精品解析：山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题

山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 所以的子集个数为， 故选：B 2. 与复数相等的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，结合特殊角的三角函数值得到答案. 【详解】CD选项，，故CD错误； A选项，，A错误； B选项，，B正确； 故选：B 3. 已知向量不共线，且，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理列式求解即得. 【详解】由可知，存在，使得， 因不共线，则有，解得. 故选：D. 4. 已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥底面半径，再根据体积公式计算. 【详解】设圆锥底面半径为，则由题意可得，，则， 则该圆锥的体积为. 故选：A 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 6. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 7. 如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象与圆的公共信息，分别求出圆的半径、函数中的参数的值，再逐一判断选项. 【详解】由点在圆上， 所以，解得. 因为当时， ， 即，因为，取，则， 所以. 将代入圆的方程，得，解得或， 结合图象知，即，将代入，得， 所以，即，因为，由图象可知，即，所以取，得. 所以，将代入，得， 所以. 因此，A，B，C选项错误，D选项正确. 故选：D 8. 已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程转化为或，所以根据题意有，化简可得解. 【详解】设方程的四个实根，，，， 可得方程，即或， 如图， 所以， 因为，，，成等差数列， 所以，即， 可得，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B选项，由正态分布的对称性可得B正确；C选项，举出反例可得C错误；D选项，利用百分位数的计算公式得到D正确. 【详解】A选项，从类个体中抽取了9个，则样本容量为,A错误； B选项，由正态分布的对称性可知，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，，故从小到大，选取第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为，D正确. 故选：BD 10. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球球心为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可. 【详解】对于A，设长方体的外接球半径为， 由长方体性质得， 由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确， 对于B，如图，在长方体中， 以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，，， 因为点为的中点，所以， 则，，设面的法向量为， 可得，令，解得，故， 因为为底面（含边界）内一个动点， 所以设，则， 因为平面，所以， 得到，化简得， 当时，，不符合题意，当，时，符合题意， 则的轨迹是点与点之间的线段， 由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确， 对于C，因为，所以，此时变为， 由题意得，，则，， 设异面直线与所成角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 则，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，可得， 即，故C错误， 对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得， 且，，，，设，半径为， 则外接球的方程为， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减可得，解得， 则，由两点间距离公式得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，， 由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为， 所以，故，B错误； C选项，当时，， 当时，若， ； 若， ； 若， ； 若， ； 综上，C正确； D选项，的取值有四种情况，分别为， 均满足； 当时,若，符合题意； 若，符合题意； 若，符合题意； 若，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时； 综上，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中所有项的系数和为__________． 【答案】243 【解析】 【分析】利用赋值法求解所有项的系数和即可. 【详解】令，可得展开式中所有项的系数和为. 故答案为： 13. 按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指. 【答案】507 【解析】 【分析】由图中数字可知，中指对应的数的通项公式，代入2027求解次数，即可求出2026对应的食指次数． 【详解】由图中数字可知， 中指对应的数分别为3，7，11，15，19…… ∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列， 其通项公式为：； 因为，所以数到2027时，对应的指头是第507次数到中指. 所以数到2026时，对应的指头是第507次数到食指. 故答案为：507. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可知圆心横坐标，设出圆的方程并与抛物线联立，再由交点个数并构造函数求出函数单调性得出极值和最值，求出切点的坐标满足的条件可得结果. 【详解】由题意知,准线方程为, 因为圆与轴相切于点,所以可设圆心,半径为. 可得圆的方程式为，展开得, 因抛物线与圆有且只有一个公共点， 将代入圆的方程得，即, 因此该方程只有一解，当时，即有且仅有一个实数根， 令函数， 则， 令，可得， 因此当，；当，；当，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 又易知函数满足，即函数为奇函数， 因此当时，在处取得极小值，其函数图象如下图所示： 即可得当时，满足题意，此时，即，； 所以切点的坐标满足， 因此. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）合理作出辅助线，利用中位线定理结合平行四边形的性质得到，再结合线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用平面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. 【小问2详解】 取中点，连接， ，， ∵平面平面，面， 平面，， 为正三角形，， 如图，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，解得， ，面，， ，面，， 面，是平面的法向量， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 16. 某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. （1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； （2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用组合知识解决古典概型的概率问题； （2）先利用全概率公式计算“算法正确判断”的概率，得出，根据二项分布求出分布列以及期望. 【小问1详解】 记“抽到的两张均为正常样本”为事件， 则， 故2张均为正常样本的概率为； 【小问2详解】 记“抽取一张抽到正常样本”为事件，“算法判断为正常”为事件， “算法正确判断”为事件， 则“抽到异常样本”为事件，“算法判断为异常”为事件， 则， ， 则， 法一， ， 的分布列为 X 0 1 2 3 . 法二：的分布列为， . 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且. （1）求证：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合即可求证； （2）由结合余弦定理可得，进而结合利用三角恒等变换公式化简求解即可. 【小问1详解】 在Rt中，，在Rt中，， 而，则，即， 则. 【小问2详解】 由，得, 所以，又，则，即， 由（1）知，， 所以， 则， 则 ， 即，则， 解得或（舍去） 又，则，所以，即. 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由实轴长得，焦点到渐近线的距离为，求出的标准方程； （2）（i）设直线方程并联立双曲线，得到的一元二次方程及判别式、交点位置条件（），根据弦长公式与面积公式的两种推导方法，点到直线距离法、分割三角形，换元后利用单调性求最值； （ii）由的位置分析斜率符号，进而确定、，得到，利用两角和的正切公式，结合韦达定理化简后得到，结合角度范围确定. 【小问1详解】 ∵双曲线的渐近线方程为， ∴焦点到渐近线的距离为， ，； ∴双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由题意知直线的斜率存在，设的方程为， 由得， 得， 法一： ， ∵点到直线的距离， ， 法二： ， 令， ， ∴当时，的最小值为； （ii）由题意知，直线BD，BE斜率都存在 ， ， ， ， ， 19. 已知函数. （1）曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； （2）若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，根据点到直线的距离公式求出距离，再利用基本不等式即可求得其最大值及此时的值； （2）（i）法一：设，利用求导判断函数的单调性，求出函数的最小值，再对的取值分类讨论，确定参数范围；法二：由原不等式恒成立，可推得当时，恒成立，经换元后，得到，令，通过求导推出，即得参数范围；（ii）利用（i）的结论，推出当时，，分别取，可得不等式组，通过累乘法化简即可证得结果. 【小问1详解】 的定义域 求导得， 则，又， 则切线的方程为，即 于是，点到的距离为 当且仅当时，等号成立，由可得，解得. 【小问2详解】 （i）法一：设 则 设，则 因为，可得，则在上单调递增 故当时，， 则当时，在上恒成立，即在上恒成立 故在上单调递增，则，即，满足题意； 当时，， 故，使得 当时，，则，则在上单调递减， 则，即，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 法二：对任意恒成立 在上恒成立 当时，； 当时， 令，则且 设，则， 设，则，则在上单调递增， 又，则，即，故在上单调递增， 当时，，即也即 故得 综上所述，. （ii）由（i）知，当时，对任意恒成立，当且仅当时，等号成立， ，即 ∴当时， 分别取，得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 与复数相等的复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量不共线，且，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 10. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球球心为，则 11. 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中所有项的系数和为__________． 13. 按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. （1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； （2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望. 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且. （1）求证：； （2）若，求. 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 19. 已知函数. （1）曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； （2）若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $