第16章 二次根式 章节讲义（11知识详解+20典例分析）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第16章 二次根式 章节（11知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的定义 1.二次根式的定义  我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 特别提醒 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 应用提醒 1. 逆用公式： 若 a ≥0， 则 a=( ) 2，如 2=() 2， =( )2. 注意： 无论正用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用， 都要注意前提： a ≥ 0. 性质 2 =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 逆用公式：如3== ( 以后将会学习). 2. 与(  )²( a ≥ 0)的区别与联系 (  )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= (  )²= a(a ≥ 0) 联系   与(  )²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =(  )² 【知识点04】二次根式的乘法 1.性质 3  如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为a 表示a 与的乘积，即a =a· . 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【知识点05】积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【知识点06】二次根式的除法既可以是数，也可以是式子 . 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【知识点07】商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 . 2.分母有理化 把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法 当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【知识点08】最简二次根式 1.定义 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【知识点09】同类二次根式 1. 定义  将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2. 合并的方法  合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变， 合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【知识点10】二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则  二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【知识点11】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a － b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( － ) = = =. 【题型一】二次根式的识别 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 2．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 3．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 【题型二】求二次根式的值 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 5．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 6．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求二次根式的值 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 7．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【知识点】求二次根式的值 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 【题型三】求二次根式中的参数 8．已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】化简二次根式进而得出n的最小值． 【详解】，且是整数， 最小正整数n的值是5， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键． 9．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【题型四】利用二次根式的性质化简 10．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的运算规则，包括算术平方根的定义、二次根式的乘法法则以及二次根式的平方运算．逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，化简． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图知：， ，． 原式． 【题型五】二次根式有意义的条件 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：， ． 故选：A 13．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义、分式有意义的条件的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，根据分式有意义的条件得出，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 14．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）若在实数范围内有意义. (1)试确定x，y的值； (2)化简. 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解； （2）把代入，在根据二次根式的性质化简，即可求解。 【详解】（1）解：根据题意得：，且， ∴，即， ∴； （2）解：将代入得， 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，二次根式的性质是解题的关键。 【题型六】二次根式的乘法 15．（2024八年级下·安徽亳州·期末）计算×的结果为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法运算法则，将被开方数相乘即可求解． 【详解】解： 故选：A 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算．熟记相关运算法则即可． 16．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，减法运算，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： 17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6； (2)． 【知识点】二次根式的乘法 【分析】（1）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． （2）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七】二次根式的除法 18．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， 故选：D． 19．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）计算：＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键． 20．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求出，进而求出，再根据二次根式的乘法结合平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， ． 【题型八】分母有理化 21．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒数、分母有理化 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：的倒数是 ， 故选：． 22．（2023八年级下·安徽合肥·期末）计算= ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、分母有理化 【分析】先把二次根式有理化，再计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，解题的关键是把分母有理化，注意平方差公式． 23．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索： （1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即； （2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推可知； （2）证明：∵（是正整数且）， ∴ ； ， ∴． 【题型九】最简二次根式的判断 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此求解即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，被开方数是小数，不是最简二次根式； 故选：B． 25．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可. 【详解】解：A. ，故原式不是最简二次根式； B. 是最简二次根式； C. ，故原式不是最简二次根式； D. ，故原式不是最简二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的概念是解题的关键. 26．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 【答案】， 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：，，， 故这些二次根式中是最简二次根式的为：，． 故答案为：， 【题型十】化为最简二次根式 27．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 28．化为最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案．根据二次根式的除法，可化简二次根式． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型十一】已知最简二次根式求参数 30．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 31．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【答案】2 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 【题型十二】二次根式的乘除混合运算 32．（2023八年级下·安徽阜阳·期末）下列等式成立的是（　　） A．（2）2＝6 B． C． D．＝﹣2 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质计算，判断即可． 【详解】解：A、（2）2＝4×3＝12，本选项等式不成立，不符合题意； B、×＝，本选项等式不成立，不符合题意； C、÷＝×＝3，本选项等式成立，符合题意； D、＝2，本选项等式不成立，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式性质和乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键． 33．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答的关键． 34．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 【题型十三】比较二次根式的大小 35．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 36．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】先利用二次根式的性质变形，再比较大小． 【详解】解：∵，，27>20， ∴＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小、数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 【题型十四】复合二次根式的化简 38．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 39．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 【题型十五】同类二次根式 40．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，然后同类二次根式的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不符合题意； B、，与是同类二次根式，故符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：B． 41．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于m的方程，解出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故答案为：． 42．（22-23八年级下·安徽阜阳·月考）若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式,根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：2． 【题型十六】二次根式的加减运算 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减； 先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 44．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 45．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十七】二次根式的混合运算 46．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握相关运算法则是解题关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则求解即可． 【详解】解：和不是同类二次根式，不能相加，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C． 47．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： A. ， 本选项错误；     B. 不是同类二次根式，无法计算， 本选项错误； C. ， 本选项错误；     D. ， 本选项正确； 故选：D． 48．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 49．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 【答案】 3 / 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可； （2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 【题型十八】已知字母的值，化简求值 50．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先利用已知条件得，两边平方后得到，再整体代入中，逐步计算和代换，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 51．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴ ． 52．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）原代数式化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型十九】已知条件式，化简求值 53．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知条件式，化简求值 【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 54．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查分母有理化，已知字母的值，化简求值： （1）先进行分母有理化，求出的值，将多项式因式分解后，代值计算即可； （2）先通分进行化简后，代值计算即可． 【详解】（1） ， ； （2）． 【题型二十】二次根式的应用 55．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 56．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则边上的高的长为 ．    【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：，，， ， ， 设边上的高的长为h， ， ， 故答案为：． 57．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)米 (2)元 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键： （1）根据长方形周长计算公式列式计算即可； （2）用大长方形面积减去花坛总面积即可求出步道的面积，再乘以地砖每平方米的造价即可得到答案． 【详解】（1）解：米， 答：长方形的周长为米； （2）解： 元， 答：要铺完整个步道，购买地砖需要花费元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式 章节（11知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式的定义 1.二次根式的定义  我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 特别提醒 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 应用提醒 1. 逆用公式： 若 a ≥0， 则 a=( ) 2，如 2=() 2， =( )2. 注意： 无论正用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用， 都要注意前提： a ≥ 0. 性质 2 =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 逆用公式：如3== ( 以后将会学习). 2. 与(  )²( a ≥ 0)的区别与联系 (  )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= (  )²= a(a ≥ 0) 联系   与(  )²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =(  )² 【知识点04】二次根式的乘法 1.性质 3  如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为a 表示a 与的乘积，即a =a· . 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【知识点05】积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【知识点06】二次根式的除法既可以是数，也可以是式子 . 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【知识点07】商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 . 2.分母有理化 把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法 当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【知识点08】最简二次根式 1.定义 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【知识点09】同类二次根式 1. 定义  将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2. 合并的方法  合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变， 合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【知识点10】二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则  二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【知识点11】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a － b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( － ) = = =. 【题型一】二次根式的识别 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】求二次根式的值 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）当时，二次根式的值为 ． 5．当时，二次根式的值为 ． 6．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 7．当时，求二次根式的值． 【题型三】求二次根式中的参数 8．已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 9．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【题型四】利用二次根式的性质化简 10．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，化简． 【题型五】二次根式有意义的条件 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 14．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）若在实数范围内有意义. (1)试确定x，y的值； (2)化简. 【题型六】二次根式的乘法 15．（2024八年级下·安徽亳州·期末）计算×的结果为（    ） A． B．2 C． D．6 16．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算：． 17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【题型七】二次根式的除法 18．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）计算：＝ ． 20．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中） 若x、y为实数， 且，求 的值． 【题型八】分母有理化 21．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 22．（2023八年级下·安徽合肥·期末）计算= ． 23．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 【题型九】最简二次根式的判断 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 26．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 【题型十】化为最简二次根式 27．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 28．化为最简二次根式为 ． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【题型十一】已知最简二次根式求参数 30．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 31．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【题型十二】二次根式的乘除混合运算 32．（2023八年级下·安徽阜阳·期末）下列等式成立的是（　　） A．（2）2＝6 B． C． D．＝﹣2 33．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）计算： ． 34．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【题型十三】比较二次根式的大小 35．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”） 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【题型十四】复合二次根式的化简 38．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 39．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【题型十五】同类二次根式 40．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 42．（22-23八年级下·安徽阜阳·月考）若最简二次根式与能合并，则 ． 【题型十六】二次根式的加减运算 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 44．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 45．计算： (1) (2) 【题型十七】二次根式的混合运算 46．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算： (1)； (2)． 49．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 【题型十八】已知字母的值，化简求值 50．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 51．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，求的值． 52．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【题型十九】已知条件式，化简求值 53．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 54．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型二十】二次根式的应用 55．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 56．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则边上的高的长为 ．    57．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $