二元一次方程组新定义问题 2025-2026学年浙教版数学七年级下册二元一次方程组培优专题

二元一次方程组新定义问题—2025-2026年浙教版数学七年级下册二元一次方程组培优专题 一、选择题 1．对于x，y定义一种新运算“*”：x*y=ax，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知，那么运算的结果为（　　） A．2 B．-2 C．13 D．1 2．对实数x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：.若，，则下列结论正确的个数为（　　） ①，；②若，（），则； ③若，则m、n有且仅有3组整数解； ④若对任意有理数x、y都成立，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．对于实数、定义新运算：（其中，为常数），已知，，则的值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．3 4．给定一个正整数，若两个整数与分别除以所得的余数相同，则称p，q对同余，记作．例如：，，所以31，66对7同余，记作． 下列说法： ①；②若，则；③若，，则；④若，其中为的整数，b，c，d为的整数，则． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　） A． B． C． D． 6．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　） A． B． C． D．方程组的解为 二、填空题 7．对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y= ax+ by，其中a，b为常数.已知1⊕2=10，(-3)⊕2=2，则a⊕b=　 　. 8． 如图，规定：上、下相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于上，y，m，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是　 　. 9．定义一种新运算“※”，规定，其中，为常数，且，，则　 　． 10．定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=（a-b）b-1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=（1-2）×2-1=-3．若不等式组恰有4个整数解，实数a的取值范围是 　 　． 11． 对于实数 ， 我们定义如下运算： 若 为非负数， 则 ； 若 为负数，则 . 例如： . 则方程组 的解为　 　。 12．对于实数x，符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是　 　． 13．定义运算“#”，规定x* y= ax+ by2 （a，b为常数），且1*2=11，2*1=1，则a+b=　 　 14．设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是 　 　；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 　 　． 三、解答题 15．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax＋by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2． （1）求a、b的值； （2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值． 16．我们定义一个新的概念：“平衡数对”．对于给定的两个数和，当且仅当满足等式时，我们称数对为“平衡数对”．并且，若存在另一个数对，使得，我们称数对为的“衍生数对”． （1）判断是否为“平衡数对”，并说明理由． （2）已知数对是“平衡数对”，求出该数对的“衍生数对”． （3）若数对是“平衡数对”，且其“衍生数对”满足条件：，求出和的值． 17．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”.请完成下列问题： （1）方程组 的解x与y 是否具有“邻好关系”?请说明理由. （2）已知关于x，y的二元一次方程组 的解x与y 具有“邻好关系”，求k 的值. 18．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数 M 分解成 的过程，称为“合分解”. 例如：∵609=21×29，21 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609 是“合和数”. 又如：∵234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234 不是“合和数”. （1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由. （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令 当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的 M. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】20 8．【答案】①③④ 9．【答案】11 10．【答案】-10≤a＜-4 11．【答案】或 12．【答案】或 13．【答案】2 14．【答案】1303；2432 15．【答案】（1）解：∵2⊙4＝12，4⊙10＝2， ∴ 由①，得2a＝12－4b③， 把③代入②，得2（12－4b）＋10b＝2， 去括号，得24－8b＋10b＝2， 解得：b＝－11， 把b＝－11代入③，得2a＝12－4×(－11)， 解得：a＝28， ∴a＝28，b＝－11 （2）解：∵a＝28，b＝－11，x⊙y＝6， ∴28x－11y＝6， ∵x＝1，∴28－11y＝6， 解得：y＝2 16．【答案】（1）解：当时， ， ， ， 不是“平衡数对”. （2）解：数对是“平衡数对” ， ， 解得， ， 该数对的“衍生数对”为. （3）解：由题意可得， 整理得， ，得， 把代入，得， ，. 17．【答案】（1）解：x与y具有“邻好关系”.理由如下： 将①代入②，得3x+2(2x-4)=13，解得x=3.③ 将③代入①，得y=2×3-4=2， ∴原方程组的解为 ∵x-y=3-2=1， ∴x与y具有“邻好关系” （2）解： ①-②，得x-y=k-1. ∵x与y具有“邻好关系”， ∴x-y=1， ∴k-1=1， 解得 k=2 18．【答案】（1）解：168不是“合和数”，理由如下： 分解为两个两位数相乘，（十位不同）、（不是两位数 ），所有两位数分解中，无十位相同且个位和为的情况，故不是“合和数”. 621是“合和数”，理由如下： ，与十位均为，个位，符合“合和数”定义，故是“合和数”. （2）解：设A 的十位数字为m，个位数字为n(m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9)，则A=10m+n，B=10m+10-n，∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10，Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|， 当G(M)能被4 整除时，设 (k是整数). ∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14. ∵k是整数，∴m+5=8或m+5=12. ①当m+5=8时， 或 ∴M=36×34=1224或M=37×33=1221. ②当m+5=12时， 或 ∴M=76×74=5624或M=78×72=5616. 综上，所有满足条件的M 为1224，1221，5624，5616. 1 学科网（北京）股份有限公司 $