7-2】已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则 ． 题型八 一次函数的性质 【例8】一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【变式8-1】若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【变式8-2】如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 一次函数的图象 【例9】下列图象可能是一次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图，图中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）． (1)在图中，画直线； (2)在图中，画直线． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 题型十 一次函数与方程的关系 【例10】一次函数的图象经过点和点．    (1)画出函数图象并求出该一次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标； (3)求一次函数与正比例函数的交点坐标 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 B．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 C．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 D．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 【变式10-2】若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为 ． 题型十一 一次函数与不等式的关系 【例11】（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． 【变式11-1】已知一次函数（为常数，）的图象经过点．求关于的不等式的解集． 【变式11-2】已知函数的部分函数值如表所示，则关于的不等式的解集是 ． … 0 1 2 … … 2 1 0 … 题型十二 一次函数的实际应用 【例12】如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【变式12-1】某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）变化情况如图所示． (1)求每毫升血液中含药量（毫克）与时间（小时）的函数关系式； (2)如果每毫升血液中含药量6毫克或6毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是多少小时？ 【变式12-2】风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 题型十三 反比例函数的概念 【例13】下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知函数是反比例函数，则m的值为 【变式13-2】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 题型十四 反比例函数的图象线 【例14】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【变式14-2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十五 反比例函数的性质线 【例15】已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 【变式15-2】关于反比例函数．下列说法不正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象分别位于第一、三象限 题型十六 k的几何意义 【例16】如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【变式16-1】如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为 ． 【变式16-2】如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为 ． 题型十七 一次函数与反比例函数的综合线 【例17】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【变式17-1】如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【变式17-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象写出：当时，一次函数的取值范围； (3)根据图象写出方程的解． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 7．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 8．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 9．一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 10．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．正比例函数的图像经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 13．已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 15．关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 17．若反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限，则m的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 19．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 20．若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 21．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 22．若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为 ． 23．点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为 ． 24．点关于原点的对称点的坐标是 ． 25．在中，若是的正比例函数，则值为 ． 26．如果一次函数的图像经过点， 则 ． 27．一次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 28．已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则 （用“>”或“<”填空）． 29．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 30．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 31．点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 三、解答题 33．在平面直角坐标系中，已知两点，其中点在第二象限，若轴，且，求的值． 34．已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 35．已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 36．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 37．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 38．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 39．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 8．（2021八年级上·广东东莞·竞赛）当 时，函数是以为自变量的一次函数 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 10．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 12．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是，，，直线上所有点的横坐标都为1． (1)若与关于轴对称，请写出三个顶点的坐标：________，________，________； (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的图形； (3)若点是上一点，则点关于直线对称的点的坐标是________． 13．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 17．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)列表：如表是与的几组对应值，其中______； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整． … … … … (2)观察图象并分析表格，回答下列问 ①当时，随增大而______； ②函数的图象是由函数的图象向______平移______个单位长度而得到； ③函数的图象关于点______成中心对称； ④不等式的解集是______； (3)设，是函数的图象上的两点，且，试求的值． 19．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)判断点在第几象限； (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 20．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 21．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线（复习讲义） 1 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数的定义及三要素； 2 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法； 3 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律； 4 能根据实际情境或已知条件确定一次函数的表达式； 5 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置与、的关系，利用性质解决问题； 6 能运用一次函数解决实际问题中的方案选择、最值、行程等问题； 7 掌握反比例函数的有关基础概念，能够区分反比例与正比例函数的形式差异． 8 要熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析进行函数值的大小比较和变化趋势． 9 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题． 10 熟练运用待定系数法求函数解析式的方法步骤 11 掌握联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小． 12 能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题． 知识点 重点归纳 常见易错点 变量与函数 1. 变量:在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；常量：取值始终保持不变的量. 2. 如果在一个变化过程中，有两个变量如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则x是自变量，y是因变量，称y是x的函数. 3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法. 1. 混淆自变量与因变量 典型错误：学生在解决实际问题时，常常不能正确区分自变量和因变量，如"小明的身高与年龄的关系"中，学生可能将身高作为自变量，年龄作为因变量。 原因分析：学生对"自变量是独立变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量"这一概念理解不深。 2. 忽略函数定义的"唯一性"条件 典型错误：学生认为只要是两个变量之间的关系就是函数，如"一个圆的周长与半径的关系"是函数，但"一个圆的面积与直径的关系"不是函数。 原因分析：学生对函数定义"对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应"理解不透彻。 3. 忽视自变量的取值范围 典型错误：在求函数关系式时，忽略实际问题中的自变量取值限制。如"矩形的长与宽的关系"中，学生可能认为x可取任意正数，而忽略了矩形长和宽都为正数的限制。 原因分析：学生没有养成"函数关系式必须符合实际意义"的思维习惯。 函数的图象 4.平面中点的位置：可以用一对有序实数来确定. 5.建立平面直角坐标系：①画两条互相垂直且具有公共原点的数轴；②x轴或横轴：水平的数轴；③y轴或纵轴：竖直的数轴；④原点：两条数轴的公共的原点. 6.点的坐标：形式（x,y）；横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上对应的数；纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上对应的数. 7.四个象限：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限. 8.函数图象：函数的图象由平面直角坐标系中一系列的点组成的，图象上每一个点的坐标（x，y）表示函数的一对对应值. 9.描点法画图象：列表、描点、连线. 1. 坐标表示错误 典型错误：学生在表示点的坐标时，常将横纵坐标顺序颠倒。如将点(2,3)写成(3,2)。 原因分析：学生对"坐标表示为(x,y)，x表示横坐标，y表示纵坐标"的理解不牢固。 2. 图象与实际问题的对应关系理解错误 典型错误：学生无法从图象中正确读出实际问题的含义，如"气温变化图"中，无法正确理解图象上升表示气温升高，下降表示气温降低。 原因分析：学生缺乏将抽象图象与具体实际问题联系起来的能力。 3. 函数图象的"连续性"理解错误 典型错误：学生认为函数图象必须是连续的曲线，如"某学校每天的出勤人数"的图象是连续的，而实际上应该是离散的点。 原因分析：学生对函数图象可以是连续的，也可以是离散的这一概念理解不全面。 一次函数 10.一次函数概念：形如y=kx+b，其中k，b是常数，k≠0； 11.正比例函数概念：形如y=kx，k是常数且k≠0. 12.一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，常找函数与坐标轴的交点，即可画出.令x=0，则y=b;令y=0，则x= ，即两点坐标为；正比例函数图象：正比例函数的图象是经过原点的一条直线，除了原点，再找一个点即可画出. 13.一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数的图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数的图象从左到右下降；b>0，图象与y轴交点在y轴的正半轴；b<0，图象与y轴交点在y轴的负半轴；b=0,图象经过原点. 14. 待定系数法求表达式：①设表达式y=kx+b；②代入两点坐标；③解关于k,b的方程（组）. 1. 混淆一次函数与正比例函数 典型错误：学生认为y=kx+b（k≠0）是正比例函数，或认为正比例函数不是一次函数。 原因分析：学生对一次函数和正比例函数的从属关系理解不清。 2. 一次函数增减性理解错误 典型错误：学生认为k>0时y随x的增大而减小，k<0时y随x的增大而增大。 原因分析：学生对一次函数增减性的规律记忆错误。 3. 求一次函数表达式时出错 典型错误：学生在使用待定系数法求函数表达式时，设错函数形式或解方程组出错。 原因分析：学生对"设函数形式→代入已知点→解方程组"的步骤掌握不牢固。 反比例函数 15.反比例函数概念：形如（k是常数且k≠0）；自变量的范围是：x≠0，因此函数图象不是一条连续的线. 16.反比例函数的图象：函数图象有两支，称为双曲线. 17.反比例函数的性质：若k>0，则函数图象在一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，y随x的增大而减小；若k<0，则函数图象在二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，y随x的增大而增大.注意，对于反比例函数的性质，必须要区分所在象限，不能说k>0时，y随x的增大而减小. 1. 忽视反比例函数的定义域限制 典型错误：学生在解题时，忽略x≠0的条件，导致结果错误。如"反比例函数y=k/x中，当x=0时y=0"。 原因分析：学生对反比例函数的定义理解不全面。 2. 反比例函数图象位置理解错误 典型错误：学生认为反比例函数y=k/x（k>0）的图象在第一、三象限，而k<0时在第二、四象限。 原因分析：学生对k的正负与图象位置关系记忆错误。 3. 反比例函数性质理解不全面 典型错误：学生认为"反比例函数中，y随x的增大而减小"，而忽略了"在每个象限内"这一重要前提。 原因分析：学生没有理解反比例函数的性质需要在"每个象限内"讨论。 实践与探索 18.函数与方程：①直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解；②一次函数的解析式y = kx+b(k≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y = kx+b(k≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y = kx+b(k≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个；③两个一次函数图象交点的坐标即为联立两函数对应方程的解. 19.函数与不等式：解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 1. 一次函数与二元一次方程组的联系理解错误 典型错误：学生无法理解"两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解"。 原因分析：学生对函数与方程的关系理解不深。 2. 一次函数与一元一次不等式的关系理解错误 典型错误：学生无法正确理解"y>0时，x的取值范围"与"函数图象在x轴上方的区域"之间的关系。 原因分析：学生对函数值与自变量取值范围的对应关系理解不清。 3. 实际问题中函数关系的建立错误 典型错误：在解决实际问题时，学生不能正确建立函数关系式，如"匀速运动问题"中，将路程与时间的函数关系写成s=vt，而忽略了s=vt+b（如果初始位置不是原点）。 原因分析：学生缺乏从实际问题中抽象出数学模型的能力。 题型一 函数的概念 【例1】在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 【变式1-1】某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键． 汽车匀速行驶，速度恒定；时间、路程和剩余油量均变化． 【详解】解：∵汽车匀速行驶， ∴行驶速度①为常量；行驶时间②、行驶路程③和剩余油量④均随过程变化， ∴变量有②、③、④，共3个． 故选：C． 【变式1-2】下列选项中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B． C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 题型二 函数的解析式 【例2】已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，求函数解析式．根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定自变量x的取值范围即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②由三角形三边关系，两边之和大于第三边，得， 即， 整理得，所以． 同时，边长大于零，故且， 由得， 但结合，故取值范围为． 故答案为：①；②． 【变式2-1】为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【答案】(1) () (2)70L 【分析】本题考查函数关系式以及函数的表示方法，理解数量之间的关系以及函数的意义是解题的关键． （1）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与之间的关系式； （2）求汽车行驶后，油箱中的剩余油量即求当时，的值． 【详解】（1）解：由题意得：汽车每行驶小时，油量减少， 则剩余的油量为： ()． （2）解：当时， 故行驶后，油箱中剩余的油量为． 【变式2-2】如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 题型三 自变量取值范围 【例3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式的分母不能为零，求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴分母， ∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． 【变式3-1】如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是列函数关系式，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系确定出自变量的取值范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系列出关系式，确定取值范围即可解题． 【详解】解：∵，且，， ∴． ∵即 解得． 故答案为：；． 【变式3-2】函数中自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式函数中自变量的取值范围，解题的关键是明确分式有意义的条件（分母不为0）． 根据分式有意义的条件，令分母不为0，求解得到自变量的取值范围． 【详解】解：因为函数是分式形式，分式有意义的条件是分母不为0， 所以令，解得：． 故答案为：． 题型四 平面直角坐标系 【例4】如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限；根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由图可知点位于第四象限， 在第一象限， 在第三象限， 在第二象限， 在第四象限， 故选：D． 【变式4-1】如图，已知的两个顶点的坐标分别为和． (1)请补全原有的直角坐标系； (2)画出关于轴对称的，其中点、、的对应点分别为、、，写出点的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)见详解，的坐标为． 【分析】本题考查图形与坐标，涉及建立平面直角坐标系、对称作图和写出直角坐标系中点的坐标等知识，熟练掌握图形与坐标、对称作图是解决问题的关键． （1）根据点A或点B坐标可确定平面直角坐标系； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出、、关于y轴的对应点、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：补全直角坐标系如图所示； （2）如图所示，的坐标为． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)13 【分析】本题考查坐标系描点和坐标系中图形的面积，掌握坐标系中点的坐标的含义和求面积的方法是解题关键． （1）根据坐标描点即可； （2）将四边形放在大四边形中，用大四边形的面积减去周边的规则图形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，描点如下： （2）解：如图，四边形的面积为． 题型五 从函数图像获取信息 【例5】一台自动测温记录仪记录的图象如图所示，其中T（）反映了某地冬季某天的气温，t（h）表示时间．下列说法错误的是（   ） A．图象反映是T关于t的函数关系 B．从0时至14时，气温随时间的增长而上升 C．14时气温最高，为 D．从14时至24时，气温随时间的增长而下降 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象的识别，从图象中获取信息是解题的关键． 观察函数图象，对四个选项逐一分析，判断正误． 【详解】图象反映的是T关于t的函数关系，故A正确； 从0时至4时气温随时间的增长而下降，4时至14时气温随时间的增长而上升，故B错误； 14时气温最高，为，故C正确； 从14时至24时，气温随时间的增长而下降，故D正确． 故选：B． 【变式5-1】北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列各题： (1)潮高是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 【答案】(1)潮高是时间的函数，理由见解析 (2)当时，函数值为，它的实际意义是时的潮高为 (3)一天内有3次潮高为 【分析】本题主要考查函数图象及函数的概念，解题的关键是理解函数图象； （1）根据函数图象的定义进行求解即可； （2）根据函数图象可直接进行求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：潮高是时间的函数，因为对于时间的每一个确定的值，潮高都有唯一确定的值与之对应，所以潮高是时间的函数． （2）解：由图象得，当时，函数值为，它的实际意义是10时的潮高为． （3）解：由图象得，过点垂直于轴的直线，交图象于三点，所以一天内有3次潮高为． 【变式5-2】如图是甲乙两车分别从A、B两地相向开出，所行驶路程和花费时间统计图． (1)甲车的速度是______千米/小时． (2)乙车开出去几小时两车相遇？ (3)两车相距多少千米？ 【答案】(1)； (2)乙车开出小时后两车相遇； (3)时两车相距千米． 【分析】本题主要考查了从函数的图象获取信息． （1）根据统计图可得甲车到达目的地的时间，以及A、B两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可求出甲车的速度； （2）同（1）求出乙车的速度，进而可求出相遇的时间； （3）求出时两车行驶的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：由统计图可得，甲车从A到B需要4小时，乙车从B到A需要3小时，且A、B两地相距360千米， ∴甲的速度为千米/小时， 故答案为：； （2）解：乙的速度为千米/小时， 小时， 答：乙车开出小时后两车相遇； （3）解：千米，千米， 千米， 答：时两车相距千米． 题型六 一次函数的概念 【例6】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，准确区分一次函数的概念是解题关键． 根据一次函数的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：一次函数的标准形式为， 对于：，其中，，故一定是一次函数； 对于：，在分母上，不是一次函数； 对于：，当时是一次函数，但当时，，不是一次函数，故不一定是一次函数； 对于：，的最高次数为，是二次函数，不是一次函数． 故选：． 【变式6-2】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 题型七 一次函数与正比例函数的解析式 【例7】已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将，代入，求出k的值，得出函数解析式即可； （2）将代入（1）中的函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴设， 把，代入得： ， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为，即； （2）解：由（1）知，y关于x的函数解析式是， ∴当时，． 【变式7-1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)x轴交点为，与y轴交点为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时x的值，即可得该函数图象与x轴的交点坐标．求出当时y的值，即可得该函数图象与y轴的交点坐标． 本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与两坐标轴的交点坐标．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：和代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：令，则， 解得， ∴与x轴交点为， 令，则， ∴与y轴交点为． 【变式7-2】已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由表可知，当时，，当时，，然后代入求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴， 得，， 解得：， 故答案为 ：． 题型八 一次函数的性质 【例8】一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】解：A．一次函数的图象随着的增大而减小，即A项错误， B．把代入得：，即在轴的截距为，即B项错误， C．把代入得：，解得：，即与轴交于点，，即C项错误， D．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D项正确， 故选：D． 【变式8-1】若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的增减性是关键．由题意可知y随着x的增大而增大，即得，所以，即可判断答案． 【详解】解：点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，， 随着x的增大而增大， ， ， 的值可能是1． 故选：D． 【变式8-2】如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出直线与y轴的交点坐标为，然后观察图象，即可判定②结论正确；由图象可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴，， ∴，故①结论错误； ∵当时， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∴观察图象得，当时，，故②结论正确； ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，故③结论错误； 将，，代入直线解析式，得 ， ∴， ∴，故④结论错误． ∴正确的结论有②，共1个． 故选：A． 题型九 一次函数的图象 【例9】下列图象可能是一次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图，图中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）． (1)在图中，画直线； (2)在图中，画直线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查了画一次函数图象，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （）连接交轴于点，可得，根据直线经过和，过点画直线，则直线即为所求： （）设直线与轴交于点，则，根据直线经过和，过点画直线，则直线即为所求： 【详解】（1）解：连接交轴于点， ∵， ∴， ∵直线经过和， ∴过点画直线，直线即为所求： （2）解：设直线与轴交于点，则， ∵直线经过和， ∴过点画直线，直线即为所求： 【变式9-2】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 题型十 一次函数与方程的关系 【例10】一次函数的图象经过点和点．    (1)画出函数图象并求出该一次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标； (3)求一次函数与正比例函数的交点坐标 【答案】(1)图见解析， (2)； (3)一次函数与正比例函数的交点坐标是． 【分析】（1）描点，连线即可作出函数图象，利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解； （3）联立，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：直线如图：    ∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； （3）解：由，解得， ∴， ∴一次函数与正比例函数的交点坐标是． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 B．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 C．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 D．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系即可得出结论． 【详解】解：∵方程的解是函数的图象与轴交点的横坐标， ∴方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标； ∵方程可转化为：， ∴的解也可以看成直线与轴交点的横坐标； 故选：B． 【变式10-2】若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查一次函数与坐标轴的交点问题，直线，与轴的交点为，与轴的交点为，熟练掌握一次函数的解析式和交点坐标是本题求解的关键． 方程的解，表示直线与轴的交点横坐标为，得到的关系，然后利用与的关系求直线与轴的交点坐标，完成求解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴，即， ∴， 对于直线， 令，则，即， ∴， 代入， 得， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 题型十一 一次函数与不等式的关系 【例11】（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． 【答案】（1）画图见解析； （2）； （3） 【分析】本题考查了画一次函数图象，求一元一次不等式的解集，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过列表、描点、连线画出函数图象； （2）先求出当时，自变量x的值，再结合图象求出不等式的解集； （3）先求出当时，再求出当时，求的取值范围． 【详解】（1）列表： x 0 1 2 3 y 5 3 1 描点、连线，如图： （2）当时，，解得：， 所以结合函数图象可知，不等式的解集为； （3）当时，， 结合函数图象可知当时，． 【变式11-1】已知一次函数（为常数，）的图象经过点．求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求解一元一次不等式的解集，先将经过的点代入函数解析式求出的值，再将的值代入不等式求解即可． 【详解】解：把点代入一次函数中， 得， 解得， 不等式即为， 解得． 【变式11-2】已知函数的部分函数值如表所示，则关于的不等式的解集是 ． … 0 1 2 … … 2 1 0 … 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定一次函数解析式． 首先根据表格数据可得当时，，当，把这两组值代入可得关于k、b的方程组，进而可得函数解析式，然后求解不等式即可． 【详解】解：由表格数据可得当时，，当， 把这两组值代入可得：，解得：， ， 不等式的解集：． 故答案为：． 题型十二 一次函数的实际应用 【例12】如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】(1) (2)小张购买这张消费卡实际花费元 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 【变式12-1】某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）变化情况如图所示． (1)求每毫升血液中含药量（毫克）与时间（小时）的函数关系式； (2)如果每毫升血液中含药量6毫克或6毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是多少小时？ 【答案】(1)当时，，当， (2)小时 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，以及求一次函数的自变量，以及有理数减法的实际应用． （1）用待定系数法求出和的解析式即可； （2）令，求出最有效的开始时间和结束时间，可得时长． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数关系式为， 根据函数图像可知，得：， 即当时，y与x之间的函数关系式是， 当时，设y与x之间的函数关系式为， 将，代入 得∶， 即当时，y与x之间的函数关系式是， （2）将代入，解得：， 将将代入，解得：， （小时）， ∴有效时间是小时． 【变式12-2】风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 题型十三 反比例函数的概念 【例13】下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式13-1】已知函数是反比例函数，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【详解】解：根据题意， ， 又，， 所以． 故答案为：． 【变式13-2】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 题型十四 反比例函数的图象线 【例14】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 【变式14-1】已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，第四象限内，y随x的增大而增大 (3)点不在这个函数的图像上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：列表， x … 1 2 4 … y … … 函数图像如下： 在第四象限内，y随x的增大而增大； （3）解：将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 【变式14-2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 题型十五 反比例函数的性质线 【例15】已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式15-1】已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由点在反比例函数图象上，求得，再根据反比例函数的增减性求解． 【详解】解：将点代入反比例函数， 得， 解得：， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：>． 【变式15-2】关于反比例函数．下列说法不正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质，，图象位于第二、四象限，且关于原点对称，在每个象限内y随x的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，关于原点对称，且在各自象限内y随x增大而增大． 选项A：当时，，图象经过点，正确； 选项B：反比例函数图象关于原点对称，正确； 选项C：当时，在第二象限，y随x增大而增大，正确； 选项D：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，错误； 故选：D． 题型十六 k的几何意义 【例16】如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 【变式16-1】如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据，，即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为：4． 【变式16-2】如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 连接，根据反比例函数中的几何意义，求出，再利用和共底，且它们的高相等，所以面积相等，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由反比例函数系数的几何意义， ， ∵轴， ∴， ∴与等底等高，面积相等， ， 故答案为：． 题型十七 一次函数与反比例函数的综合线 【例17】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 【变式17-1】如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 【变式17-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象写出：当时，一次函数的取值范围； (3)根据图象写出方程的解． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）利用反比例函数的解析式求得点B的坐标，然后根据图象即可求得当时，一次函数y的取值范围； （3）根据两函数图象的交点坐标，即可求得方程的解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入得，， ∴， 观察图象，当时，一次函数的取值范围是； （3）解：由图象可知，当或时，两函数相等， 所以方程的解是：或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 2．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了自变量的取值范围，理解题意是解决本题的关键． 函数为分式形式，分母不能为零，据此求解即可． 【详解】解：∵，分母， ∴． 故选D． 3．如果用表示七年级一班，那么八年级五班可表示成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对，解题的关键是根据题意确定有序数对的含义． 根据有序数对的第一个数表示年级，第二个数表示班级解答． 【详解】解：∵表示七年级一班， ∴八年级五班可表示成 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．熟练掌握该知识点是关键．根据在第二象限即可解答． 【详解】解：根据各象限内的点坐标的符号特征可知：，， 点所在的象限是第二象限， 故选：B． 5．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第二象限点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标，纵坐标， 即， 解不等式组得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 6．甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是结合图象以及各数量关系进行解答．首先由图象和题意可知：A，B两地之间的路程是，乙比甲提前出发，两车在相遇，再由可求得乙车的速度，据此即可求得甲车的速度，再求得的值，当两车相距时，分两种情况讨论，再求解，即可一一判定． 【详解】解：由图象和题意可知A，B两地之间的路程是，故A正确，不合题意； 乙车的速度为：，故B正确，不合题意； 从到这的时间内，两车一共行驶了． 因为， 所以． 所以乙车从地到地行驶的时间为， 即，故C正确，不合题意； 若相遇前相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 则甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 若相遇后相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 所以当两车相距时，甲车出发了或， 故D错误，符合题意． 故选：D． 7．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的形式为（k为常数，），根据定义直接判断各选项是否符合． 【详解】∵正比例函数的标准形式为， 选项A：，含有常数项+1，不符合形式； 选项B：，是反比例函数，不符合形式； 选项C：，符合形式，且； 选项D：，是二次函数，不符合形式． 故选：C． 8．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 9．一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象的性质解题即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随着的增大而减小， 当时，，图象经过， ∴选项A符合题意． 故选：A． 10．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴图象经过一二四象限，不经过第三象限， 故选C． 11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 12．正比例函数的图像经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像的象限，解题的关键是掌握k的作用：时过第一、三象限，时过第二、四象限． 【详解】解：函数， 所以图像经过第二、四象限， 故选：D． 13．已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质（增减性）及函数值的计算，解题关键是利用函数增减性或直接计算函数值来比较大小． 先根据正比例函数的性质判断函数的增减性，再代入点的横坐标求出、的值，进而比较大小． 【详解】解：正比例函数中，， ∴随的增大而增大． 将、代入函数： ，， 比较大小即：． A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果一致，符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：B． 14．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数解析式的确定方法，核心是使用待定系数法，通过已知点坐标代入函数式建立方程组求解参数．注意代入计算时符号的处理，避免因粗心导致错误． 【详解】∵点在上， ， . ∵点在上， ， 即. . 故选A 15．关于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴点在它的图象上，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，该选项说法正确，不符合题意； 、反比例函数的图象关于直线对称，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 17．若反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限，则m的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 反比例函数图象在第一、三象限时，比例系数大于零，转化为关于待定字母的不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：A． 18．如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 19．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 20．若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 21．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据“付款总金额生态瓶基础工具包费用玻璃瓶的费用”列式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 22．若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得， 故答案为：． 23．点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的横坐标与点P的横坐标相同，纵坐标与点P的纵坐标互为相反数． ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 24．点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均取相反数． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标为． 故答案为：． 25．在中，若是的正比例函数，则值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 26．如果一次函数的图像经过点， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴，解得； 故答案为：． 27．一次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴交点的求法，特别是与轴交点的坐标确定方法．关键在于理解轴上所有点的纵坐标（即值）都为0，因此将代入函数解析式，解出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】令，代入函数解析式得， 解得， 故交点坐标为． 故答案为: 28．已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵为常数， 故 ∴； ∴随的增大而增大， 故函数图象上的两点，，当时，． 故答案为：>． 29．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 30．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 31．点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 三、解答题 33．在平面直角坐标系中，已知两点，其中点在第二象限，若轴，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标关系，根据点在第二象限，求出，再根据轴，求出，利用两点间距离得出，结合题意求出最后结果即可． 【详解】解：在第二象限， ， ， 轴， ， 解得：， ， ，即， 则或， 解得：或， ， ． 34．已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点在轴上，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （2）由过点，的直线，与轴平行，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （3）由点到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （2）解：过点，的直线与轴平行， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （3）解：点到两坐标轴的距离相等， ． 当时，解得， ； 当时，解得， ， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 35．已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)，； (2)见解析； 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的绘制． （1）求与坐标轴交点坐标时，令或其中一个为0求解另一个坐标； （2）绘制函数图象时，根据两点确定一条直线的原理，利用求出的坐标确定直线位置． 【详解】（1）在一次函数中，令，可求出与轴交点的横坐标，令，可求出与轴交点的纵坐标； 令，则，解得，所以的坐标为； 令，则，解得，所以的坐标为． （2）根据（1）中得到的，两点坐标，在平面直角坐标系中描出这两点，然后用直线连接起来，即可得到函数的图象． 36．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不在 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入函数解析式求出的值即可判断求解； （）求出和时的值，再根据反比例函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上； （3）解：当时，；当时，， ∵， ∴在每个象限内，的值随着的增大而增大， ∴当时，的取值范围为． 37．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在该反比例函数的图象上， ∴ ∴； （2）解：反比例函数（为常数），当时，的值随值的增大而减小， ． ． 38．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 39．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． （2）将点坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题． （3）分别求出点和点的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 故答案为：1． （2）解：由（1）知，点的坐标为． 将点坐标代入得，， 则反比例函数的解析式为． （3）解：将代入得，， 所以点的坐标为． 将代入得，， 所以点的坐标为， 所以的面积为：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解本题的关键在掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 首先计算出当点在直线上时m的值，再计算出当点在直线上时m的值，点M在两条平行直线之间，即点M的纵坐标介于两条直线在相同横坐标处的纵坐标之间，即可得答案． 【详解】解：点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 当点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 又∵点在两条直线之间，且两条直线平行， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的斜率和截距，分析参数的符号，判断两个函数图象是否一致． 【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾． 不符合题意； B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意； C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意； D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是通过一次函数的斜率（判断增减性）、截距（判断与轴交点位置），分析参数的符号，验证两个函数对应的符号是否一致． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题要结合一次函数和反比例函数图象的性质，通过分析比例系数的符号对两个函数图象的影响，逐一排查选项． 【详解】解：．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象一致，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，解题关键是根据的符号，分别分析两个函数的图象特征：反比例函数的象限分布、一次函数的增减性和与 轴的交点位置，通过逻辑推理逐一排除不符合的选项． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 二、填空题 8．（2021八年级上·广东东莞·竞赛）当 时，函数是以为自变量的一次函数 【答案】0或 【分析】考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．同时考查了分类思想的运用． 根据一次函数的定义，令或两种情况讨论即可求得的值． 【详解】解：根据题意得， 解得：； 或， 解得：． 综上可知当或时，函数是以为自变量的一次函数． 故答案为：0或． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 【答案】（2）（4） 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数的图象及性质，逐一判断各选项是否正确． 【详解】函数 是反比例函数，比例系数 ， 选项 (1)：由 时，得反比例函数图象分布在一、三象限，故该说法正确； 选项 (2)：当 时，则或，故该说法错误； 选项 (3)：若点 在图象上，则，可得，所以点 也在图象上，故该说法正确； 选项 (4)：取点 和 ，满足 ，但，不满足 ，故该说法错误； 故答案为：(2) （4）． 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 12．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是，，，直线上所有点的横坐标都为1． (1)若与关于轴对称，请写出三个顶点的坐标：________，________，________； (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的图形； (3)若点是上一点，则点关于直线对称的点的坐标是________． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，中点坐标公式，熟练掌握对称作图和中点坐标公式是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标后画图即可； （3）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标． 【详解】（1）解：∵与关于x轴对称，，，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：如图所示，即为所求： ； （3）解：设对称点坐标为， 根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)点P的坐标为或； (3)点的坐标或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； （3）解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)①②③ (2)240 (3)甲的速度是，乙的速度是． (4)甲出发0.5h或4.5h后，甲、乙两人相距180km 【分析】（1）由图可知，甲到达终点时应最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时为0；乙到达终点时不算最大，因为此时甲还没有到达终点，据此可得到答案； （2）由（2）可知的最大值即为两地之间的距离； （3）由（2）可得甲、乙得行驶时间，再根据公式计算即可； （4）根据路程差÷速度=时间差可以解得． 【详解】（1）解：（1）由图像可知，为甲到达了终点，为甲、乙两人相遇时，为乙到达终点． 故答案为：①  ②  ③． （2）解：根据图象和图象中的数据可知甲、乙两人之间的最大距离是，则两地间的距离为． 故答案为：． （3）解：甲的速度是， 乙的速度是． （4）解：分以下两种情况讨论： ①甲、乙相遇前，根据题意，得； ②甲、乙相遇后，根据题意，得． 故甲出发或后，甲、乙两人相距． 【点睛】本题考查了函数图像在实际问题中的应用，正确理解图象各点的意义、熟练把握行程问题各量之间的关系是解题的关键． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）见解析；（3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；探究二：右侧；1；探究三：的值为1或5 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：， 填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 17．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①是的反比例函数，；②；③减小，减小，下； (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数及画图等．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象的画法，反比例函数的性质，反比例函数图象的平移． （1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察表格数据可知，是x的反比例函数，设， 把代入计算， 得到，即可；②根据与x成反比例函数，设， 即可得解；③根据图象上函数值随自变量的变化情况作答即可； （3）把代入 计算即可． 【详解】（1）解：作出关于的函数图象如下： （2）①观察表格可知，是的反比例函数， 设， 把代入得：， ∴， ∴关于的函数表达式是； ②∵， ∴； ∴； ③观察图象可得， 当时，随的增大而减小， 随的增大而减小， 的图象可以由的图象向下平移5个单位长度得到； 故答案为：减小，减小，下； （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)列表：如表是与的几组对应值，其中______； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整． … … … … (2)观察图象并分析表格，回答下列问 ①当时，随增大而______； ②函数的图象是由函数的图象向______平移______个单位长度而得到； ③函数的图象关于点______成中心对称； ④不等式的解集是______； (3)设，是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)，作图见解析； (2)①减小；②下，；③；④或 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出的值，再根据函数的对称性补充完整图象． （2）①通过观察图象和表格数据判断函数在时的单调性；②将函数变形，分析其与的图象平移关系；③根据函数的中心对称性质确定对称点；④解不等式，通过移项、通分等步骤求解． （3）利用得到，再将两点代入函数解析式，进而求出的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 补充图象如下： （2）解：①观察图象和表格，当时，随增大而减小， 故答案为：减小； ②∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到， 故答案为：下，； ③函数的图象关于原点成中心对称，平移后函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：点； ④由图可知，或时，的图像在的下方， ∴不等式的解集是或． （3）解：∵， ∴． ∵，在函数的图象上， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、函数图象的平移、不等式的解法以及函数的中心对称等知识点，熟练掌握反比例函数的性质、函数图象的变换规律以及分式不等式的解法是解题的关键． 19．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)判断点在第几象限； (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 【答案】(1)第二象限 (2)a＞c＞b (3)8 【分析】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）由反比例函数图象经过一三象限确定的取值范围，从而判断点所在象限； （2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断； （3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时的值，从而列方程求解． 【详解】（1）解：反比例函数图象经过一、三象限， ，， 点在第二象限； （2）解：反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， 又点，在反比例函数上， 可得， 解得：， ，，的大小关系为：； （3）解：∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴在每一象限内随x的增大而减小， 又∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴在每一象限内随x的增大而增大， 又∵，当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， ∴当时，；当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴当时，代入中， ∴， ∴，， 若， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴当时，． 20．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 21．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 2 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $