第16章 函数及其图象（单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第16章 函数及其图象·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 2．一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 6．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 10．《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 12．如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ． 13．如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为 ． 14．若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则 ． 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 16．甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线，与直线，分别交于点M，N，当点M，N，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值______． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 20．（10分）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 21．（10分）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 22．（12分）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 23．（14分）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第16章 函数及其图象·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B C D B A D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．0 12． 13．/ 14．4 15．或 16．①③ 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 【详解】解：任务1：将点代入，得：， 解得：；（2分） 将点代入，得， 解得：；（4分） 任务2：∵， ∴． ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为． 联立得：，解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为．（8分） 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线，与直线，分别交于点M，N，当点M，N，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值______． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得，（1分） 解得， 直线的解析式为；（3分） （2）解：与轴交于点， 当时，， 解得， ，（4分） ， ， 联立直线与得： 解得： ， ；（6分） （3）解：根据题意得，当时，，， ， 分两种情况：当在点左侧时， 点，构成的线段的中点为点时， ， 解得：，不符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，不符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，符合题意； 当在点右侧时， 点，N构成的线段的中点为点E时， ， 解得：，符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，不符合题意； 综上可得：或或． 故答案为：5，，．（10分） 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵轴，点的坐标为，点是边与轴的交点， ∴，（1分） ∴， ∵， ∴， ∴，（3分） 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为；（4分） （2）解：由（1）得，，，， ∴， ∵矩形， ∴，，即， ∵轴， ∴轴，轴， 当时，， ∴，（6分） ∴， ∴， ∴，（7分） ∵点是边与轴的交点， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或．（10分） 20．（10分）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， （4分） 任务2：， ∴当时，（元）（6分） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ．（8分） 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度．（10分） 21．（10分）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 【详解】（1）解：列表： 描点、连线画出的图像如图所示：   （2分） ①将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． 故答案为：3，2，（5分） ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为B．（6分） ③解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为．（7分） （2）函数是由向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对称中心是， 故答案为：右平移2个单位；向上平移1个单位；．（10分） 22．（12分）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【详解】解：（1）根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为；（2分） （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是；（4分） （3）根据题意，得，解得，（6分） 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟．（8分） （4）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：，（11分） 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 则该品牌头盔每个应涨价5元．（12分） 23．（14分）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”．（2分） （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得，（6分） 的函数表达式为．（8分） （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 （11分） ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第16章 函数及其图象·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A、，， 直线经过第一、三、四象限，故不符合题意； B、当时，，解得：， 直线与轴交点的坐标是，故图象与x轴交于正半轴，不符合题意； C、当时，， 直线与轴交点的坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形面积，故不符合题意； D、， 随的增大而增大，符合题意； 故选：D． 2．一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的实际应用，关键是通过纸杯“上宽下窄”的形状，分析横截面积变化对水位上升速度的影响，进而匹配对应的函数图象特征． 【详解】解：纸杯呈上宽下窄的形态，意味着随着水的高度增加，纸杯的横截面积逐渐增大。 设倒水速度为（单位时间倒入水的体积，恒定不变）， 则水的高度变化满足（)为单位时间内倒入水的体积，为单位时间内水位上升的高度）； 变形得，由于随增大而增大， 所以随增大而减小，即水位上升速度逐渐变慢；   函数图象中，“水位上升速度逐渐变慢”表现为曲线的斜率逐渐减小（图象越来越平缓）；观察选项：   A选项：直线，斜率不变（水位匀速上升），不符合；   B选项：折线且斜率先小后大（水位先慢后快上升），不符合；   C选项：曲线斜率逐渐减小（水位上升速度逐渐变慢），符合；   D选项：曲线斜率逐渐增大（水位上升速度逐渐变快），不符合．   因此选择C选项．   故选：C． 3．已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据两点求直线方程，再向左平移得到新直线，求新直线与坐标轴的交点，计算直角三角形面积． 【详解】解：把和代入，得： ，解得， ∴， 将向左平移3个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴； 故选B． 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点坐标的符号特征．根据第四象限点坐标的特征，横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标， 由，得； 由，得； ∴x的取值范围是， 故选：C． 5．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 7．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．点是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式，即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于、的二元一次方程组解即可求出． 【详解】解：一次函数和的交点为． 它们关于轴对称的一次函数和的交点也关于轴对称，为， 关于，的方程组的解为， 故选：A． 8．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，结合，可推出，得到，再结合图象可知，，从而求得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∴， 同理，即． ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴，即． 由图象可知，， ∴， ∴． 故选：D． 10．《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查反比例函数：根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数k，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 12．如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解题的关键．利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：在一次函数中，令，则，令，则 直线经过点，，． 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，则点的对应点为，的对应点是． 设对应的函数解析式为：， 将点、代入得， 解得， 旋转后对应的函数解析式为： 故答案为：． 13．如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将点向下平移1个单位长度得到点，连接，易得四边形是平行四边形，因此， 可得四边形的周长，作点关于直线的对称点，连接，易得当、、三点共线时，取最小值，由，，求出直线所在的解析式为，即可求出点，点，求出此时该四边形的面积即可． 【详解】解：将点向下平移1个单位长度得到点，连接， C，D是直线上的两动点，且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形的周长， 作点关于直线的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值，如图所示， ，， 设直线所在的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， 直线所在的解析式为， 当时，点， ， 点， ． 14．若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据闭函数的定义，反比例函数在区间上需满足最小值为，最大值为，由于函数在定义域内单调递减，因此最大值在处取得，最小值在处取得，从而列出方程求解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：因为反比例函数在区间上单调递减， 因此当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， 根据闭函数定义，最大值等于，最小值等于，即，， 将两式相乘，得：， 解得：或， 但考虑到区间需使函数有定义且连续，和必须同号（均正或均负），因此 ， 故， 故答案为：4． 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数的中心对称性可得点横坐标，再利用函数图象得出的取值范围． 【详解】解：，两点在正比例函数的图象上， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 由函数图象可知，在点的左侧和点的右侧， 当时，或． 16．甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了追击问题在实际生活中的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时认真阅读函数的图象的内涵意义是解答本题的关键． 由函数图象可以得出甲车行驶小时与乙车相遇，而甲车再行驶小时就与乙车相距可以得出乙车比甲车每小时快，得出甲车走完这所用时间为小时，就可以求出甲车的速度为，就可以求出全程距离为，由函数图象可以得出乙车追上甲车的时间是小时，乙车由地去地的时间为小时，则可以得出结论． 【详解】解：由函数图象及题意可得，甲车的速度为，故①结论正确； ，两地相距，故②结论错误； ， 在甲车出发后，乙车开始出发， 乙车追上甲车的时间是，故③结论正确； 乙车从地到地共用，故④结论错误． 综上所述，正确的是①③． 故答案为：①③． 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 【答案】任务1：，；；任务2： 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． 任务1∶运用待定系数法即可求得答案； 任务2：由，得，即可求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立即可求得点P的坐标． 【详解】解：任务1：将点代入，得：， 解得：； 将点代入，得， 解得：； 任务3：∵， ∴． ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为． 联立得：，解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线，与直线，分别交于点M，N，当点M，N，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值______． 【答案】(1) (2) (3)5；； 【分析】本题目考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，，，，，，然后分两种情况：当在点左侧时，当在点右侧时，根据中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：与轴交于点， 当时，， 解得， ， ， ， 联立直线与得： 解得： ， ； （3）解：根据题意得，当时，，， ， 分两种情况：当在点左侧时， 点，构成的线段的中点为点时， ， 解得：，不符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，不符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，符合题意； 当在点右侧时， 点，N构成的线段的中点为点E时， ， 解得：，符合题意； 点，E构成的线段的中点为点N时， ， 解得，符合题意； 点E，N构成的线段的中点为点M时， ， 解得，不符合题意； 综上可得：或或． 故答案为：5，，． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、三角形的面积公式； （1）根据轴以及点的坐标为，求出点的坐标，再结合，求出，再代入到，求出的值即可； （2）根据矩形的性质可得，，进而得出轴，轴，利用反比例函数的性质求出，进而得到，设点的坐标为，再利用矩形和三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵轴，点的坐标为，点是边与轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）得，，，， ∴， ∵矩形， ∴，，即， ∵轴， ∴轴，轴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边与轴的交点， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 20．（10分）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 21．（10分）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 【答案】(1)画图见解析； ①3，2，； ②B； ③ (2)右平移2个单位；向上平移1个单位； 【分析】（1）先用描点法画出图像，①②根据函数图像的平移规律即可解答；③先求出时的取值，然后结合函数图像即可解答． （2）根据发现的规律填空即可 【详解】（1）解：列表： 描点、连线画出的图像如图所示：    ①将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． 故答案为：3，2， ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为B． ③解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为． （2）函数是由向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对称中心是， 故答案为：右平移2个单位；向上平移1个单位；． 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数的性质、对称中心、运用函数图像求不等式解集等知识点，正确画出函数的图像是解答本题的关键． 22．（12分）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 （4）则该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． （4）设头盔每个涨价m元，根据题意列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． （4）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 则该品牌头盔每个应涨价5元． 23．（14分）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第16章 函数及其图象·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 2．一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 6．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 10．《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 12．如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ． 13．如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为 ． 14．若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则 ． 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 16．甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线，与直线，分别交于点M，N，当点M，N，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值______． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 20．（10分）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 21．（10分）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 22．（12分）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 23．（14分）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $