专题04 反比例函数（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题04 反比例函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的定义 1 题型二、反比例函数的解析式 1 题型三、反比例函数的图象 2 题型四、反比例函数的增减性 3 题型五、K的几何意义 4 题型六、反比例函数与一次函数的综合 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的定义 1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为 ． x a y 8 32 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）若是反比例函数，则 ． 题型二、反比例函数的解析式 4．（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，直线与反比例函数（为常数，）交于，两点，与轴，轴分别交于两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 5．（25-26九年级上·福建漳州·月考）若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、轴都在格线上，其中反比例函数（，）的图像被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型三、反比例函数的图象 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求m，n的值； (2)在图中画出函数图象的草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为 ． 题型四、反比例函数的增减性 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型五、K的几何意义 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为 ． 15．（25-26九年级上·河南周口·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六、反比例函数与一次函数的综合 16．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 18．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 6．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 8．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 10．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的定义 1 题型二、反比例函数的解析式 2 题型三、反比例函数的图象 5 题型四、反比例函数的增减性 7 题型五、K的几何意义 9 题型六、反比例函数与一次函数的综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的定义 1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，得，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，则，y不是x的反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为 ． x a y 8 32 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设，求出，，再将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设， 当，时， ， 解得：， ， 当，时， ， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）若是反比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 题型二、反比例函数的解析式 4．（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，直线与反比例函数（为常数，）交于，两点，与轴，轴分别交于两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，求反比例函数解析式． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵点在反比例函数（为常数，）上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 5．（25-26九年级上·福建漳州·月考）若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点P代入求出k值，再验证各选项点是否满足方程即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得， ∴双曲线方程为． 对于选项A．，即点不在双曲线上； 对于选项B．，即点不在双曲线上； 对于选项C．，即点在双曲线上； 对于选项D．，即点不在双曲线上． 故选C． 6．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、轴都在格线上，其中反比例函数（，）的图像被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及其系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键． 观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，此时点，， 则点，满足； 当时，，此时点，， 则点，满足， 结合选项，当时，更符合图像， 故选：B． 题型三、反比例函数的图象 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 8．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求m，n的值； (2)在图中画出函数图象的草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图象见解析，或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，画函数图象，以及与不等式的关系． （1）利用待定系数法即可求解m，n的值； （2）先求出一次函数与反比例函数的解析式，然后画出草图，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由得， 将，两点代入，则 解得：， 即m，n的值分别为2和； （2）解：∵， ∴，，反比例函数解析式为， 将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 则可画图象为： 由图象可得，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围：或． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 题型四、反比例函数的增减性 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确； 当时，，故图象经过点，故C选项正确； 对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确． 故选：D． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 12．（25-26九年级上·辽宁锦州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数值的大小比较，通过点求出反比例函数的比例系数k，再代入点A和点B的横坐标求出和，最后比较大小，即可作答． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为， ∴点都在反比例函数的图象上， 则 ∵， ∴， 故选：C 题型五、K的几何意义 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，结合两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．则，据此即可作答． 【详解】解：∵轴于点，交于点，∴，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．连接，得到和的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴轴， ∴点和点到的距离相等， ， ， 故答案为：3． 15．（25-26九年级上·河南周口·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义即可得，故①正确；设点P的坐标为，则，，可得，故②错误；，故③正确；连接，利用反比例函数系数的几何意义可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵是反比例函数上的点，轴，轴， ∴，故①正确； 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴无法确定和的大小关系，故②错误； 根据题意得：长方形的面积是k， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 题型六、反比例函数与一次函数的综合 16．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握字母对图象的影响是解题关键． 对k和b的符号进行分类讨论，判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴k和b的符号相反， 当，时，一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，选项C符合； 当，时，一次函数的图象经过一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限，没有符合的选项． 故选：C． 17．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 18．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)①左，1；②B (3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 6．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 7．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 8．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 10．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 11．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 【详解】（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键. 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $