专题2.4.2 空间线面位置关系的判定（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.4.2 空间线面位置关系的判定 教学目标 1.掌握三垂线定理及其逆定理的内容，能运用定理解决平面内直线与平面斜线的垂直判定问题。 2.能用向量方法证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，理解向量垂直与空间垂直关系的转化。 3.能运用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行的判定定理，掌握空间平行关系的向量判定逻辑。 4.能综合运用空间线面平行、垂直的判定定理，解决简单的空间位置关系证明问题。 教学重难点 1.重点： （1）三垂线定理及其逆定理的理解与应用。 （2）运用向量方法证明空间线面平行、垂直的判定定理。 （3）空间线面平行、垂直判定定理的综合应用。 2.难点： （1）三垂线定理及其逆定理中 “斜线、射影、平面内直线” 三者关系的准确识别与应用。 （2）向量方法证明空间线面位置关系判定定理的思路构建，尤其是如何将几何条件转化为向量条件。 （3）综合运用平行、垂直判定定理解决复杂的空间位置关系证明问题，实现线线、线面、面面关系的灵活转化。 知识点01 向量与垂直 1.直线与直线垂直：（1）点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，垂足P0为点P在平面α内的射影。 （2）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直。 （3）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直。 2. 直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直。 3. 平面与平面垂直： 已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β，那么平面α⊥平面β。 【即学即练】（24-25高一下·河南郑州·月考）在平面直角坐标系中，的顶点分别是平面内存在一点B使得四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形. (1)求B点坐标 (2)猜测AC与BD的位置关系并证明 知识点02 向量与平行 1. 直线与直线平行：已知两条不重合的直线m，n和平面α都垂直，那么m∥n。 2.直线与平面平行 直线与平面平行的判定定理：已知a⊂α，b⊂α，a∥b那么a∥α。 3. 平面与平面平行 已知平面α1，α2，a与b是平面α1内两条相交的直线，且a∥α2，b∥α2，那么α1∥α2。 【即学即练】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点．求证：面 题型01 空间线线垂直的判断、证明 【典例1】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【变式1-1】（21-22高二下·全国·单元测试）如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·安徽六安·月考）如图，已知直三棱柱中，，，分别为的中点.求证：. 题型02 空间线面垂直的判断、证明 【典例2】（25-26高二上·河北保定·月考）如图，在四棱柱中，四边形是菱形，是棱的中点．设． (1)用表示； (2)证明：平面． 【变式2-1】（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【变式2-3】（22-23高二上·山东菏泽·开学考试）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 题型03 空间面面垂直的判断、证明 【典例3】（2019高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【变式3-1】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【变式3-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 题型04 根据空间垂直关系求参数 【典例4】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·北京顺义·月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则 ． 【变式4-3】（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，若，则 . 题型05 根据空间垂直关系求其它几何量 【典例5】（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·期末）为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是 . 【变式5-2】（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 【变式5-3】（24-25高三上·北京顺义·月考）棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .    题型06 空间平行关系的判断、证明 【典例6】（2025高二·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，用向量法证明平面. 【变式6-1】（25-26高二上·山东济南·月考）如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）下列三个命题中，错误命题的个数是（    ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试用向量基底法证明：//平面． 题型07 根据空间平行关系求参数 【典例7】（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则 【变式7-1】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·北京·期中）已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数 ． 题型08 根据空间平行关系求其它几何量 【典例8】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【变式8-1】（25-26高二上·福建·月考）九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则    【变式8-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为 . 题型09 空间位置关系的判断、证明 【典例9】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式9-1】（多选）（25-26高二上·山东·期中）已知平面的法向量为，设平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则直线平面 C．若，则平面平面 D．若，则直线平面 【变式9-2】（多选）（25-26高三上·河南·月考）在如图所示的正方体中，已知分别是所在棱的中点，则（　　）    A．平面 B．平面 C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 题型10 空间位置关系的综合问题 【典例10】（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（25-26高二上·河北·月考）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 【变式10-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【变式10-3】（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 一、单选题 1.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西·月考）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二下·海南海口·月考）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 5．（25-26高二上·四川内江·月考）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D．直线与平面不相交 6．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 7．（25-26高二上·北京顺义·期中）在直线的方向向量为，的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与相交但不垂直 8．（25-26高二上·河南·月考）已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 二、多选题 9．（25-26高二上·海南·期末）已知不重合的直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·四川绵阳·月考）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 11．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在正方体中，，分别是、的中点，用经过直线的平面去截该正方体，则该截面的形状可能为（   ） A．正三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 三、填空题 12．（25-26高二上·河南新乡·月考）若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 13．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为 . 14．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题 . 四、解答题 15．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 17．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.2 空间线面位置关系的判定 教学目标 1.掌握三垂线定理及其逆定理的内容，能运用定理解决平面内直线与平面斜线的垂直判定问题。 2.能用向量方法证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，理解向量垂直与空间垂直关系的转化。 3.能运用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行的判定定理，掌握空间平行关系的向量判定逻辑。 4.能综合运用空间线面平行、垂直的判定定理，解决简单的空间位置关系证明问题。 教学重难点 1.重点： （1）三垂线定理及其逆定理的理解与应用。 （2）运用向量方法证明空间线面平行、垂直的判定定理。 （3）空间线面平行、垂直判定定理的综合应用。 2.难点： （1）三垂线定理及其逆定理中 “斜线、射影、平面内直线” 三者关系的准确识别与应用。 （2）向量方法证明空间线面位置关系判定定理的思路构建，尤其是如何将几何条件转化为向量条件。 （3）综合运用平行、垂直判定定理解决复杂的空间位置关系证明问题，实现线线、线面、面面关系的灵活转化。 知识点01 向量与垂直 1.直线与直线垂直：（1）点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，垂足P0为点P在平面α内的射影。 （2）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直。 （3）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直。 2. 直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直。 3. 平面与平面垂直： 已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β，那么平面α⊥平面β。 【即学即练】（24-25高一下·河南郑州·月考）在平面直角坐标系中，的顶点分别是平面内存在一点B使得四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形. (1)求B点坐标 (2)猜测AC与BD的位置关系并证明 【答案】(1) (2)与互相垂直，理由见解析 【知识点】数量积的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】（1）由题意可得，设，进而利用向量的坐标运算求解即可； （2）求得的坐标，进而计算与的数量积可得结论. 【详解】（1）因为四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形，所以， 设，又因为，所以， 所以，解得，所以B点坐标为； （2）猜测AC与BD互相垂直，理由如下： 由（1）可知， 所以，所以，所以AC与BD互相垂直. 知识点02 向量与平行 1. 直线与直线平行：已知两条不重合的直线m，n和平面α都垂直，那么m∥n。 2.直线与平面平行 直线与平面平行的判定定理：已知a⊂α，b⊂α，a∥b那么a∥α。 3. 平面与平面平行 已知平面α1，α2，a与b是平面α1内两条相交的直线，且a∥α2，b∥α2，那么α1∥α2。 【即学即练】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点．求证：面 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两者垂直，即可证明结论. 【详解】由题可知底面，，故两两垂直． 则以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建系， ， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 而， 所以，又面， ∴面； 题型01 空间线线垂直的判断、证明 【典例1】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析， (2)证明见解析 【知识点】数量积的坐标表示、求空间图形上的点的坐标、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 【变式1-1】（21-22高二下·全国·单元测试）如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，验证是否等于0即可. 【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2， 对于A，， 则，与不垂直，A不是；    对于B，， 则，B是；    对于C，， 则与不垂直，C不是；    对于D，， 则，与不垂直，D不是.    故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 【变式1-3】（25-26高二上·安徽六安·月考）如图，已知直三棱柱中，，，分别为的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】将问题转化为，把用表示，再利用数量积的运算律即可得证. 【详解】设，，， 根据题意得，且， ∴，， ∴·， ∴，即. 题型02 空间线面垂直的判断、证明 【典例2】（25-26高二上·河北保定·月考）如图，在四棱柱中，四边形是菱形，是棱的中点．设． (1)用表示； (2)证明：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、用空间基底表示向量、证明线面垂直 【分析】（1）结合空间向量的加减运算法则，根据空间向量基本定理用基底表示向量即可. （2）利用空间向量的数量积运算律求得，，则有，．然后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为E是棱的中点，所以， 则． 连接，因为四边形是菱形，所以四边形是菱形，所以， 则． （2）因为， 所以． 由（1）可证， 则， 故，即． 因为， 所以， 所以，即． 因为平面平面，且，所以平面． 【变式2-1】（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设 ， ， ，根据空间向量的数量积运算可得 ，进而可得 平面 . 【详解】设 ， ， ， 则 为空间所有向量的一个基底，且 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ，又 ，平面， 平面 . 故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量数量积的应用 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 【变式2-3】（22-23高二上·山东菏泽·开学考试）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 题型03 空间面面垂直的判断、证明 【典例3】（2019高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由. ，即可证明. 【详解】（1）取的中点为，连接，因为， 所以，因为侧面底面， 因为侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， ， 所以. （2）， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 【变式3-1】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 【变式3-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 题型04 根据空间垂直关系求参数 【典例4】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题意得出，可得出关于的方程，解之即可. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则，所以，解得. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·北京顺义·月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则 ． 【答案】 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据线面垂直的条件列方程，化简求得的值. 【详解】由，得： 与 平行，即存在 使得 . 即，得： ，解 得：， 因此，. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，若，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，且， 所以，即，解得. 故答案为： 题型05 根据空间垂直关系求其它几何量 【典例5】（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·期末）为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是 . 【答案】/ 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、立体几何中的轨迹问题 【分析】建系利用坐标法求动点的轨迹进而可得. 【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 设因为所以 所以即. 面可表示为所以无解 面可表示为所以无解; 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 所以点的轨迹总长度： 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 【答案】6 【知识点】立体几何中的轨迹问题、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高三上·北京顺义·月考）棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .    【答案】 【知识点】空间位置关系的向量证明、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故答案为： 题型06 空间平行关系的判断、证明 【典例6】（2025高二·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，用向量法证明平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建系，由，得到，即可求证. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则，则，即.    又平面，平面， 因此平面. 【变式6-1】（25-26高二上·山东济南·月考）如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，根据四点共面及向量的运算可得，又因为不共线，从而可证明四边形为平行四边形. 【详解】设正方体的棱长为a，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. ∵在同一个平面内，∴， 即，解得. 所以，，即， 所以且，又因为不共线，所以四边形是平行四边形. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）下列三个命题中，错误命题的个数是（    ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、用空间基底表示向量、空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】对于①，根据直线方向向量的定义分析判断；对于②，由共面向量定理判断；对于③，由平行平面的充要条件可判断. 【详解】对于①，若两条不同直线的方向向量分别是，则， 由方向向量的定义知①正确； 对于②，若是空间的一个基底，且， 则，即， 由空间向量共面定理知四点共面，故②正确； 对于③，若两个不同平面的法向量分别是，且， 易得不成立，所以不成立，故③错误. 故错误命题的个数是1. 故选：B. 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试用向量基底法证明：//平面． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、判定空间向量共面 【分析】由空间向量的共面定理证明向量与、共面即可． 【详解】证明：∵，, ∴， ∴向量与、共面，且不在面内， ∴//平面． 题型07 根据空间平行关系求参数 【典例7】（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则 【答案】 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题可知，平面平行于平面，故法向量与法向量共线，根据向量共线解出参数，即可得解. 【详解】为空间内三个不共面的向量， 可以作为空间的一个基底， 又平面和平面的法向量分别为和，且， ∴. 设，则， ∴，解得， . 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据向量垂直即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即. 故选：D 【变式7-2】（25-26高二上·北京·期中）已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据平面，平面的一个法向量为，由求解. 【详解】因为， 所以， 又因为平面的一个法向量为， 若平面，则， 则，解得 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数 ． 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 题型08 根据空间平行关系求其它几何量 【典例8】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 【变式8-1】（25-26高二上·福建·月考）九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、由线面平行求线段长度 【分析】以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求出a即可． 【详解】∵平面，平面， ∴，，又底面是正方形， ∴，则两两垂直， 以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，分别为，的中点， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，设，则， ∵平面， ∴，则，即， 解得，故． 故选：D． 【变式8-2】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则    【答案】 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解. 【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为 . 【答案】/ 【知识点】判断面面平行、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 题型09 空间位置关系的判断、证明 【典例9】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行； 【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【变式9-1】（多选）（25-26高二上·山东·期中）已知平面的法向量为，设平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则直线平面 C．若，则平面平面 D．若，则直线平面 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由空间向量平行或垂直得到面面平行或垂直；由空间向量平行或垂直得到线面平行或垂直，逐个判断各个选项即可. 【详解】设平面的法向量为 ∵，∴平面平面，A选项正确； ∵，∴直线平面，B选项错误； ∵，∴平面平面，C选项正确； ∵，∴直线平面或平面，D选项错误； 故选：AC. 【变式9-2】（多选）（25-26高三上·河南·月考）在如图所示的正方体中，已知分别是所在棱的中点，则（　　）    A．平面 B．平面 C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断C，D两项，A项由线面平行的判定定理求解，B项由图知，6个点共面判断． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：    不妨设正方体的棱长为2，为棱的中点， 则， 得 则， 得，，故C,D两项正确； 因为点是共面的，所以平面，故B项错误； 显然，则平面，不在平面内，故平面，故A项正确． 故选：ACD． 【变式9-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 题型10 空间位置关系的综合问题 【典例10】（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明面面垂直 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【详解】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 【变式10-1】（25-26高二上·河北·月考）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)点与点重合 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，利用正四标柱的性质得，再利用几何关系可得平面，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为，且， 所以是平行四边形，则， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，记， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，所以，则平面， 平面，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，设， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 因为平面平面，则，所以， 解得，所以点与重合. 【变式10-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【知识点】线面平行的性质、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 【变式10-3】（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论； （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值； （3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 一、单选题 1.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由平面与平面垂直的向量表示可以得出答案. 【详解】由题意得，,即,解得. 故选：B 3．（25-26高二上·江西·月考）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】先通过线面平行的几何关系，转化为向量垂直的代数条件，再通过解方程求出参数即可. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量必然垂直， 即方向向量 与法向量 满足 ， 所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高二下·海南海口·月考）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意由解方程即可求得. 【详解】由题意可得：， 即， 解得. 故选：B 5．（25-26高二上·四川内江·月考）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D．直线与平面不相交 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，，则直线可能与平面平行，也可能在平面内，因题目条件不足，故AB选项无法判断， 对于C，与不共线，则直线与平面不垂直，故C错误， 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者. 【详解】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者. 故选：C. 7．（25-26高二上·北京顺义·期中）在直线的方向向量为，的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与相交但不垂直 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示 【分析】首先可得，即可得到，从而判断. 【详解】因为直线的方向向量为，的法向量为， 所以，即， 所以或. 故选：C 8．（25-26高二上·河南·月考）已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、线面关系有关命题的判断 【分析】分析平面法向量与直线方向向量的位置关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量， 所以， 所以与不垂直，故直线与平面不平行，也不可能在平面内； 同时不存在常数使得，即， 即直线的方向向量与平面的法向量不共线，所以直线不垂直于平面， 所以直线与相交但不垂直. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·海南·期末）已知不重合的直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断得解. 【详解】A，由，得，，而直线不重合，则，A正确； B，由，得，不垂直， 与 不平行，B错误； C，由，得不共线， 与 不垂直，C错误； D，由，得，，则，D正确. 故选：AD 10．（25-26高二上·四川绵阳·月考）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ACD 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据向量坐标关系，可得，即可判断A的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断B、D的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断C的正误. 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以或，故B错误； 选项C：因为，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以， 所以或，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在正方体中，，分别是、的中点，用经过直线的平面去截该正方体，则该截面的形状可能为（   ） A．正三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABD 【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间坐标系，找到截面图形，借助向量验证图形即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系；设棱长为2，则,; 对于A，取中点，则,,, 因为,所以为正三角形，A正确； 对于B，连接，, ,,; 因为，所以四边形为梯形， 因为,所以四边形为等腰梯形，B正确； 对于C，因为，假如存在截面为正五边形，则其每个边长均为， 由正方体的对称性可知，无法出现截面为正五边形的情况，C不正确； 对于D，如图，分别取的中点，连接; ,, 因为，所以且,同理可得其余对边也相互平行，且长度均为； 所以六边形为正六边形，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二上·河南新乡·月考）若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 【答案】平行或直线在面内 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 13．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】由题可建立空间直角坐标系，然后设，结合，求出，再求出平面的一个法向量，由平面，可得，即可求解. 【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 则，，， 设，因，可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 又因为平面，则，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题 . 【答案】①②③或①③② 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设，的方向向量为，平面的法向量为，通过向量法确定位置关系即可. 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 四、解答题 15．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、用基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2）由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】法一：利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质定理即可证明；法二：利用空间向量即可证明；法三：利用三余弦定理法证明. 【详解】法一：几何证法 作交于，连接， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，即有， 因为，所以，所以， 在中， ， 即有，所以， 由棱台的定义可知，，所以， 又平面，而平面，则有，， 而，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 法二：空间向量坐标系方法 作交于， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设OC=1，因为，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即， 又因为棱台中，所以. 法三：三余弦定理法 因为平面平面， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以，所以，即， 又因为，所以. 17．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】空间线段点的存在性问题、线面平行的性质、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $