专题2.2 空间向量及其运算（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.2 空间向量及其运算 教学目标 1.理解空间向量的基本概念，能区分空间特殊向量（零向量、单位向量、相等向量、相反向量），掌握空间向量的表示方法。 2.掌握空间向量的线性运算（加减、数乘）和数量积运算的规则、性质及坐标表示，能准确进行基础运算。 3.理解空间向量共线、共面的判定定理，能初步运用定理判断向量的位置关系，为后续空间向量基本定理学习铺垫。 教学重难点 1.重点： （1）空间向量的基本概念及线性运算、数量积运算的规则和性质，能熟练进行基础的向量运算。 （2）空间向量共线、共面判定定理的理解与简单应用，掌握定理的核心条件和结论。 2.难点： （1）从平面向量到空间向量的思维迁移，理解空间向量运算的几何意义，突破二维平面到三维空间的想象障碍。 （2）空间向量共面定理的理解与灵活应用，能结合具体几何图形，准确找到共面向量的线性表示关系。 （3）空间向量运算与空间几何图形的结合，能初步运用向量运算分析、解决简单的空间图形位置关系问题。 （4）复杂空间向量数量积运算的准确性，能结合模长、夹角公式进行综合运算，并理解运算结果的几何意义。 知识点01 空间向量的基本概念 1.空间向量：我们把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量。空间向量a的大小（或长度）称为a的模，记为∣a∣。 2.相等向量：从不同点出发的向量，只要它们的方向相同且长度相等，就称它们为相等向量。 3.相反向量：方向相反、长度相等的向量称为相反向量。 4.零向量：零向量的大小∣0∣=0，用长度为0的有向线段表示，记作0。零向量所表示的位移的起点与终点重合，即保持起点不动。零向量的方向可以是任意的。 【即学即练】（2025高二上·全国·专题练习）在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】（1）由长方体体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）结合题意，图形及相等向量定义可得答案； （3）由图结合长方体特征可写出与垂直的向量. 【详解】（1）由长方体体对角线相等，可得与模相等的向量有： ； （2）由图，与相等的向量有； （3）由图与垂直的向量有： 知识点02 空间向量的加减法 1.空间向量的加法：（1）计算：应用三角形法则、平行四边形法则。 （2）加法运算律： ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）． 【即学即练】（25-26高二上·安徽六安·月考）如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 【答案】， 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的加减法即可求解. 【详解】由题意得. ＝＝. 知识点03 向量与实数相乘 1.定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量． 2.向量a与λa的关系： λ的 范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 λa的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 λa＝0其方向是任意的 λ<0 方向相反 3.单位向量：长度为1的向量为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它方向相同的唯一单位向量 e=。 4.对于空间任意两个向量a，b（a≠0），若b=λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a。 零向量的方向可以任取，又0=0a，则0是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向量共线。 5.空间向量与实数的乘法满足运算律： 【即学即练】（25-26高二·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    知识点04 向量的数量积 1.两向量的夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉.如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作a⊥b． 2.数量积：（1）定义：空间两个非零向量a、b，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，叫做向量a、b的数量积(或内积)． （2）当a=0或b=0时，夹角〈a，b〉可以在[0,π]中任意选定，但总有a·b=0 特别地a⋅a=∣a∣2 ,∣a∣=a⋅a ,a⋅b=0⟺a⊥b.零向量与任意向量垂直。 （3） 对于两个非零向量a，b，由a⋅b=∣a∣∣b∣cos〈a，b〉可得. 3.空间向量数量积的运算律： (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)a·b＝b·a；(交换律) (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(分配律) 4.投影向量：将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得，〈a，b〉=。过点 B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则OB1为OB在OA方向上的投影向量， 投影向量的模∣OB1∣=∣OB∣cosα称为投影长。 5.a与b的数量积等于a的模∣a∣与b在a方向上的投影∣b∣cosα的乘积，也等于b的模∣b∣与a在b 方向上的投影∣a∣cosα的乘积。 【即学即练】（25-26高二上·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 题型01 空间向量的有关概念 【典例1】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念、平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·陕西汉中·月考）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 题型02 空间向量的加减运算 【典例2】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】利用向量的加减运算，即可得结果. 【详解】由向量的加减运算法则可得： . 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案. 【详解】； 故选：. 【变式2-3】（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量的加减运算 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 题型03 空间向量加减运算的几何表示 【典例3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 【变式3-1】（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据平行四边形法则即可求解. 【详解】. 故选：D 【变式3-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可． 【详解】如图所示， 因为是CD的中点，所以，也即， 因此． 故选：B． 【变式3-3】（25-26高二上·广西河池·期末）在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】如图，取的中点，连接， 所以． 故选：A． 题型04 空间向量的综合运算 【典例4】（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案. 【详解】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·四川泸州·期末）三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为点 是 的中点，所以， 又因为点 是 的中点，所以， 因此：. 故选：A    【变式4-2】（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 【变式4-3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：B 题型05 空间向量综合运算的几何表示 【典例5】（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 【变式5-1】（25-26高二上·天津·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意， . 故选：A 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 【变式5-3】（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 题型06 空间向量共线的判定 【典例6】（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）证明：如果非零向量共线，那么与共线． 【答案】证明见解析 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】根据向量共线定理即可可解. 【详解】解：因为非零向量共线， 所以存在非零实数，使得． 即，所以与共线． 题型07 由空间向量共线求参数或值 【典例7】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【变式7-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 【变式7-2】（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】空间向量的数乘运算、由空间向量共线求参数或值、空间向量的加减运算 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【变式7-3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 题型08 求空间向量的数量积 【典例8】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 【变式8-1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 【变式8-2】（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 【变式8-3】（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 题型09 求空间向量的投影向量 【典例9】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求投影向量 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    【变式9-1】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的概念辨析 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 【变式9-3】（25-26高二上·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 题型10 求空间向量的夹角（函数值） 【典例10】（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、空间向量数量积的应用 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 【变式10-1】（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 【变式10-2】（25-26高二上·浙江舟山·月考）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解. 【详解】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 【变式10-3】（25-26高二上·贵州·期中）在长方体中，．若，则与的夹角大小为 ． 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用、向量夹角的计算 【分析】根据条件判断四边形的形状，即可得与的夹角大小. 【详解】如图：在长方体中，    因为， 所以四边形为正方形，所以. 即与的夹角为. 故答案为： 题型11 求线段长或距离 【典例11】（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 【变式11-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】以，，为空间向量的一组基底，则，利用空间向量即可计算的长度. 【详解】根据题意，以，，为空间向量的一组基底， 所以， ， 所以， 可得，所以的长度为． 故选：C. 【变式11-2】（25-26高二上·湖北·期中）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简，再开方可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 【变式11-3】（25-26高二上·四川凉山·期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为 ．    【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、空间向量数量积的应用 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 2．（25-26高二上·河南·月考）已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可. 【详解】． 故选：D 3．（北京市顺义区2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用向量的运算及几何意义可求答案. 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 4．（2025高二·全国·专题练习）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 6．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（   ） A． B．6或 C．6 D．4或 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量加减运算的几何表示、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题中条件可得结果． 【详解】由题意知，，， ∴， ∵两条异面直线，所成的角为，∴的夹角为或， ∴ 或， 所以或，则或． 故选：B． 8．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 10．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    11．（25-26高二上·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·月考）平行六面体中，，，则实数的值为 【答案】2 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 13．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为 ； 【答案】 【知识点】已知数量积求模、求空间向量的数量积 【分析】首先利用向量表示，平方后利用数量积运算公式，即可求解. 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 14．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【答案】(1)0； (2)1. 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 16．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 17．（25-26高二·全国·假期作业）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 空间向量及其运算 教学目标 1.理解空间向量的基本概念，能区分空间特殊向量（零向量、单位向量、相等向量、相反向量），掌握空间向量的表示方法。 2.掌握空间向量的线性运算（加减、数乘）和数量积运算的规则、性质及坐标表示，能准确进行基础运算。 3.理解空间向量共线、共面的判定定理，能初步运用定理判断向量的位置关系，为后续空间向量基本定理学习铺垫。 教学重难点 1.重点： （1）空间向量的基本概念及线性运算、数量积运算的规则和性质，能熟练进行基础的向量运算。 （2）空间向量共线、共面判定定理的理解与简单应用，掌握定理的核心条件和结论。 2.难点： （1）从平面向量到空间向量的思维迁移，理解空间向量运算的几何意义，突破二维平面到三维空间的想象障碍。 （2）空间向量共面定理的理解与灵活应用，能结合具体几何图形，准确找到共面向量的线性表示关系。 （3）空间向量运算与空间几何图形的结合，能初步运用向量运算分析、解决简单的空间图形位置关系问题。 （4）复杂空间向量数量积运算的准确性，能结合模长、夹角公式进行综合运算，并理解运算结果的几何意义。 知识点01 空间向量的基本概念 1.空间向量：我们把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量。空间向量a的大小（或长度）称为a的模，记为∣a∣。 2.相等向量：从不同点出发的向量，只要它们的方向相同且长度相等，就称它们为相等向量。 3.相反向量：方向相反、长度相等的向量称为相反向量。 4.零向量：零向量的大小∣0∣=0，用长度为0的有向线段表示，记作0。零向量所表示的位移的起点与终点重合，即保持起点不动。零向量的方向可以是任意的。 【即学即练】（2025高二上·全国·专题练习）在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 知识点02 空间向量的加减法 1.空间向量的加法：（1）计算：应用三角形法则、平行四边形法则。 （2）加法运算律： ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）． 【即学即练】（25-26高二上·安徽六安·月考）如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 知识点03 向量与实数相乘 1.定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量． 2.向量a与λa的关系： λ的 范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 λa的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 λa＝0其方向是任意的 λ<0 方向相反 3.单位向量：长度为1的向量为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它方向相同的唯一单位向量 e=。 4.对于空间任意两个向量a，b（a≠0），若b=λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a。 零向量的方向可以任取，又0=0a，则0是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向量共线。 5.空间向量与实数的乘法满足运算律： 【即学即练】（25-26高二·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 知识点04 向量的数量积 1.两向量的夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉.如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作a⊥b． 2.数量积：（1）定义：空间两个非零向量a、b，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，叫做向量a、b的数量积(或内积)． （2）当a=0或b=0时，夹角〈a，b〉可以在[0,π]中任意选定，但总有a·b=0 特别地a⋅a=∣a∣2 ,∣a∣=a⋅a ,a⋅b=0⟺a⊥b.零向量与任意向量垂直。 （3） 对于两个非零向量a，b，由a⋅b=∣a∣∣b∣cos〈a，b〉可得. 3.空间向量数量积的运算律： (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)a·b＝b·a；(交换律) (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(分配律) 4.投影向量：将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得，〈a，b〉=。过点 B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则OB1为OB在OA方向上的投影向量， 投影向量的模∣OB1∣=∣OB∣cosα称为投影长。 5.a与b的数量积等于a的模∣a∣与b在a方向上的投影∣b∣cosα的乘积，也等于b的模∣b∣与a在b 方向上的投影∣a∣cosα的乘积。 【即学即练】（25-26高二上·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 题型01 空间向量的有关概念 【典例1】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·陕西汉中·月考）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 题型02 空间向量的加减运算 【典例2】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西商洛·月考）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 题型03 空间向量加减运算的几何表示 【典例3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    【变式3-1】（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·广西河池·期末）在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型04 空间向量的综合运算 【典例4】（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·四川泸州·期末）三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型05 空间向量综合运算的几何表示 【典例5】（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·天津·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 题型06 空间向量共线的判定 【典例6】（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）证明：如果非零向量共线，那么与共线． 题型07 由空间向量共线求参数或值 【典例7】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式7-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7-3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 题型08 求空间向量的数量积 【典例8】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【变式8-1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【变式8-2】（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【变式8-3】（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 题型09 求空间向量的投影向量 【典例9】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型10 求空间向量的夹角（函数值） 【典例10】（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 . 【变式10-1】（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·浙江舟山·月考）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【变式10-3】（25-26高二上·贵州·期中）在长方体中，．若，则与的夹角大小为 ． 题型11 求线段长或距离 【典例11】（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【变式11-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式11-2】（25-26高二上·湖北·期中）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高二上·四川凉山·期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为 ．    一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·月考）已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（北京市顺义区2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（   ） A． B．6或 C．6 D．4或 8．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 11．（25-26高二上·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·月考）平行六面体中，，，则实数的值为 13．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为 ； 14．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 16．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 17．（25-26高二·全国·假期作业）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $