专题04 一元一次不等式组的解法与含参问题（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题04 一元一次不等式组的解法与含参问题 目录 典例详解 类型一、一元一次不等式组的解法与解集表示 类型二、已知不等式组的解集求参数 类型三、不等式组与方程组的结合问题 压轴专练 类型一、一元一次不等式组的解法与解集表示 解不等式组的基本方法 ① 分别解出每个不等式的解集； ② 将各解集在同一数轴上表示； ③ 根据“同大取大、同小取小、大小交叉中间找、大小分离则无解”确定公共部分。 【重要性质】 ① 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分； ② 解集在数轴上表示时要明确公共部分； ③ 无解的情况要能识别并在数轴上正确表达。 例1．（25-26八年级上·重庆·月考）解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，熟练掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 变式1-1．（18-19七年级下·全国·单元测试）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②， 解①得，解②得． 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，由，知①或②，再分别求解即可． 【详解】解：， ①或②， 解①，得：无解， 解②，得：． ． 变式1-2．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C． 类型二、已知不等式组的解集求参数 1.解题思路 ① 先用参数表示不等式（组）的解集； ② 根据已知解集建立关于参数的方程或不等式； ③ 解出参数值或范围，注意检验。 2.常见题型 ① 解集为某个具体范围； ② 解集包含某个特定整数或整数个数已知； ③ 解集为无解或全体实数。 【重要性质】 ① 参数可能在系数位置或常数位置，影响不同； ② 常需讨论参数的正负对不等号方向的影响； ③ 最终结果要验证是否满足不等式组的所有条件。 例2．（21-22九年级下·安徽芜湖·自主招生）若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解不等式组是解题的关键． 由条件确定的范围，结合不等式性质求的最大值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由已知可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 故答案为：． 变式2-1．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解为：2，3，4， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是 ； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查的是根据不等式组的解集求解字母系数的值或取值范围； （1）设小明填写的数字为a，再解不等式组，再根据解集的情况建立方程求解即可； （2）根据（1）的结论，结合不等式组无解，建立不等式求解即可. 【详解】解：（1）设小明填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为，而不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小明填写的数字为6． （2）由（1）得： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于． 类型三、不等式组与方程组的结合问题 综合处理方法 ① 先解方程组，将变量用参数表示； ② 将结果代入不等式组，得到关于参数的不等式； ③ 解出参数范围，并根据题目要求（如整数解）进一步筛选。 【重要性质】 ① 方程组提供等量关系，可消元或代入； ② 不等式组提供范围限制，常与整数解、正数解等结合； ③ 注意解方程时可能产生的特殊情况（如分母为零）。 例3．（23-24九年级上·四川巴中·开学考试）若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，然后代入不等式即可求解． 【详解】解：， ①②，得：， ， ∴， 代入②，得：， ， ∴， ∴方程组的解为：， ∴， ∴， ∴． 变式3-1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 变式3-2．（21-22八年级下·江西抚州·期中）已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法直接利用“加减消元法”求解即可． （2）根据方程的解x、y为非负数，建立不等式组即可求解k的取值范围． （3）根据（2）中的k值取值范围，将绝对值符号去掉，进行化简即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵方程组的解是非负数， ∴， 解不等式③，得：， 解不等式④，得：， 则不等式组的解集为； （3）解：∵， ∴，， 则 ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组以及根据取值范围对绝对值进行化简，能够熟练掌握“消元法”是解决本题的关键． 一、选择题 1. （24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知实数a，b满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组．通过已知条件联立方程，求出和的范围，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：由，得， 将代入， 得， 解得：，故A正确，但不符合题意； ， 移项，得， 把代入， 得： 解得：，故B正确，但不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确，但不符合题意， 综上所述，选项C的范围错误， 故选：C． 2. （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据，求出，根据a、b均为负数，求出，解不等式组，得出，再根据，求出t的取值范围即可． 【详解】解：， 两个方程可得得， 又， ∴， 解得：， ， ∴， ． 故选：B． 3. （24-25七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有2个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的的整数值为：，和为； 故选B． 【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 二、填空题 4. （24-25七年级下·安徽芜湖·期末）关于的不等式组，只有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组得到，再利用不等式组只有4个整数解，则x只能取17、18、19、20，所以，然后解关于a的不等式组即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组只有4个整数解， 所以， 所以． 故答案为：． 5. （24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 三、解答题 6. （24-25七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组． 【答案】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键． 先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 7. （2024七年级下·安徽·专题练习）阅读理解题：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得； 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，由两数相乘异号得负得出关于的不等式组，解之可得答案． 【详解】解：根据题意可得①或②， 解不等式组①，知该不等式组无解； 解不等式组②，得， 该不等式的解集为． 8. （23-24七年级下·安徽六安·月考）先阅读下列例题，再按要求完成下列问题．例：解不等式．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①，或②，解不等式组①，得解不等式组②得，所以的解集为或． (1)仿照上述方法解关于x的不等式；； 任务二： (2)直接写出不等式的解集是___________． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可； （2）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可． 【详解】（1）解：由得①，或②， 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：， ∴不等式的解集为或． （2）解：由不等式，得①，或②， 解不等式组①，得：， 不等式组②无解， ∴不等式的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组．解题的关键是理解题目中给出的材料，得出相应的不等式组． 9. （2025八年级·全国·竞赛）对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． (1)若，求的值； (2)若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算、二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据新运算对条件式进行变形，然后解二元一次方程组即可； （2）由新运算得到的范围，根据整数解进行筛选即可． 【详解】（1）解：若，则 ，整理得， 解得， 则； （2）解：由题意得， ， ， 则， ∵解集中恰有5个整数解， ∴， ∴， 解得：． 10. （24-25七年级下·安徽亳州·月考）关于x，y的方程组  的解是非负数，的值不大于1，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程组，根据解是非负数，的值不大于1得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 由①②得：，即， 把得：， ∴， 是非负数，的值不大于1， ∴ 解得：. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，解题关键是准确求解含参数的方程组并根据题意列不等式组． 11. （24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 12. （23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：关于、的方程组： (1)求这个方程组的解：（用含有字母的代数式表示） (2)若这个方程组的解满足为非负数，为负数，求字母的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）根据x、y的值的正负情况列出不等式组，然后求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】（1）解： ①×3，得：6x+3y=15a  ③ ②+③，得：7x=14a+7， ∴ x=2a+1， 将x=2a+1 带入①式，得y=a-2， ∴这个方程组的解为：； （2）解：∵方程组的解满足为非负数，为负数，        ∴ x≥0 , y<0， 即， 解不等式①得，a≥， 解不等式②得，a＜2， ∴不等式组的解集是， ∴字母a的取值范围是 【点睛】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题的关键． 13. （2024·安徽·模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)p的最大值是5，最小值是 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【详解】（1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是； 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解) 14. （23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解均为非负数， (1)用的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，正确求出方程组的解是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求结合题意可得，解不等式组即可得到答案； （3）根据（2）所求得到，据此化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵关于的方程组的解均为非负数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 15. （23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用，理解题意，熟练的建立不等式组解题是关键； （1）先解方程组得到，利用为非正数，为负数，建立不等式组解题即可； （2）把不等式整理为，再结合不等式的解集与（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∵， ∴， ∴的取值范围为． （2）∵ ∴． ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 又∵， ∴． 又∵是整数， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次不等式组的解法与含参问题 目录 典例详解 类型一、一元一次不等式组的解法与解集表示 类型二、已知不等式组的解集求参数 类型三、不等式组与方程组的结合问题 压轴专练 类型一、一元一次不等式组的解法与解集表示 解不等式组的基本方法 ① 分别解出每个不等式的解集； ② 将各解集在同一数轴上表示； ③ 根据“同大取大、同小取小、大小交叉中间找、大小分离则无解”确定公共部分。 【重要性质】 ① 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分； ② 解集在数轴上表示时要明确公共部分； ③ 无解的情况要能识别并在数轴上正确表达。 例1．（25-26八年级上·重庆·月考）解不等式组： (1) (2) 变式1-1．（18-19七年级下·全国·单元测试）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②， 解①得，解②得． 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 变式1-2．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．1 D． 类型二、已知不等式组的解集求参数 1.解题思路 ① 先用参数表示不等式（组）的解集； ② 根据已知解集建立关于参数的方程或不等式； ③ 解出参数值或范围，注意检验。 2.常见题型 ① 解集为某个具体范围； ② 解集包含某个特定整数或整数个数已知； ③ 解集为无解或全体实数。 【重要性质】 ① 参数可能在系数位置或常数位置，影响不同； ② 常需讨论参数的正负对不等号方向的影响； ③ 最终结果要验证是否满足不等式组的所有条件。 例2．（21-22九年级下·安徽芜湖·自主招生）若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为 ． 变式2-1．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 变式2-2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是 ； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是 ． 类型三、不等式组与方程组的结合问题 综合处理方法 ① 先解方程组，将变量用参数表示； ② 将结果代入不等式组，得到关于参数的不等式； ③ 解出参数范围，并根据题目要求（如整数解）进一步筛选。 【重要性质】 ① 方程组提供等量关系，可消元或代入； ② 不等式组提供范围限制，常与整数解、正数解等结合； ③ 注意解方程时可能产生的特殊情况（如分母为零）。 例3．（23-24九年级上·四川巴中·开学考试）若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 变式3-1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 变式3-2．（21-22八年级下·江西抚州·期中）已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 一、选择题 1. （24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知实数a，b满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 2. （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3. （24-25七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 二、填空题 4. （24-25七年级下·安徽芜湖·期末）关于的不等式组，只有4个整数解，则的取值范围是 ． 5. （24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 三、解答题 6. （24-25七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组． 7. （2024七年级下·安徽·专题练习）阅读理解题：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得； 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上阅读材料，解不等式． 8. （23-24七年级下·安徽六安·月考）先阅读下列例题，再按要求完成下列问题．例：解不等式．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①，或②，解不等式组①，得解不等式组②得，所以的解集为或． (1)仿照上述方法解关于x的不等式；； 任务二： (2)直接写出不等式的解集是___________． 9. （2025八年级·全国·竞赛）对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． (1)若，求的值； (2)若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 10. （24-25七年级下·安徽亳州·月考）关于x，y的方程组  的解是非负数，的值不大于1，求的取值范围． 11. （24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 12. （23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：关于、的方程组： (1)求这个方程组的解：（用含有字母的代数式表示） (2)若这个方程组的解满足为非负数，为负数，求字母的取值范围 13. （2024·安徽·模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 14. （23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解均为非负数， (1)用的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围； (3)化简：． 15. （23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $