第一章 三角形的证明 章节讲义（22知识详解+33典例分析）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第一章 三角形的证明 章节（22知识详解+33典例分析） 【知识点01】三角形内角和定理及其证明 类别 内容 图形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，即在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 基本思路 构造平行线，利用平行线的性质说明三角形的内角和是180° 思路1 如图， 过点A 作EF ∥ BC，∴∠ B = ∠ 1，∠ C= ∠ 2， ∴∠ BAC+ ∠ B+ ∠ C=∠ BAC+ ∠ 1+ ∠ 2=180° 思路2 如图，过点C 作CE ∥ AB，延长BC 到D， ∴∠ A= ∠ 1，∠ B= ∠ 2，∴∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180° 思路3 如图，在BC 上取一点D，过点D 作ED ∥ AC，DF ∥ AB， 分别与AB，AC 交于点E，F， ∴∠ C= ∠ 1，∠ B = ∠ 3，易知∠ A= ∠ 2， ∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C=∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 1=180° 【知识点02】全等三角形的判定与性质 1. 判定定理“AAS” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 2. 判定三角形全等的一般思路 已知两边 找夹角→ SAS        找第三边→ SSS 已知一边一角 边为角的对边→找任意一角→ AAS 边为角的邻边 找角的另一邻边→ SAS 找边的另一邻角→ ASA 找边的对角→ AAS 已知两角 找夹边→ ASA     找角的对边→ AAS 【知识点03】三角形的外角 定义: △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ ABC 的外角。如图，∠1 是△ ABC 的一个外角 图示: 实质: 三角形外角的实质是三角形一个内角的邻补角 特征: （1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线 【知识点04】三角形内角和定理的推论 推论： 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 如图，∠ 1=∠ 2+ ∠ 3 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 如图，∠ 1 ＞∠ 2，∠ 1 ＞∠ 3 【知识点05】等腰三角形的性质定理 1.性质定理1 等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3. 等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 【知识点06】等边三角形的性质定理 1.性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2. 等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 【知识点07】等腰三角形的判定定理 1.判定定理 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 【知识点08】反证法 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 【知识点09】等边三角形的判定定理 1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 【知识点10】含 30°角的直角三角形的性质 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用 证线段的倍分关系和求线段的长度 . 【知识点11】直角三角形角的性质定理与判定定理 1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言： 在△ ABC 中，应用该性质的前提是在同一个直角三角形中。 ∵∠ C=90°， ∴∠ A+ ∠ B=90° . 2. 直角三角形角的判定定理 应用该定理时，两个互余的角是在同一个三角形中。 有两个角互余的三角形是直角三角形 . 几何语言： 在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B=90°， ∴△ ABC 为直角三角形 . 【知识点12】勾股定理 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 . 几何语言： 如图1.3-3，在Rt△ ABC中，∠ C=90 °， AB=c， AC=b， BC=a， 则 a²+b²=c². 2.勾股定理的变形公式 a2=c2－b2； b2=c2－a2. 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 【知识点13】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1) “找”： 找出三角形三边中的最长边； (2) “算”： 计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3) “判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是 . 【知识点14】互逆命题和互逆定理 1. 互逆命题  在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 . 注意： 命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题 . 3. 互逆命题与互逆定理的关系  每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理 . 只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 . 【知识点15】“斜边、直角边”(“HL”)定理 1. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作直角三角形 如图1.3-6，已知线段a，c（a<c），用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a。 2. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 几何语言 如图1.3-7， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A′ B′ C′中 ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′ B′ C′(HL) . 3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法 已知条件 判定方法 需寻找的条件 一锐角相等(A)  ASA 或 AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角 ( 或直角 ) 的对边对应相等 斜边相等(H)  HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边相等(L) HL 或 ASA AAS 或 SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【知识点16】线段垂直平分线的性质定理 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 . 2.几何语言 如图1.4-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC. 【知识点17】线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 条件：点到线段两个端点距离相等 . 结论：点在线段的垂直平分线上 . 2.几何语言 如图1.4-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 【知识点18】用尺规作已知直线(或线段)的垂线 作图  已知、求作  作法 作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，AB=AC， BC=a，高 AD=h. (1)如图，作线段 BC=a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 l，交BC 于点 D. (3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h. (4)连接 AB， AC.△ ABC 为所求作的等腰三角形 . 过直线上一点 作直线的垂线 已知：如图，直线l 和 l 上一点 P.求作：直线 l 的垂线，使它过点 P. 如图，(1)任取一点Q，使点Q 与点P 在直线l 两旁。 (2)以点P 为圆心，以PQ 长为半径画弧，交直线l 于点A 和点B。 (3)作线段AB 的垂直平分线m。直线m 就是所要作的直线。 【知识点19】三角形三条边的垂直平分线的性质定理 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.4-7，∵直线 MN， EF， PQ分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN，EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC. 3. 拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点的情况如图1.4-8所示。 【知识点20】角平分线的性质定理 1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。指该点到角两边的垂线段的长度。 两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 . 2. 几何语言 如图1.5-1， ∵ OP 平分 ∠ AOB， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E，∴ PD=PE. 【知识点21】角平分线的判定定理 1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。 2.几何语言 如图1.5-5， ∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E， ∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上 . 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 （1）如图1.5-5， 都与距离有关， 即都具备条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 . 【知识点22】三角形的角平分线的性质定理 1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.5-8，在△ ABC 中，AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF. 【题型一】三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，、相交于点F，，，，，若，则 ．    【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 3．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 5．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．中，，为角平分线，求的度数． 【题型四】三角形内角和定理的应用 7．（25-26八年级·陕西西安·月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中 ． 【题型五】三角形折叠中的角度问题 9．如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【题型六】三角形的外角的定义及性质 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【题型七】等边对等角 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个平板保护套展开放置在水平桌面上，其示意图如图所示．若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知点、为的边上两点，，判断与的大小关系，并给出证明． 【题型八】三线合一 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 16．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【题型九】等边三角形的性质 17．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【题型十】根据等角对等边证明等腰三角形 19．（25-26八年级下·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 20．（22-23八年级下·广西河池·期中）如图，是的高，，则的长是 ． 【题型十一】根据等角对等边证明边相等 21．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，，与相交于点，求证：． 【题型十二】根据等角对等边求边长 23．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，中，的平分线交于，，，则的长（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 24．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【题型十三】等腰三角形的性质和判定 25．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 26．（25-26八年级下·全国·单元测试）在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 【题型十四】格点图中画等腰三角形 27．（24-25八年级上·江西宜春·月考）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【题型十五】找出图中的等腰三角形 29．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 30．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 【题型十六】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 31．（22-23八年级上·浙江金华·月考）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 32．（2024八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点. (1)求直线的解析式； (2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积； (3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标. 【题型十七】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 33．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 34．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【题型十八】反证法证明中的假设 35．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设 ． 36．（22-23八年级下·全国·课后作业）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【题型十九】用反证法证明命题 37．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 38．（2023八年级下·全国·课后作业）用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【题型二十】等边三角形的判定 39．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【题型二十一】等边三角形的判定和性质 41．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 【题型二十二】含30度角的直角三角形 43．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 【题型二十三】直角三角形的两个锐角互余 45．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【题型二十四】锐角互余的三角形是直角三角形 47．（23-24八年级下·贵州黔西南·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 48．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【题型二十五】写出命题的逆命题 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题正确的是（   ） A．菱形的对角线互相垂直 B．平行四边形的两组对边相等 C．矩形的对角线相等 D．若，则 50．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）判断命题“若，则”的真假，写出其逆命题并判断真假． 【题型二十六】判断是否为互逆命题 51．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 52．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【题型二十七】定理与证明 53．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 54．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【题型二十八】线段垂直平分线的性质 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）情境应用某镇三个村庄，，的位置如图所示，镇政府联合企业对三个村庄展开安置房修建工作．由于施工需要大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备打井供给施工用水．若想使水井到三个村庄的距离相等，则适合挖井的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则 cm． 【题型二十九】线段垂直平分线的判定 57．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 58．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型三十】作垂线(尺规作图) 59．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 60．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型三十一】角平分线的性质定理 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，于点．若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 62．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求证：． (3)如图③，若，，，求的长． 【题型三十二】角平分线的判定定理 63．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 64．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【题型三十三】角平分线性质的实际应用 65．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 66．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 章节（22知识详解+33典例分析） 【知识点01】三角形内角和定理及其证明 类别 内容 图形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，即在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 基本思路 构造平行线，利用平行线的性质说明三角形的内角和是180° 思路1 如图， 过点A 作EF ∥ BC，∴∠ B = ∠ 1，∠ C= ∠ 2， ∴∠ BAC+ ∠ B+ ∠ C=∠ BAC+ ∠ 1+ ∠ 2=180° 思路2 如图，过点C 作CE ∥ AB，延长BC 到D， ∴∠ A= ∠ 1，∠ B= ∠ 2，∴∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180° 思路3 如图，在BC 上取一点D，过点D 作ED ∥ AC，DF ∥ AB， 分别与AB，AC 交于点E，F， ∴∠ C= ∠ 1，∠ B = ∠ 3，易知∠ A= ∠ 2， ∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C=∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 1=180° 【知识点02】全等三角形的判定与性质 1. 判定定理“AAS” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 2. 判定三角形全等的一般思路 已知两边 找夹角→ SAS        找第三边→ SSS 已知一边一角 边为角的对边→找任意一角→ AAS 边为角的邻边 找角的另一邻边→ SAS 找边的另一邻角→ ASA 找边的对角→ AAS 已知两角 找夹边→ ASA     找角的对边→ AAS 【知识点03】三角形的外角 定义: △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ ABC 的外角。如图，∠1 是△ ABC 的一个外角 图示: 实质: 三角形外角的实质是三角形一个内角的邻补角 特征: （1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线 【知识点04】三角形内角和定理的推论 推论： 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 如图，∠ 1=∠ 2+ ∠ 3 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 如图，∠ 1 ＞∠ 2，∠ 1 ＞∠ 3 【知识点05】等腰三角形的性质定理 1.性质定理1 等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3. 等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 【知识点06】等边三角形的性质定理 1.性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2. 等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 【知识点07】等腰三角形的判定定理 1.判定定理 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 【知识点08】反证法 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 【知识点09】等边三角形的判定定理 1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 【知识点10】含 30°角的直角三角形的性质 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用 证线段的倍分关系和求线段的长度 . 【知识点11】直角三角形角的性质定理与判定定理 1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言： 在△ ABC 中，应用该性质的前提是在同一个直角三角形中。 ∵∠ C=90°， ∴∠ A+ ∠ B=90° . 2. 直角三角形角的判定定理 应用该定理时，两个互余的角是在同一个三角形中。 有两个角互余的三角形是直角三角形 . 几何语言： 在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B=90°， ∴△ ABC 为直角三角形 . 【知识点12】勾股定理 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 . 几何语言： 如图1.3-3，在Rt△ ABC中，∠ C=90 °， AB=c， AC=b， BC=a， 则 a²+b²=c². 2.勾股定理的变形公式 a2=c2－b2； b2=c2－a2. 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 【知识点13】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1) “找”： 找出三角形三边中的最长边； (2) “算”： 计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3) “判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是 . 【知识点14】互逆命题和互逆定理 1. 互逆命题  在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 . 注意： 命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题 . 3. 互逆命题与互逆定理的关系  每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理 . 只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 . 【知识点15】“斜边、直角边”(“HL”)定理 1. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作直角三角形 如图1.3-6，已知线段a，c（a<c），用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a。 2. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 几何语言 如图1.3-7， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A′ B′ C′中 ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′ B′ C′(HL) . 3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法 已知条件 判定方法 需寻找的条件 一锐角相等(A)  ASA 或 AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角 ( 或直角 ) 的对边对应相等 斜边相等(H)  HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边相等(L) HL 或 ASA AAS 或 SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【知识点16】线段垂直平分线的性质定理 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 . 2.几何语言 如图1.4-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC. 【知识点17】线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 条件：点到线段两个端点距离相等 . 结论：点在线段的垂直平分线上 . 2.几何语言 如图1.4-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 【知识点18】用尺规作已知直线(或线段)的垂线 作图  已知、求作  作法 作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，AB=AC， BC=a，高 AD=h. (1)如图，作线段 BC=a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 l，交BC 于点 D. (3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h. (4)连接 AB， AC.△ ABC 为所求作的等腰三角形 . 过直线上一点 作直线的垂线 已知：如图，直线l 和 l 上一点 P.求作：直线 l 的垂线，使它过点 P. 如图，(1)任取一点Q，使点Q 与点P 在直线l 两旁。 (2)以点P 为圆心，以PQ 长为半径画弧，交直线l 于点A 和点B。 (3)作线段AB 的垂直平分线m。直线m 就是所要作的直线。 【知识点19】三角形三条边的垂直平分线的性质定理 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.4-7，∵直线 MN， EF， PQ分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN，EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC. 3. 拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点的情况如图1.4-8所示。 【知识点20】角平分线的性质定理 1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。指该点到角两边的垂线段的长度。 两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 . 2. 几何语言 如图1.5-1， ∵ OP 平分 ∠ AOB， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E，∴ PD=PE. 【知识点21】角平分线的判定定理 1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。 2.几何语言 如图1.5-5， ∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E， ∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上 . 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 （1）如图1.5-5， 都与距离有关， 即都具备条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 . 【知识点22】三角形的角平分线的性质定理 1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.5-8，在△ ABC 中，AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF. 【题型一】三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，、相交于点F，，，，，若，则 ．    【答案】2 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作于，过点作于，根据三角形内角和定理和等量代换得到，得到，则，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，则，由，得出，推出，则，进而求解即可． 【详解】过点作于，过点作于，如图所示：    ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴． 故答案为：2． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 3．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 5．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 6．中，，为角平分线，求的度数． 【答案】． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先利用角平分线的性质求出的度数，再由三角形的内角和定理便可求出的度数． 【详解】解：∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴． 【题型四】三角形内角和定理的应用 7．（25-26八年级·陕西西安·月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可得，撕掉的角的度数为． 故选：A 8．如图，中 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理为是解题的关键． 根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【题型五】三角形折叠中的角度问题 9．如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【答案】/38度 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【答案】操作一：（1）；（2）；操作二： 【知识点】三角形折叠中的角度问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理： 操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可； （2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可； 操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型六】三角形的外角的定义及性质 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可作答． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 故选：B 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角这一性质，并能通过中间角传递大小关系是解题的关键． 要证明，需通过三角形外角的性质，利用中间角传递大小关系，先证，再证 ，从而推出结论． 【详解】证明：是的外角， ． 是的外角， ， ． 【题型七】等边对等角 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个平板保护套展开放置在水平桌面上，其示意图如图所示．若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等角对等边的性质． 根据等角对等边得到，即可求出的周长． 【详解】解：，， ， ， 则的周长为， 故选：A． 14．（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知点、为的边上两点，，判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】，理由见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合得故，又因为，即可证明，再进行作答． 【详解】解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型八】三线合一 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 16．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三线合一 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出且；再结合 CE⊥AB 的条件，通过同角的余角相等来推导角的关系． 【详解】解：∵  ，是边上的中线， ∴，． ∴． ， ． ∴． ∵， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质（同角的余角相等）．解题关键是利用等腰三角形“三线合一”得到垂直关系，再通过直角三角形中角的互余关系完成角的等量代换． 【题型九】等边三角形的性质 17．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 18．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 【题型十】根据等角对等边证明等腰三角形 19．（25-26八年级下·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 20．（22-23八年级下·广西河池·期中）如图，是的高，，则的长是 ． 【答案】4 【知识点】三线合一、根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据等角对等边，结合三线合一和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； 故答案为：4． 【题型十一】根据等角对等边证明边相等 21．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 22．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解． 根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【题型十二】根据等角对等边求边长 23．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，中，的平分线交于，，，则的长（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定，需结合角平分线和平行线的性质推导线段关系．本题主要考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分 ∴ ∴（等量代换） ∴是等腰三角形 ∴ ∵ ∴ 故选：C． 24．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【知识点】根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 【题型十三】等腰三角形的性质和判定 25．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】15或12.5或18 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想． 分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 如图，作于点H， 则 ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的值为15或12.5或18． 故答案为：15或12.5或18． 26．（25-26八年级下·全国·单元测试）在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 【答案】(1)是 (2)该三角形是“巳巳如意三角形”．理由见解析 (3)的值为 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （2）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （3）先由勾股定理求出的值，再根据“巳巳如意三角形”的定义判断出正确的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：是． ∵三角形为等腰直角三角形， ∴设直角边为，则斜边为 ∵， ∴该结果等于另一条直角边平方的倍，满足“巳巳如意三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”． （2）解：该三角形是“巳巳如意三角形”．理由如下： ，， ， ∴该三角形是“巳巳如意三角形”． （3）解：∵在中，三边长分别为，，，且，， 或． 当时，，即， 此时这个三角形是“巳巳如意三角形”， （负值已舍去）； 当时，，，， 此时这个三角形不是“巳巳如意三角形”． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、“巳巳如意三角形”的定义，熟练掌握勾股定理和“巳巳如意三角形”的定义是解题的关键． 【题型十四】格点图中画等腰三角形 27．（24-25八年级上·江西宜春·月考）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【答案】6 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 共有6个． 故答案为：6． 【题型十五】找出图中的等腰三角形 29．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 30．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 【答案】（1）9、2；（2）见解析；（3） 【知识点】找出图中的等腰三角形、平移(作图) 【分析】（1）根据三角形的定义以及等腰三角形的定义解决问题即可． （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，D 对应点A′，B′，D′即可． （3）利用三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：（1）可以画△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE，∴一共可以画9个，其中等腰三角形有△ACE，△CDE共2个． 故答案为：9，2． （2）如图，△A′B′D′即为所求． （3）∵△A′B′D′面积=，△ABD面积=，△BCD面积=， ∴（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形有△BCD，△ABD， 故答案为：△BCD，△ABD． 【点睛】本题考查作图-平移变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型十六】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 31．（22-23八年级上·浙江金华·月考）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 32．（2024八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点. (1)求直线的解析式； (2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积； (3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可解答； （2）将点C代入直线AB解析式中求出点C坐标，再利用面积公式即可解答； （3）根据勾股定理得 ，再分AB=AP和AB=BP两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故的面积为2； （3）解：∵，， ∴， 设点P坐标为（m，0） ∵是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上， ∴①当时 ，即 ， ∴， ∴ 或 ； ②当时，则 ∴ ； 综上，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了待定系数法，以及在平面直角坐标系中求三角形面积和构造等腰三角形，解题的关键是准确地运用坐标系下点的坐标特征． 【题型十七】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 33．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、勾股定理与网格问题 【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可． 【详解】∵AB=，如图所示： ∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点； ②若CB=AB，则符合要求的有：C3，C4共2个点； ③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点， 这样的C点有10个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，画“两圆一中垂”即可做到不重不漏，解题关键是分类讨论的数学思想． 34．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【答案】 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【详解】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 【题型十八】反证法证明中的假设 35．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设 ． 【答案】这三个数是非正数 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是明确原命题结论的否定形式，从而正确作出假设． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题结论为“三个数中至少有一个正数”，“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即需假设这三个数中没有正数（都是非正数）． 【详解】要证明 “三个不相等的数的和等于 0，那么这三个数中至少有一个正数”，用反证法时，应先假设原命题的结论不成立． “三个数中至少有一个正数” 的否定是 “三个数中没有正数”，即 “这三个数都是非正数（0 或负数）”． 故答案为：这三个数是非正数． 36．（22-23八年级下·全国·课后作业）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【题型十九】用反证法证明命题 37．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 38．（2023八年级下·全国·课后作业）用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 【题型二十】等边三角形的判定 39．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 40．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型二十一】等边三角形的判定和性质 41．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 42．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的证明，熟练掌握证明方法是解决问题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余，可推出即可证明． 【详解】证明：，分别为边，上的高， ，， ． ， ， 是等边三角形． 【题型二十二】含30度角的直角三角形 43．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 44．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解可得米，解可得，进而求得． 【详解】解：在中，，米， 米； 在中，米，， ∴ ∵ 米， 警示牌的高米． 故答案为：． 【题型二十三】直角三角形的两个锐角互余 45．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：B． 46．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【答案】． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】先在直角三角形 中，利用含 角的直角三角形的性质求出 的长，再在直角三角形 中求出 的长，最后在直角三角形 中求出 的长．本题主要考查了含 角的直角三角形的性质（在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握该性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在 中，． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ． 【题型二十四】锐角互余的三角形是直角三角形 47．（23-24八年级下·贵州黔西南·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 48．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【题型二十五】写出命题的逆命题 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题正确的是（   ） A．菱形的对角线互相垂直 B．平行四边形的两组对边相等 C．矩形的对角线相等 D．若，则 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】分别分析各选项原命题的逆命题，判断其正确性解答即可． 本题考查了逆命题的判断，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；     B. 平行四边形的两组对边相等其逆命题是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意； C. 矩形的对角线相等其逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意；     D. 若，则的逆命题是若，则，错误，负数没有算术平方根，不符合题意， 故选：B． 50．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）判断命题“若，则”的真假，写出其逆命题并判断真假． 【答案】见详解 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．本题考查了命题与定理的知识，正确的命题是真命题，解题的关键是了解如何写出该命题的逆命题，难度不大． 【详解】解：依题意，当时，则， 故命题“如果，那么”是假命题， 如果，那么的逆命题是如果，那么， 命题“如果，那么”是真命题， 【题型二十六】判断是否为互逆命题 51．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 52．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【题型二十七】定理与证明 53．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 54．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【知识点】定理与证明 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【题型二十八】线段垂直平分线的性质 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）情境应用某镇三个村庄，，的位置如图所示，镇政府联合企业对三个村庄展开安置房修建工作．由于施工需要大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备打井供给施工用水．若想使水井到三个村庄的距离相等，则适合挖井的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 利用垂直平分线的性质和作法，作出线段，的垂直平分线，即可得出水井位置． 【详解】解，如图所示，线段，的垂直平分线交于点，点即为水井位置． 故选：A． 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则 cm． 【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 【题型二十九】线段垂直平分线的判定 57．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图―――线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤，以及线段垂直平分线的判定是解题的关键． 根据线段垂直平分线的判定可得点为线段的垂直平分线与直线的交点，故作出线段的垂直平分线与直线相交即可． 【详解】解：如图，点即为所求： 【题型三十】作垂线(尺规作图) 59．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 60．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、垂线段最短 【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，根据垂线段最短作即可． 【详解】解：以为圆心，任意长度为半径画圆，交线段于、，再分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长交于，则，此时点C与点D之间的距离最短． 【题型三十一】角平分线的性质定理 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，于点．若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 利用角平分线的性质得，再根据计算的长度． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴点到和的距离相等，即 ． 故选：C． 62．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求证：． (3)如图③，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】（1）过点作和的垂线，利用角平分线性质得两条垂线段相等，再用面积公式推导面积比与边长比的关系； （2）由得两个三角形等底同高，面积相等，结合（1）的结论推出； （3）利用同高三角形面积比等于底边长的比，结合（1）的面积比等于，建立方程求的长． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ， ． （2）证明：， 与等底同高， ． 由（1），得． （3）与同高， ． 由（1），得， ． ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，等腰三角形的判定，掌握角平分线的性质和三角形面积比的关系是解题的关键． 【题型三十二】角平分线的判定定理 63．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 64．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【题型三十三】角平分线性质的实际应用 65．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 66．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $